Uso de la fórmula de cambio de base en expresiones logarítmicas
Aplicar la fórmula $\log_b(x)=\dfrac{\log_c(x)}{\log_c(b)}$ para reescribir un logaritmo en términos de otra base.
Introducción
No siempre la base de un logaritmo es cómoda para calcular con calculadora o para comparar con otro logaritmo; el cambio de base permite reescribirlo usando cualquier base conveniente.
Explicación
Definición formal
Para $b,c>0$, $b,c\neq1$ y $x>0$, se cumple $\log_b(x)=\dfrac{\log_c(x)}{\log_c(b)}$. Se demuestra aplicando $\log_c(\cdot)$ a ambos lados de $b^{\log_b(x)}=x$: se obtiene $\log_b(x)\cdot\log_c(b)=\log_c(x)$, y despejando $\log_b(x)$ resulta la fórmula.
Desarrollo didáctico
Para calcular $\log_5(20)$ sin una calculadora que tenga base $5$, se cambia a base $10$: $\log_5(20)=\dfrac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(5)}$. Cualquier base auxiliar sirve, siempre que sea la misma en numerador y denominador.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Elige una base auxiliar $c$ conveniente (comúnmente $10$).
- Paso 2: Escribe el logaritmo original como cociente entre $\log_c(x)$ y $\log_c(b)$.
- Paso 3: Calcula o simplifica ambos logaritmos en la nueva base.
Ejemplos
1 Reescribe $\log_3(15)$ usando base $10$.
- Se aplica la fórmula de cambio de base.
- El resultado es $\dfrac{\log_{10}(15)}{\log_{10}(3)}$.
2 Usa el cambio de base para expresar $\log_4(8)$ en términos de base $2$.
- Se aplica la fórmula: $\log_4(8)=\dfrac{\log_2(8)}{\log_2(4)}$.
- Como $\log_2(8)=3$ y $\log_2(4)=2$, el resultado es $3/2$.
3 ¿Se puede usar cualquier base auxiliar $c>0$, $c\neq1$ en la fórmula de cambio de base?
- La fórmula es válida para cualquier base auxiliar que cumpla las condiciones de existencia.
4 ¿El valor numérico de $\log_b(x)$ cambia al reescribirlo con otra base auxiliar?
- Solo cambia la forma de escribirlo; el valor numérico permanece exactamente el mismo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Invertir el orden del cociente, escribiendo $\log_c(b)/\log_c(x)$ en vez de $\log_c(x)/\log_c(b)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar bases auxiliares distintas en el numerador y el denominador."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la base auxiliar también debe cumplir $c>0$, $c\neq1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el cambio de base con la propiedad del cociente de logaritmos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La propiedad de **cambio de base** permite escribir $\log_b(x)=\dfrac{\log_c(x)}{\log_c(b)}$ para cualquier base auxiliar $c>0$, $c\neq1$, útil para calcular o comparar logaritmos de distinta base.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la fórmula de cambio de base?
Es la fórmula estándar para reescribir un logaritmo en otra base.
Respuesta: A) $\log_b(x)=\dfrac{\log_c(x)}{\log_c(b)}$
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La base auxiliar $c$ del cambio de base debe cumplir $c>0$ y $c\neq1$.
Debe ser una base válida, igual que la base original.
Respuesta: Verdadero
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¿Para qué se usa principalmente la fórmula de cambio de base?
Permite reescribir cualquier logaritmo usando bases más manejables, como $10$.
Respuesta: A) Para calcular logaritmos con calculadoras que solo tienen ciertas bases
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$\log_3(20)=\dfrac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(3)}$.
Es la aplicación directa del cambio de base a base $10$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Calcula $\log_8(4)$ usando cambio de base a base $2$.
$\log_8(4)=\dfrac{\log_2(4)}{\log_2(8)}=\dfrac{2}{3}$.
Respuesta: A) $2/3$
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El resultado de aplicar el cambio de base no depende de qué base auxiliar $c$ se elija.
Distintas bases auxiliares producen siempre el mismo valor numérico final.
Respuesta: Verdadero
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Reescribe $\log_2(50)$ usando base $10$.
Se aplica la fórmula de cambio de base con $c=10$.
Respuesta: A) $\dfrac{\log_{10}(50)}{\log_{10}(2)}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar el cambio de base?
La base auxiliar debe ser exactamente la misma en ambos logaritmos de la fórmula.
Respuesta: A) Usar bases auxiliares distintas en numerador y denominador
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El cambio de base permite demostrar que $\log_b(x)=\dfrac{1}{\log_x(b)}$.
Se obtiene eligiendo $c=x$ en la fórmula general de cambio de base.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el valor de $\log_9(3)$ usando cambio de base a base $3$?
$\log_9(3)=\dfrac{\log_3(3)}{\log_3(9)}=\dfrac{1}{2}$.
Respuesta: A) $1/2$