Cálculo del logaritmo de una potencia de la base
Aplicar la propiedad $\log_b(b^n)=n$ para simplificar expresiones algebraicas donde el argumento es una potencia de la base.
Introducción
Cuando el argumento de un logaritmo es la base elevada a un exponente, el resultado es directamente ese exponente, sin necesidad de cálculos adicionales.
Explicación
Definición formal
Para $b>0$, $b\neq1$ y $n\in\mathbb{R}$, se cumple $\log_b(b^n)=n$. Esta propiedad es consecuencia directa de que $\log_b(\cdot)$ y $b^{(\cdot)}$ son funciones inversas: al aplicar el logaritmo a una potencia de la misma base, ambas operaciones se cancelan y queda solo el exponente.
Desarrollo didáctico
$\log_2(2^5)=5$, porque el logaritmo "deshace" la potencia de igual base. Lo mismo ocurre con exponentes negativos o fraccionarios: $\log_3(3^{-2})=-2$ y $\log_5(5^{1/2})=1/2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la base del logaritmo y la base de la potencia dentro del argumento sean iguales.
- Paso 2: Si coinciden, el resultado es directamente el exponente de la potencia.
- Paso 3: Si no coinciden, no se puede aplicar esta propiedad directamente.
Ejemplos
1 Simplifica $\log_6(6^4)$.
- Se verifica que la base del logaritmo y de la potencia coinciden ($6$).
- El resultado es directamente el exponente: $4$.
2 Simplifica $\log_2(2^{-3})$.
- Se verifica que ambas bases coinciden ($2$).
- El resultado es directamente el exponente: $-3$.
3 ¿La propiedad $\log_b(b^n)=n$ también es válida cuando $n$ es negativo?
- La propiedad se cumple para cualquier exponente real, positivo, negativo o fraccionario.
4 ¿Se puede simplificar directamente $\log_2(3^5)$ usando $\log_b(b^n)=n$?
- La base del logaritmo ($2$) y la base de la potencia ($3$) son distintas, así que la propiedad no aplica.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aplicar la propiedad cuando la base del logaritmo y de la potencia no son iguales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que el resultado incluye el signo del exponente cuando este es negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta propiedad con $b^{\log_b(x)}=x$, que tiene la composición en orden inverso."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar que la base cumpla $b>0$, $b\neq1$ antes de simplificar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para cualquier base válida $b$ y cualquier exponente $n$, se cumple $\log_b(b^n)=n$, porque el logaritmo y la potencia se cancelan al compartir la misma base.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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$\log_3(3^7)=7$.
Se aplica directamente $\log_b(b^n)=n$.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuánto vale $\log_b(b^n)$?
El logaritmo y la potencia se cancelan al compartir la misma base.
Respuesta: A) $n$
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¿Cuál es el valor de $\log_2(2^{-4})$?
El exponente, incluido su signo, pasa directamente como resultado.
Respuesta: A) $-4$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$\log_5(5^{1/2})=1/2$.
El exponente fraccionario también se traslada directamente.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Simplifica $\log_6(6^9)$.
Se aplica $\log_b(b^n)=n$ con $n=9$.
Respuesta: A) $9$
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La propiedad $\log_b(b^n)=n$ es consecuencia de que el logaritmo y la potencia son funciones inversas.
Al compartir la misma base, ambas operaciones se cancelan mutuamente.
Respuesta: Verdadero
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¿Se puede simplificar directamente $\log_3(9^2)$ usando $\log_b(b^n)=n$?
Antes habría que reescribir $9=3^2$ para poder aplicar la propiedad.
Respuesta: A) No, porque la base del logaritmo (3) y de la potencia (9) no coinciden
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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$\log_b(b^n)=n$ y $b^{\log_b(x)}=x$ son propiedades distintas que expresan la relación inversa entre logaritmo y potencia.
Ambas reflejan la misma relación de funciones inversas, pero componiendo las operaciones en orden distinto.
Respuesta: Verdadero
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Simplifica $\log_4(4^{2x})$.
Se aplica la propiedad con exponente literal $2x$, que se traslada directamente.
Respuesta: A) $2x$
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar $\log_b(b^n)=n$?
Es un error común ignorar que las bases deben ser exactamente iguales.
Respuesta: A) Aplicarla cuando las bases del logaritmo y la potencia no coinciden