Aplicación de la composición b^(log_b x) para recuperar x
Resumen inicial
La aplicación de la composición dual $b^{\log_b(x)} = x$ establece la propiedad cancelativa para todo $x > 0$, donde la base exponencial elevada a su propio logaritmo anula el operador trascendente y recupera idénticamente el argumento positivo original.
Explicación en palabras simples
Esta es la propiedad inversa de la anterior: elevar una base a su propio logaritmo:
$$\mathbf{b}^{\log_{\mathbf{b}}(\mathbf{x})} = \mathbf{x} \quad (\text{Válido para todo } x > 0)$$
- ¿Cómo se lee?
- "Si elevamos la base $b$ al exponente que se necesita para dar $x$... ¡el resultado obviamente es $x$!".
- Ejemplos súper directos:
- $2^{\log_2(\mathbf{8})} = \mathbf{8}$.
- $10^{\log(\mathbf{45})} = \mathbf{45}$.
- $e^{\ln(\mathbf{x})} = \mathbf{x}$.
- ¡Cuidado con la trampa! No debe haber números multiplicando en medio. Si tienes $3^{2\log_3(x)}$, primero subes el 2 como exponente: $3^{\log_3(x^2)} = \mathbf{x^2}$.
Explicación formal
Sea $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y sea $x \in \mathbb{R}^+ = ]0, +\infty[$. Por definición de la composición de la aplicación directa con su inversa $(\exp_b \circ \exp_b^{-1}): \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$:
$$(\exp_b \circ \log_b)(x) = b^{\log_b(x)}$$
Sea $u = \log_b(x)$. Por la definición fundamental del logaritmo:
$$u = \log_b(x) \Longleftrightarrow b^u = x$$
Sustituyendo $u$ por su definición $\log_b(x)$ en el primer miembro:
$$b^{\log_b(x)} = x$$
Dominio de validez estricto:
La identidad está restringida estrictamente a $x \in \operatorname{Dom}(\log_b) = ]0, +\infty[$, careciendo de existencia para $x \le 0$.
La alternativa correcta es '84 (la base 10 y log se cancelan)'. Por la identidad $10^{\log(x)} = x$, el resultado es 84.
Definiciones clave
- Propiedad de composición exponencial inversa: Identidad $b^{\log_b(x)} = x$ para $x > 0$.
- Potenciación cancelativa: Operación que elimina un logaritmo elevando la base correspondiente.
Propiedades y relaciones importantes
- Potenciación con coeficientes: $b^{k \log_b(x)} = b^{\log_b(x^k)} = x^k$.
- Cancelación en base natural: $e^{\ln(x)} = x$ para todo $x > 0$.
Ejemplo guiado
Aplica la propiedad cancelativa dual para simplificar y resolver:
1) $5^{\log_5(37)}$
2) $e^{3\ln(2)}$
3) Resuelve aplicando la base $2$: $\log_2(x + 3) = 5$
- Paso 1: Para $5^{\log_5(37)}$: - Cancelación directa de base 5 $\implies \mathbf{37}$.
- Paso 2: Para $e^{3\ln(2)}$: - Subir el coeficiente 3 como exponente: $e^{\ln(2^3)} = e^{\ln(8)}$. - Cancelar base $e$ $\implies \mathbf{8}$.
- Paso 3: Para $\log_2(x + 3) = 5$: - Elevar la base 2 a ambos lados: $2^{\log_2(x + 3)} = 2^5$. - Cancelar base izquierda: $x + 3 = 32 \implies \mathbf{x = 29}$.
La alternativa correcta es '25 (porque 2^(log₂(5²)) = 5² = 25)'. Primero se sube el coeficiente: $2^{\log_2(5^2)} = 5^2 = 25$.
Procedimiento
- Paso 1: Asegurarse de que el argumento del logaritmo sea estrictamente positivo ($x > 0$).
- Paso 2: Si hay coeficientes multiplicando al logaritmo, subirlos como exponentes del argumento.
- Paso 3: Aplicar la identidad cancelativa $b^{\log_b(A)} = A$.
- Paso 4: Simplificar el valor numérico o algebraico resultante.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Cancelar directamente si hay un número multiplicando (ej: $3^{2\log_3(x)} = 2x$).
- Cómo corregirlo: Primero sube el número como exponente: $3^{2\log_3(x)} = 3^{\log_3(x^2)} = \mathbf{x^2}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $6^{\log_6(19)} = 19$.
- Paso 1: $e^{\ln(4x)} = 4x$.
- Paso 1: $2^{\log_2(5^{-1})} = 5^{-1} = 1/5$.
- Paso 1: $10^{\log(\sqrt{49})} = \sqrt{49} = 7$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Aplicar la composición cancelativa b^(log_b(x)) = x para simplificar y despejar expresiones.
Subiendo coeficientes como exponentes y aplicando la anulación exponencial para argumentos positivos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuánto vale $\log_b(b^x)$?
El logaritmo deshace exactamente la potencia de igual base.
Respuesta: A) $x$
-
$\log_5(5^8)=8$.
Se aplica directamente $\log_b(b^x)=x$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Puede $x$ ser negativo en la propiedad $\log_b(b^x)=x$?
El exponente $x$ no está restringido, a diferencia del argumento del logaritmo.
Respuesta: A) Sí, $x$ puede ser cualquier real
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\log_3(3^{-2})=-2$.
Cumple exactamente la propiedad $\log_b(b^x)=x$, incluso con exponente negativo.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Simplifica $\log_6(6^{10})$.
Se aplica $\log_b(b^x)=x$ con $x=10$.
Respuesta: A) 10
-
Simplifica $\log_2(2^{3x-1})$.
El resultado es directamente el exponente completo.
Respuesta: A) $3x-1$
-
$\log_9(3^x)$ puede simplificarse directamente con $\log_b(b^x)=x$ sin transformar antes las bases.
Las bases $9$ y $3$ no coinciden, por lo que se requiere transformar antes de simplificar.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Simplifica $\log_4(4^{2}\cdot4^{3})$ usando propiedades combinadas.
Se combina $4^2\cdot4^3=4^5$ y luego se aplica $\log_4(4^5)=5$.
Respuesta: A) 5
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar $\log_b(b^x)=x$?
Ambas propiedades son composiciones distintas de las mismas funciones inversas.
Respuesta: A) Confundirla con $b^{\log_b(x)}=x$
-
$\log_b(b^x)=x$ es consecuencia directa de que exponencial y logarítmica son funciones inversas.
Es la composición $f(g(x))=x$ de la relación inversa.
Respuesta: Verdadero