Aplicación de la composición b^(log_b x) para recuperar x
Aplicar la propiedad $\log_b(b^x)=x$ para simplificar expresiones donde un logaritmo actúa sobre una potencia de igual base.
Introducción
Igual que en el caso anterior, pero en orden inverso: ahora el logaritmo es quien "deshace" la potencia de su misma base.
Explicación
Definición formal
Si $f(x)=\log_b(x)$ y $g(x)=b^x$ son funciones inversas, entonces $f(g(x))=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Esto se escribe como $\log_b(b^x)=x$, válido para cualquier $x$ real, incluso negativo o fraccionario.
Desarrollo didáctico
$\log_4(4^6)=6$: el exponente $6$ ya representa la potencia a la que está elevado $4$, así que el logaritmo simplemente recupera ese valor. Lo mismo ocurre con $\log_2(2^{-3})=-3$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la base del logaritmo y la base de la potencia sean iguales.
- Paso 2: Si coinciden, el resultado es directamente el exponente de la potencia.
- Paso 3: Si no coinciden, no se puede aplicar esta simplificación directa.
Ejemplos
1 Simplifica $\log_7(7^9)$.
- Se verifica que ambas bases coinciden ($7$).
- El resultado es directamente el exponente: $9$.
2 Simplifica $\log_3(3^{2x+1})$.
- Se verifica que ambas bases coinciden ($3$).
- El resultado es directamente el exponente: $2x+1$.
3 ¿La propiedad $\log_b(b^x)=x$ es válida cuando $x$ es un número negativo?
- A diferencia del dominio de $\log_b$, el exponente $x$ puede tomar cualquier valor real.
4 ¿$\log_b(b^x)=x$ y $b^{\log_b(x)}=x$ son exactamente la misma propiedad?
- Son dos composiciones distintas de las mismas funciones inversas, aplicadas en orden diferente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir $\log_b(b^x)=x$ con $b^{\log_b(x)}=x$, invirtiendo el orden de composición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la propiedad cuando las bases del logaritmo y de la potencia no coinciden."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que el dominio de esta composición se restringe igual que el del logaritmo puro."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar que la base cumpla $b>0$, $b\neq1$ antes de simplificar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para $b>0$ y $b\neq1$, se cumple $\log_b(b^x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$, porque la función logarítmica deshace exactamente lo que hace la función exponencial de igual base.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuánto vale $\log_b(b^x)$?
El logaritmo deshace exactamente la potencia de igual base.
Respuesta: A) $x$
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$\log_5(5^8)=8$.
Se aplica directamente $\log_b(b^x)=x$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Puede $x$ ser negativo en la propiedad $\log_b(b^x)=x$?
El exponente $x$ no está restringido, a diferencia del argumento del logaritmo.
Respuesta: A) Sí, $x$ puede ser cualquier real
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$\log_3(3^{-2})=-2$.
Cumple exactamente la propiedad $\log_b(b^x)=x$, incluso con exponente negativo.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Simplifica $\log_6(6^{10})$.
Se aplica $\log_b(b^x)=x$ con $x=10$.
Respuesta: A) 10
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Simplifica $\log_2(2^{3x-1})$.
El resultado es directamente el exponente completo.
Respuesta: A) $3x-1$
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$\log_9(3^x)$ puede simplificarse directamente con $\log_b(b^x)=x$ sin transformar antes las bases.
Las bases $9$ y $3$ no coinciden, por lo que se requiere transformar antes de simplificar.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Simplifica $\log_4(4^{2}\cdot4^{3})$ usando propiedades combinadas.
Se combina $4^2\cdot4^3=4^5$ y luego se aplica $\log_4(4^5)=5$.
Respuesta: A) 5
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar $\log_b(b^x)=x$?
Ambas propiedades son composiciones distintas de las mismas funciones inversas.
Respuesta: A) Confundirla con $b^{\log_b(x)}=x$
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$\log_b(b^x)=x$ es consecuencia directa de que exponencial y logarítmica son funciones inversas.
Es la composición $f(g(x))=x$ de la relación inversa.
Respuesta: Verdadero