Cálculo del logaritmo de una potencia de la base

Resumen inicial

El cálculo del logaritmo de una potencia de la base establece la propiedad de cancelación $\log_b(b^k) = k$ para todo $k \in \mathbb{R}$, manifestando que el logaritmo y la exponencial de igual base actúan como operadores inversos cancelativos.

Explicación en palabras simples

$El cálculo del logaritmo de una potencia de la base establece la propiedad de cancelación $\log_b(b^k) = k$ para todo $k \in \mathbb{R}$, manifestando que el logaritmo y la exponencial de igual base actúan como operadores inversos cancelativos$

Cuando el argumento es una potencia que tiene la misma base que el logaritmo, ¡la base y el logaritmo se cancelan y solo sobrevive el exponente $k$!:

$$\log_b(b^k) = \mathbf{k}$$

Ejemplos súper directos:
$\log_2(2^{\mathbf{5}}) = \mathbf{5}$.
$\log_3(3^{\mathbf{-4}}) = \mathbf{-4}$.
$\ln(e^{\mathbf{x}}) = \mathbf{x}$.
$\log_{10}(10^{\mathbf{8}}) = \mathbf{8}$.
$\log_5(\sqrt[3]{5}) = \log_5(5^{\mathbf{1/3}}) = \mathbf{\frac{1}{3}}$.

Explicación formal

Sea $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y $k \in \mathbb{R}$. Por la definición de composición de aplicaciones inversas $(\log_b \circ \exp_b): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$:
$$(\log_b \circ \exp_b)(k) = \log_b\left(b^k\right) = k$$

Propiedad de identidad dual inversa:
De forma complementaria, para todo $x \in \mathbb{R}^+$:
$$(\exp_b \circ \log_b)(x) = b^{\log_b(x)} = x$$
Ambas identidades confirman que $\log_b$ es el isomorfismo inverso estricto de $\exp_b$ sobre $\mathbb{R}$.

Definiciones clave

Propiedad cancelativa inversa: Anulación mutua de las operaciones exponencial y logarítmica con bases idénticas.
Identidad exponencial logarítmica: Regla $b^{\log_b(x)} = x$ para todo $x > 0$.

Propiedades y relaciones importantes

Linealización de radicales: $\log_b(\sqrt[n]{b^m}) = \log_b(b^{m/n}) = \frac{m}{n}$.
Cancelación en base natural: $\ln(e^k) = k$ y $e^{\ln(x)} = x$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El cálculo del logaritmo de una potencia de la base establece la propiedad de cancelación $\log_b(b^k) = k$ para todo $k \in \mathbb{R}$, manifestando que el logaritmo y la exponencial de igual base actúan como operadores inversos cancelativos$

Calcula el valor exacto de las siguientes expresiones aplicando la propiedad de cancelación:
1) $\log_2(2^9)$
2) $\log_5\left(\frac{1}{5^4}\right)$
3) $\log_3(\sqrt[5]{27})$
4) $10^{\log(45)}$

Paso 1: Para $\log_2(2^9)$: Bases idénticas se cancelan $\implies \mathbf{9}$.
Paso 2: Para $\log_5(1/5^4)$: Escribir en forma de potencia: $\log_5(5^{-4}) \implies \mathbf{-4}$.
Paso 3: Para $\log_3(\sqrt[5]{27})$: - Expresar 27 en base 3: $27 = 3^3$. - Escribir la raíz como exponente fraccionario: $\sqrt[5]{3^3} = 3^{3/5}$. - $\log_3(3^{3/5}) = \mathbf{\frac{3}{5}}$.
Paso 4: Para $10^{\log(45)}$: Cancelación exponencial dual $\implies \mathbf{45}$.

Procedimiento

Paso 1: Expresar el argumento como una potencia de la misma base $b$ del logaritmo ($b^k$).
Paso 2: Si hay raíces, convertirlas a exponentes fraccionarios $\sqrt[n]{b^m} = b^{m/n}$.
Paso 3: Si hay fracciones, convertirlas a exponentes negativos $1/b^n = b^{-n}$.
Paso 4: Cancelar la base con el logaritmo y aislar el exponente $k$ como resultado final.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: No convertir las raíces en exponentes fraccionarios antes de calcular.
Cómo corregirlo: Transforma siempre las raíces en potencias fraccionarias: $\sqrt[n]{b^m} = b^{m/n} \implies \log_b(b^{m/n}) = \mathbf{m/n}$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Olvidar invertir el signo al transformar denominadores a potencias negativas."

"Multiplicar la base por el exponente en vez de aislar directamente k."

"Confundir el orden de la composición exponencial logarítmica."

"La base de una potencia y el logaritmo de igual base se cancelan mutuamente."

"Para cualquier exponente real k se cumple la identidad log_b(bᵏ) = k."

Al terminar debes poder

$Resumen El cálculo del logaritmo de una potencia de la base establece la propiedad de cancelación $\log_b(b^k) = k$ para todo $k \in \mathbb{R}$, manifestando que el logaritmo y la exponencial de igual base actúan como operadores inversos cancelativos$

Calcular el logaritmo de una potencia de la base aplicando la propiedad de cancelación.

Transformando argumentos a la forma bᵏ (incluyendo exponentes fraccionarios y negativos) para obtener k directamente.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

$\log_3(3^7)=7$.
¿Cuánto vale $\log_b(b^n)$?
El logaritmo y la potencia se cancelan al compartir la misma base.

Respuesta: A) $n$
¿Cuál es el valor de $\log_2(2^{-4})$?
El exponente, incluido su signo, pasa directamente como resultado.

Respuesta: A) $-4$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$\log_5(5^{1/2})=1/2$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Simplifica $\log_6(6^9)$.
Se aplica $\log_b(b^n)=n$ con $n=9$.

Respuesta: A) $9$
La propiedad $\log_b(b^n)=n$ es consecuencia de que el logaritmo y la potencia son funciones inversas.
¿Se puede simplificar directamente $\log_3(9^2)$ usando $\log_b(b^n)=n$?
Antes habría que reescribir $9=3^2$ para poder aplicar la propiedad.

Respuesta: A) No, porque la base del logaritmo (3) y de la potencia (9) no coinciden

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al aplicar $\log_b(b^n)=n$?
Es un error común ignorar que las bases deben ser exactamente iguales.

Respuesta: A) Aplicarla cuando las bases del logaritmo y la potencia no coinciden
$\log_b(b^n)=n$ y $b^{\log_b(x)}=x$ son propiedades distintas que expresan la relación inversa entre logaritmo y potencia.
Simplifica $\log_4(4^{2x})$.
Se aplica la propiedad con exponente literal $2x$, que se traslada directamente.

Respuesta: A) $2x$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación