Definición de logaritmo como exponente de una potencia

Resumen inicial

El logaritmo en base $b$ de un número $a$ es el exponente $c$ al que se debe elevar la base $b$ para obtener el argumento $a$, denotado como $\log_b(a) = c \Longleftrightarrow b^c = a$, con $b > 0, b \neq 1$ y $a > 0$.

Explicación en palabras simples

$El logaritmo en base $b$ de un número $a$ es el exponente $c$ al que se debe elevar la base $b$ para obtener el argumento $a$, denotado como $\log_b(a) = c \Longleftrightarrow b^c = a$, con $b > 0, b \neq 1$ y $a > 0$$

Un logaritmo no es más que una pregunta sobre potencias:

$$\log_b(a) = c \quad \Longleftrightarrow \quad \text{"¿A qué exponente } c \text{ debo elevar } b \text{ para que dé } a\text{?"}$$

Ejemplos rápidos:
$\log_2(8) = \mathbf{3}$ porque $2^3 = 8$.
$\log_3(81) = \mathbf{4}$ porque $3^4 = 81$.
$\log_{10}(100) = \mathbf{2}$ porque $10^2 = 100$.
$\log_5(5) = \mathbf{1}$ porque $5^1 = 5$.
¡Recuerda! El resultado de un logaritmo ES UN EXPONENTE.

Explicación formal

Sea $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y $a \in \mathbb{R}^+$. Dado que la función exponencial $\exp_b: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ con $\exp_b(x) = b^x$ es una biyección continua estrictamente monótona, existe una única aplicación inversa continua $\log_b: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ tal que:
$$\log_b(a) = c \Longleftrightarrow b^c = a$$

Condiciones de existencia axiomáticas:
1. Base $b$: $b > 0 \land b \neq 1$.
2. Argumento $a$: $a > 0$ (el codominio de $b^c$ es estrictamente $\mathbb{R}^+$).
3. Valor del logaritmo $c$: $c \in \mathbb{R}$ (puede ser positivo, negativo o cero).

Definiciones clave

Logaritmo: Exponente necesario para producir una potencia dada desde una base fija.
Base del logaritmo ($b$): Número real positivo distinto de 1 que actúa como base de la potencia.
Argumento ($a$): Resultado positivo de la potencia evaluada.

Propiedades y relaciones importantes

Inversa funcional: $\log_b(b^x) = x$ para todo $x \in \mathbb{R}$, y $b^{\log_b(y)} = y$ para todo $y \in \mathbb{R}^+$.
Isomorfismo de grupos: $\log_b$ es un isomorfismo del grupo multiplicativo $(\mathbb{R}^+, \cdot)$ al grupo aditivo $(\mathbb{R}, +)$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El logaritmo en base $b$ de un número $a$ es el exponente $c$ al que se debe elevar la base $b$ para obtener el argumento $a$, denotado como $\log_b(a) = c \Longleftrightarrow b^c = a$, con $b > 0, b \neq 1$ y $a > 0$$

Calcula el valor exacto de los siguientes logaritmos aplicando la definición fundamental:
1) $\log_2(64)$
2) $\log_3\left(\frac{1}{27}\right)$
3) $\log_7(\sqrt{7})$

Paso 1: Para $\log_2(64)$: - Plantear la ecuación exponencial: $2^c = 64$. - Expresar 64 en base 2: $64 = 2^6 \implies c = 6$. - Por tanto, $\log_2(64) = 6$.
Paso 2: Para $\log_3(1/27)$: - Plantear: $3^c = \frac{1}{27}$. - Expresar $1/27$ en base 3: $\frac{1}{27} = 3^{-3} \implies c = -3$. - Por tanto, $\log_3(1/27) = -3$.
Paso 3: Para $\log_7(\sqrt{7})$: - Plantear: $7^c = 7^{1/2} \implies c = 1/2$. - Por tanto, $\log_7(\sqrt{7}) = \frac{1}{2}$.

Procedimiento

Paso 1: Plantear la ecuación exponencial equivalente $b^c = a$.
Paso 2: Descomponer el argumento $a$ en factores primos para expresarlo en base $b$.
Paso 3: Igualar los exponentes de las potencias de igual base.
Paso 4: Enunciar el exponente $c$ como el valor numérico del logaritmo.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Dividir el argumento por la base (ej: $\log_2(8) = 4$).
Cómo corregirlo: El logaritmo busca el EXPONENTE de la potencia: $2^3 = 8 \implies \log_2(8) = \mathbf{3}$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Un logaritmo representa formalmente el exponente de una potencia."

"Intentar calcular logaritmos de números negativos o cero."

"Dividir el argumento entre la base en lugar de buscar el exponente de la potencia."

"El valor de un logaritmo puede ser cualquier número real positivo, negativo o cero."

"Asumir que logaritmos con argumentos menores a 1 son negativos sin entender la ley de potencias."

Al terminar debes poder

$Resumen El logaritmo en base $b$ de un número $a$ es el exponente $c$ al que se debe elevar la base $b$ para obtener el argumento $a$, denotado como $\log_b(a) = c \Longleftrightarrow b^c = a$, con $b > 0, b \neq 1$ y $a > 0$$

Calcular y definir logaritmos como exponentes de potencias.

Planteando la equivalencia log_b(a) = c ⟺ b^c = a y resolviendo la ecuación exponencial asociada.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

En la notación general $\log_b(x)$, la letra $x$ debe cumplir $x>0$.
¿Para qué sirve escribir el logaritmo con literales $\log_b(x)$ en vez de números concretos?
La notación general permite enunciar propiedades que sirven para cualquier caso concreto.

Respuesta: A) Para deducir y aplicar propiedades válidas en general
En $\log_b(x^n)=n\log_b(x)$, ¿qué representa la letra $n$?
Es el literal que ocupa el lugar del exponente en la expresión general.

Respuesta: A) El exponente del argumento

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

La notación $\log_b(xy)$ representa el logaritmo de un producto de dos literales.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Usar literales en vez de números concretos permite demostrar una propiedad válida para todo caso.
En $\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)$, ¿qué condición deben cumplir $x$ e $y$?
Cada argumento involucrado debe cumplir individualmente la condición de existencia.

Respuesta: A) Ambos deben ser positivos
Traduce $\log_5(25\cdot125)$ a la forma general $\log_b(xy)$.
Se identifica la base y los dos factores del producto.

Respuesta: A) $b=5$, $x=25$, $y=125$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Una propiedad demostrada usando literales deja de ser válida al reemplazar los literales por números concretos.
¿Cuál es el error frecuente al generalizar el logaritmo con literales?
Al generalizar, es común perder de vista que los literales también deben cumplir condiciones de existencia.

Respuesta: A) Olvidar las restricciones de dominio de los literales
¿Cuál notación general corresponde a 'el logaritmo en base $b$ del cociente entre $x$ e $y$'?
Es la traducción directa de la descripción verbal a notación algebraica.

Respuesta: A) $\log_b(x/y)$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación