Definición de logaritmo como exponente de una potencia
Establecer la notación general $\log_b(x)$ con literales como base para deducir y aplicar propiedades algebraicas del logaritmo.
Introducción
Antes de manipular expresiones logarítmicas con variables, conviene fijar una notación general que sirva para cualquier base y cualquier argumento, en vez de trabajar solo con números concretos.
Explicación
Definición formal
Dadas las variables $x,y\in\mathbb{R}^+$, un exponente $n\in\mathbb{R}$ y una base $b>0$, $b\neq1$, las propiedades del logaritmo se enuncian en términos de $\log_b(x)$, $\log_b(y)$ y $\log_b(x^n)$, válidas para cualquier valor concreto que cumpla las restricciones de dominio.
Desarrollo didáctico
En vez de trabajar solo con $\log_2(8)$, se generaliza a $\log_b(x)$ para poder demostrar reglas que sirvan para cualquier caso, como $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$. Esta generalización algebraica es la base para simplificar expresiones logarítmicas complejas más adelante.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Reemplaza los valores numéricos concretos por literales $x$, $y$, $n$ y $b$.
- Paso 2: Verifica que cada literal cumpla las condiciones de existencia del logaritmo.
- Paso 3: Usa esta notación general para enunciar y demostrar propiedades algebraicas.
Ejemplos
1 Expresa $\log_3(9\cdot27)$ usando la notación general $\log_b(xy)$.
- Se identifica $b=3$, $x=9$, $y=27$.
- La expresión general es $\log_b(xy)$ con esos valores particulares.
2 En $\log_b(x^n)=n\cdot\log_b(x)$, identifica qué representa cada literal.
- $b$ es la base, $x$ es el argumento y $n$ es el exponente del argumento.
- La igualdad es válida para cualquier valor de estos literales que cumpla las restricciones.
3 ¿Usar literales en vez de números concretos permite generalizar una propiedad del logaritmo?
- Los literales representan cualquier valor válido, por lo que la propiedad se cumple en general.
4 ¿Pueden $x$ y $y$ en $\log_b(xy)$ tomar cualquier valor real, incluidos los negativos?
- Deben cumplir $x>0$ y $y>0$ para que los logaritmos involucrados estén definidos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar las restricciones de dominio al trabajar con literales en vez de números concretos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el literal que representa la base con el que representa el argumento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que una propiedad demostrada con literales no aplica a casos numéricos particulares."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar que la base literal cumpla $b>0$ y $b\neq1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para deducir propiedades algebraicas, el logaritmo se escribe de forma general como $\log_b(x)$, con $b>0$, $b\neq1$ y $x>0$, dejando $x$, $y$ y los exponentes como literales que representan cualquier valor válido.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En la notación general $\log_b(x)$, la letra $x$ debe cumplir $x>0$.
Es la condición de existencia del argumento, independiente de si es un número o un literal.
Respuesta: Verdadero
-
En $\log_b(x^n)=n\log_b(x)$, ¿qué representa la letra $n$?
Es el literal que ocupa el lugar del exponente en la expresión general.
Respuesta: A) El exponente del argumento
-
¿Para qué sirve escribir el logaritmo con literales $\log_b(x)$ en vez de números concretos?
La notación general permite enunciar propiedades que sirven para cualquier caso concreto.
Respuesta: A) Para deducir y aplicar propiedades válidas en general
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La notación $\log_b(xy)$ representa el logaritmo de un producto de dos literales.
$x$ e $y$ representan cualquier par de valores positivos multiplicados dentro del argumento.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Usar literales en vez de números concretos permite demostrar una propiedad válida para todo caso.
Es la ventaja central de trabajar algebraicamente con el logaritmo.
Respuesta: Verdadero
-
En $\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)$, ¿qué condición deben cumplir $x$ e $y$?
Cada argumento involucrado debe cumplir individualmente la condición de existencia.
Respuesta: A) Ambos deben ser positivos
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Traduce $\log_5(25\cdot125)$ a la forma general $\log_b(xy)$.
Se identifica la base y los dos factores del producto.
Respuesta: A) $b=5$, $x=25$, $y=125$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Una propiedad demostrada usando literales deja de ser válida al reemplazar los literales por números concretos.
Al contrario: la generalización algebraica garantiza que la propiedad se cumpla para cualquier caso numérico válido.
Respuesta: Falso
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¿Cuál es el error frecuente al generalizar el logaritmo con literales?
Al generalizar, es común perder de vista que los literales también deben cumplir condiciones de existencia.
Respuesta: A) Olvidar las restricciones de dominio de los literales
-
¿Cuál notación general corresponde a 'el logaritmo en base $b$ del cociente entre $x$ e $y$'?
Es la traducción directa de la descripción verbal a notación algebraica.
Respuesta: A) $\log_b(x/y)$