Identificación de la restricción positiva del argumento en un logaritmo
Verificar que los argumentos de una expresión logarítmica permanezcan positivos antes y después de aplicar propiedades algebraicas.
Introducción
Al separar o combinar logaritmos, el argumento cambia de forma, y es fácil perder de vista si sigue siendo positivo en cada nueva expresión.
Explicación
Definición formal
Al aplicar $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$, se exige $x>0$ y $y>0$ por separado, no solo que el producto $xy>0$. Esta distinción es crucial: $xy$ puede ser positivo aunque $x$ e $y$ sean ambos negativos, pero en ese caso $\log_b(x)$ y $\log_b(y)$ no estarían definidos.
Desarrollo didáctico
Considera $\log_b((-2)\cdot(-3))=\log_b(6)$, que sí está definido. Sin embargo, separarlo como $\log_b(-2)+\log_b(-3)$ no es válido, porque ni $-2$ ni $-3$ son argumentos positivos. La propiedad del producto solo puede aplicarse cuando ambos factores son positivos por separado.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica cada argumento individual involucrado en la expresión logarítmica.
- Paso 2: Verifica que cada uno cumpla la condición de ser estrictamente positivo por separado.
- Paso 3: Aplica la propiedad solo si todos los argumentos individuales son válidos.
Ejemplos
1 ¿Se puede aplicar $\log_2(xy)=\log_2(x)+\log_2(y)$ si $x=5$ e $y=3$?
- Se verifica que $x=5>0$ e $y=3>0$ por separado.
- Sí, ambos son positivos, así que la propiedad es aplicable.
2 ¿Se puede aplicar la propiedad del producto a $\log_3((-4)\cdot(-5))$ separando en dos logaritmos?
- {'Se verifica cada factor por separado': '$-4<0$ y $-5<0$.'}
- No, aunque el producto $20$ sea positivo, no se puede separar porque los factores individuales son negativos.
3 ¿Es suficiente que $xy>0$ para poder aplicar $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$?
- Se exige que $x>0$ y $y>0$ por separado, no solo que su producto sea positivo.
4 ¿La condición de positividad por separado también se exige en $\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)$?
- Tanto $x$ como $y$ deben ser positivos individualmente para que ambos logaritmos estén definidos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Suponer que basta con que el resultado final del argumento sea positivo, ignorando los factores individuales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Separar $\log_b(xy)$ en $\log_b(x)+\log_b(y)$ sin verificar el signo de $x$ e $y$ por separado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la propiedad del cociente sin comprobar que numerador y denominador sean ambos positivos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la restricción del argumento con la restricción de la base."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Cada argumento involucrado en una propiedad logarítmica, tanto antes como después de aplicarla, debe cumplir la condición de ser **estrictamente positivo**.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al aplicar $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$, ¿qué se exige de $x$ e $y$?
Cada argumento individual debe cumplir la condición de existencia.
Respuesta: A) Que ambos sean positivos por separado
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Basta con que el producto $xy$ sea positivo para separar $\log_b(xy)$ en dos logaritmos.
Se exige que $x$ e $y$ sean positivos individualmente, no solo su producto.
Respuesta: Falso
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¿Por qué $\log_b((-2)(-3))$ no puede separarse en $\log_b(-2)+\log_b(-3)$?
Aunque el producto $6$ sea positivo, los factores individuales no cumplen la condición de dominio.
Respuesta: A) Porque ni $-2$ ni $-3$ son argumentos positivos por separado
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$\log_2(x/y)=\log_2(x)-\log_2(y)$ exige que $x>0$ e $y>0$ por separado.
Ambos argumentos deben ser positivos individualmente para que la propiedad sea válida.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Se puede aplicar la propiedad del cociente a $\log_5((-8)/(-2))$ separándolo directamente?
Aunque el cociente $4$ sea positivo, no puede separarse porque los argumentos individuales son negativos.
Respuesta: A) No, porque ni $-8$ ni $-2$ son positivos por separado
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La restricción de positividad se aplica a cada argumento individual, no solo al resultado combinado.
Es la razón por la que algunas separaciones aparentemente válidas no lo son.
Respuesta: Verdadero
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¿Se puede separar $\log_3(4\cdot5)$ como $\log_3(4)+\log_3(5)$?
Ambos factores cumplen la condición de positividad.
Respuesta: A) Sí, porque $4>0$ y $5>0$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál de las siguientes expresiones SÍ puede separarse con la propiedad del producto?
Como $x^2>0$ para $x\neq0$ y $y>0$, ambos factores son positivos por separado.
Respuesta: A) $\log_4(x^2\cdot y)$ con $x\neq0$, $y>0$
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Si $x>0$ e $y>0$, entonces $\log_b(xy)$, $\log_b(x)$ y $\log_b(y)$ están todos definidos simultáneamente.
Cuando ambos argumentos son positivos, tanto el logaritmo combinado como los separados existen.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar la propiedad del producto o cociente?
Es la confusión más común al separar productos o cocientes dentro de un logaritmo.
Respuesta: A) Suponer que basta con que el resultado combinado sea positivo