Cálculo del logaritmo de una potencia de la base

Resumen inicial

El logaritmo de una potencia cuya base coincide con la base del logaritmo es igual al exponente: $\log_b(b^k) = k$.

Explicación en palabras simples

Cuando calculamos el logaritmo de una potencia que tiene la misma base que el subíndice del logaritmo, como en $\log_2(2^5)$, la operación del logaritmo y la potencia se cancelan mutuamente por ser operaciones inversas, dejando como resultado directamente el exponente $5$. Esta regla es la base de la cancelación directa entre logaritmos y potencias.

Explicación formal

Definición formal

Para toda base $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y cualquier exponente real $k \in \mathbb{R}$, la propiedad del logaritmo de la potencia de la base establece la identidad fundamental:
$$\log_b(b^k) = k$$
demostrada analíticamente mediante la propiedad de inversión composicional entre la función logarítmica y la función exponencial $f^{-1}(f(k)) = k$:
$$\log_b(b^k) = c \iff b^c = b^k \implies c = k$$

Desglose simbólico

Cancelación directa: $\log_b(b^k) = k$.
Cancelación inversa dual: $b^{\log_b(k)} = k$ (para $k > 0$).
Casos particulares:
Base 10: $\log_{10}(10^k) = \log(10^k) = k$.
Base natural: $\ln(e^k) = k$.

Síntesis didáctica

Regla de la "simplificación inmediata": Si la base del logaritmo y la base de la potencia encerrada en el argumento son iguales, ambas bases y la palabra logaritmo desaparecen, quedando vivo únicamente el número del exponente.

Definiciones clave

Propiedad $\log_b(b^k) = k$: Identidad de cancelación donde la función logarítmica deshace la potencia de igual base.
Composición de funciones inversas: Operación $f^{-1}(f(x)) = x$ entre la función logarítmica y exponencial.
Exponente extraído $k$: Resultado directo de evaluar la potencia de la base en el logaritmo.

Propiedades y relaciones importantes

Dualidad de cancelación: La identidad dual $b^{\log_b(x)} = x$ se utiliza para despejar variables exponentes en ecuaciones exponenciales.
Compatibilidad con exponentes negativos y fraccionarios: La regla aplica para cualquier exponente $k \in \mathbb{R}$, ya sea entero positivo, negativo, racional o irracional.

Ejemplo guiado

Simplifica las siguientes expresiones utilizando la propiedad de la potencia de la base: A) $\log_3(3^7)$, B) $\ln(e^{-4})$, C) $\log(10^{\sqrt{2}})$, D) $\log_5\left(\frac{1}{125}\right)$.

Paso 1: Para $\log_3(3^7)$, al coincidir las bases, el resultado es el exponente: $7$.
Paso 2: Para $\ln(e^{-4})$, como $\ln(x) = \log_e(x)$, las bases $e$ se cancelan dando $-4$.
Paso 3: Para $\log(10^{\sqrt{2}})$, la base implícita es 10, cancelando la base y dando $\sqrt{2}$.
Paso 4: Para $\log_5\left(\frac{1}{125}\right)$, reescribimos el argumento como $5^{-3} \implies \log_5(5^{-3}) = -3$.

Procedimiento

Paso 1: Expresar el argumento del logaritmo como una potencia que tenga exactamente la misma base $b$ que el logaritmo ($b^k$).
Paso 2: Aplicar la identidad $\log_b(b^k) = k$ cancelando la estructura logarítmica y la base.
Paso 3: Extraer el exponente $k$ como el resultado final simplificado.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Elevar la base al exponente antes de resolver perdiendo el patrón (ej: en $\log_2(2^{10})$ calcular $2^{10} = 1024$ y luego buscar $\log_2(1024)$). Cómo corregirlo: No es necesario calcular $2^{10}$. La regla de cancelación entrega directamente el exponente $10$.
Error 2: Olvidar expresar las fracciones como exponentes negativos antes de cancelar (ej: en $\log_3(1/9)$ no ver la potencia de 3). Cómo corregirlo: Reescribir $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$ para obtener $\log_3(3^{-2}) = -2$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Al simplificar $\ln(e^x)$, el resultado conserva la constante $e$ multiplicada por $x$."

"La expresión $b^{\log_b(x)}$ es igual a cero."

"Para calcular $\log_2(2^6)$ es obligatorio desarrollar primero el valor numérico $2^6 = 64$."

"El logaritmo de una potencia cuya base coincide con la base del logaritmo se cancela entregando directamente el exponente ($\log_b(b^k) = k$)."

"La propiedad de cancelación $\log_b(b^k) = k$ solo aplica si el exponente $k$ es un entero positivo."

"La identidad dual $b^{\log_b(x)} = x$ (para $x > 0$) demuestra que la función exponencial y la función logarítmica son funciones inversas."

"El resultado de $\log_3(3^4)$ se calcula multiplicando $3 \cdot 4 = 12$."

Al terminar debes poder

Calcular logaritmos cuya argumento es una potencia de la base ($\log_b(b^k) = k$).

Aplicar la propiedad de inversión funcional entre la función exponencial y logarítmica para extraer directamente el exponente $k$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

$\log_3(3^7)=7$.
¿Cuánto vale $\log_b(b^n)$?
El logaritmo y la potencia se cancelan al compartir la misma base.

Respuesta: A) $n$
¿Cuál es el valor de $\log_2(2^{-4})$?
El exponente, incluido su signo, pasa directamente como resultado.

Respuesta: A) $-4$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$\log_5(5^{1/2})=1/2$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Simplifica $\log_6(6^9)$.
Se aplica $\log_b(b^n)=n$ con $n=9$.

Respuesta: A) $9$
La propiedad $\log_b(b^n)=n$ es consecuencia de que el logaritmo y la potencia son funciones inversas.
¿Se puede simplificar directamente $\log_3(9^2)$ usando $\log_b(b^n)=n$?
Antes habría que reescribir $9=3^2$ para poder aplicar la propiedad.

Respuesta: A) No, porque la base del logaritmo (3) y de la potencia (9) no coinciden

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al aplicar $\log_b(b^n)=n$?
Es un error común ignorar que las bases deben ser exactamente iguales.

Respuesta: A) Aplicarla cuando las bases del logaritmo y la potencia no coinciden
$\log_b(b^n)=n$ y $b^{\log_b(x)}=x$ son propiedades distintas que expresan la relación inversa entre logaritmo y potencia.
Simplifica $\log_4(4^{2x})$.
Se aplica la propiedad con exponente literal $2x$, que se traslada directamente.

Respuesta: A) $2x$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación