Identificación de la restricción positiva del argumento en un logaritmo

Resumen inicial

La restricción positiva del argumento en un logaritmo establece que $\log_b(a)$ existe en los reales si y solo si $a > 0$, dado que ninguna potencia de base positiva $b > 0$ puede arrojar como resultado cero o un número negativo.

Explicación en palabras simples

$La restricción positiva del argumento en un logaritmo establece que $\log_b(a)$ existe en los reales si y solo si $a > 0$, dado que ninguna potencia de base positiva $b > 0$ puede arrojar como resultado cero o un número negativo$

El argumento (lo que metes dentro del logaritmo) tiene una regla inquebrantable:

$$\log_b(\mathbf{a}) \quad \implies \quad \mathbf{a > 0} \quad (\text{Estrictamente Mayor que Cero})$$

¿Por qué?
Porque el logaritmo busca potencias de bases positivas ($b > 0$).
Piensa en el 2:
- $2^3 = 8 > 0$.
- $2^{-5} = 1/32 > 0$.
- $2^{-100} > 0$.
¡NUNCA DA CERO NI NEGATIVO!
Consecuencias:
$\log(0) = \text{NO EXISTE en los reales}$.
$\log(-5) = \text{NO EXISTE en los reales}$.
$\log(0,00001) = -5$ (¡Totalmente válido porque es positivo!).

Explicación formal

Sea $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$. Por la caracterización del recorrido de la función exponencial $\operatorname{Rec}(\exp_b) = \mathbb{R}^+ = ]0, +\infty[$:
$$\operatorname{Dom}(\log_b) = \operatorname{Rec}(\exp_b) = \mathbb{R}^+ = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$$

Imposibilidad analítica en $\mathbb{R}$:
1. Para $a = 0$:
$\lim_{x \to 0^+} \log_b(x) = \pm\infty$, lo que genera una asíntota vertical en $x = 0$ y demuestra que $0 \notin \operatorname{Dom}(\log_b)$.
2. Para $a < 0$:
La ecuación $b^c = a < 0$ carece de soluciones en el cuerpo ordenado real $\mathbb{R}$ (requiere el cuerpo complejo $\mathbb{C}$ con ramas logarítmicas multivaluadas $\operatorname{Ln}(z) = \ln|z| + i \operatorname{Arg}(z)$).

Definiciones clave

Dominio logarítmico real: Conjunto de reales estrictamente positivos $\mathbb{R}^+ = ]0, +\infty[$.
Asíntota vertical canónica: Recta $x = 0$ hacia la cual la curva logarítmica desciende o asciende asintóticamente.

Propiedades y relaciones importantes

Desigualdad de existencia: Para cualquier expresión $\log_b(g(x))$, la condición de existencia es la inecuación estricta $g(x) > 0$.
Exclusión del cero: $\log_b(0)$ no está definido en $\mathbb{R}$ bajo ninguna base.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La restricción positiva del argumento en un logaritmo establece que $\log_b(a)$ existe en los reales si y solo si $a > 0$, dado que ninguna potencia de base positiva $b > 0$ puede arrojar como resultado cero o un número negativo$

Determina el dominio de existencia real para las siguientes funciones logarítmicas:
1) $f(x) = \log_2(2x - 8)$
2) $g(x) = \ln(9 - x^2)$

Paso 1: Para $f(x) = \log_2(2x - 8)$: - Exigir positividad estricta del argumento: $2x - 8 > 0$. - Resolver: $2x > 8 \implies x > 4$. - Dominio: $\operatorname{Dom}(f) = ]4, +\infty[$.
Paso 2: Para $g(x) = \ln(9 - x^2)$: - Exigir: $9 - x^2 > 0 \implies x^2 < 9$. - Resolver desigualdad cuadrática: $-3 < x < 3$. - Dominio: $\operatorname{Dom}(g) = ]-3, 3[$.

Procedimiento

Paso 1: Aislar la expresión algebraica contenida en el argumento del logaritmo.
Paso 2: Plantear la inecuación estricta $\text{Argumento} > 0$.
Paso 3: Resolver la inecuación lineal, cuadrática o racional obtenida.
Paso 4: Escribir el dominio en notación de intervalos abiertos sin incluir los puntos de anulación.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Colocar $\ge 0$ (mayor o igual) al plantear el dominio de un logaritmo.
Cómo corregirlo: El argumento NUNCA puede ser cero; debe ser estrictamente mayor que cero ($> 0$) con corchetes abiertos.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El logaritmo de cero no está definido en el cuerpo de los números reales."

"El argumento de un logaritmo real debe ser estrictamente positivo (a > 0)."

"Asumir que si el argumento tiene un signo menos (ej: -x) nunca existe (existe para x < 0)."

"Confundir la negatividad del resultado del logaritmo con la del argumento."

"Incluir el cero en el dominio del logaritmo usando corchetes cerrados."

Al terminar debes poder

$Resumen La restricción positiva del argumento en un logaritmo establece que $\log_b(a)$ existe en los reales si y solo si $a > 0$, dado que ninguna potencia de base positiva $b > 0$ puede arrojar como resultado cero o un número negativo$

Determinar y justificar la restricción de argumento positivo a > 0 en logaritmos.

Formulando y resolviendo la inecuación estricta Argumento > 0 para definir dominios reales admisibles.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Al aplicar $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$, ¿qué se exige de $x$ e $y$?
Cada argumento individual debe cumplir la condición de existencia.

Respuesta: A) Que ambos sean positivos por separado
Basta con que el producto $xy$ sea positivo para separar $\log_b(xy)$ en dos logaritmos.
¿Por qué $\log_b((-2)(-3))$ no puede separarse en $\log_b(-2)+\log_b(-3)$?
Aunque el producto $6$ sea positivo, los factores individuales no cumplen la condición de dominio.

Respuesta: A) Porque ni $-2$ ni $-3$ son argumentos positivos por separado

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$\log_2(x/y)=\log_2(x)-\log_2(y)$ exige que $x>0$ e $y>0$ por separado.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿Se puede aplicar la propiedad del cociente a $\log_5((-8)/(-2))$ separándolo directamente?
Aunque el cociente $4$ sea positivo, no puede separarse porque los argumentos individuales son negativos.

Respuesta: A) No, porque ni $-8$ ni $-2$ son positivos por separado
La restricción de positividad se aplica a cada argumento individual, no solo al resultado combinado.
¿Se puede separar $\log_3(4\cdot5)$ como $\log_3(4)+\log_3(5)$?
Ambos factores cumplen la condición de positividad.

Respuesta: A) Sí, porque $4>0$ y $5>0$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál de las siguientes expresiones SÍ puede separarse con la propiedad del producto?
Como $x^2>0$ para $x\neq0$ y $y>0$, ambos factores son positivos por separado.

Respuesta: A) $\log_4(x^2\cdot y)$ con $x\neq0$, $y>0$
¿Cuál es el error frecuente al aplicar la propiedad del producto o cociente?
Es la confusión más común al separar productos o cocientes dentro de un logaritmo.

Respuesta: A) Suponer que basta con que el resultado combinado sea positivo
Si $x>0$ e $y>0$, entonces $\log_b(xy)$, $\log_b(x)$ y $\log_b(y)$ están todos definidos simultáneamente.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación