Cálculo del logaritmo de la base
Resumen inicial
El logaritmo de un número igual a su propia base es siempre igual a uno: $\log_b(b) = 1$, fundamentado en la regla de potencias $b^1 = b$.
Explicación en palabras simples
Cuando el argumento dentro del logaritmo es idéntico al número de la base, el resultado es siempre 1. Por ejemplo, $\log_2(2) = 1$, $\log_{10}(10) = 1$ o $\ln(e) = 1$. Esto se debe a que cualquier número elevado al exponente 1 da como resultado ese mismo número ($b^1 = b$). Es una de las simplificaciones más rápidas y frecuentes en álgebra.
Explicación formal
Definición formal
Para toda base válida $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$, la propiedad del logaritmo de la base establece la identidad fundamental:
$$\log_b(b) = 1$$
demostrada analíticamente mediante la equivalencia de la función logarítmica con el axioma del exponente unitario en los números reales:
$$\log_b(b) = c \iff b^c = b \implies c = 1 \quad (\text{pues } b^1 = b, \forall b \in \mathbb{R})$$
Desglose simbólico
- Casos particulares universales:
- Base 10: $\log_{10}(10) = \log(10) = 1$.
- Base natural: $\log_e(e) = \ln(e) = 1$.
- Base genérica $b$: $\log_b(b) = 1$.
- Punto cartesiano fundamental: Toda función logarítmica básica $f(x) = \log_b(x)$ pasa obligatoriamente por el punto de coordenadas $(b, 1)$.
Síntesis didáctica
Reconocer la unidad en cancelaciones algebraicas: Al encontrarse con expresiones donde el argumento coincide exactamente con la base, reemplazar de inmediato por el valor numérico 1.
La alternativa correcta es '$1$, porque la base del logaritmo natural es $e$ y $e^1 = e$'. Dado que $\ln(x) = \log_e(x)$, $\ln(e) = \log_e(e) = 1$.
Definiciones clave
- Propiedad $\log_b(b) = 1$: Identidad por la cual evaluar la propia base en el logaritmo devuelve la unidad.
- Exponente unitario $b^1 = b$: Regla algebraica que sostiene que elevar a la potencia 1 no altera el número.
- Punto cartesiano $(b, 1)$: Coordenada por la que transita la curva de $y = \log_b(x)$.
Propiedades y relaciones importantes
- Elemento neutro multiplicativo: El valor 1 producido por $\log_b(b)$ actúa como elemento neutro en productos algebraicos.
- Identidad del logaritmo natural: La relación $\ln(e) = 1$ es la base de la simplificación en cálculo diferencial e integral.
Ejemplo guiado
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones utilizando la propiedad del logaritmo de la base: A) $f = 6 \cdot \log_4(4)$, B) $g = \ln(e) + \log(10)$, C) $h = \frac{\log_9(9) + 5}{3}$.
- Paso 1: Para $f = 6 \cdot \log_4(4)$, como $\log_4(4) = 1$, obtenemos $f = 6 \cdot 1 = 6$.
- Paso 2: Para $g = \ln(e) + \log(10)$, como $\ln(e) = 1$ y $\log(10) = 1$, obtenemos $g = 1 + 1 = 2$.
- Paso 3: Para $h = \frac{\log_9(9) + 5}{3}$, sustituimos $\log_9(9) = 1 \implies h = \frac{1 + 5}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
La alternativa correcta es '$4$'. Calculamos $\log_{15}(15) = 1$ y $\log(10) = 1$. Sustituimos: $K = 7(1) - 3(1) = 7 - 3 = 4$.
Procedimiento
- Paso 1: Comparar el valor del argumento con el número de la base del logaritmo.
- Paso 2: Si el argumento y la base son exactamente el mismo número, reemplazar el logaritmo completo por el valor 1.
- Paso 3: Realizar las operaciones aritméticas asociadas.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Afirmar que $\log_b(b) = b$ creyendo que el resultado devuelve la base. Cómo corregirlo: El logaritmo busca el exponente. Como $b^1 = b$, el exponente necesario es 1. Por tanto, $\log_b(b) = 1$.
- Error 2: Creer que $\ln(e) = 0$. Cómo corregirlo: $\ln(1) = 0$ (logaritmo de uno), pero $\ln(e) = 1$ (logaritmo de la base).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- La base implícita es 10.
- $\log_{10}(10) = 1$ pues $10^1 = 10$.
- Sí. Al coincidir el argumento $\frac{1}{3}$ con su base $\frac{1}{3}$, el resultado es 1.
- Sí. Reemplazamos $\log_8(8) = 1$, dando $9 \cdot 1 = 9$.
- Sí. Al evaluar $x = 5$, $y = \log_5(5) = 1$, confirmando el punto $(5, 1)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Demostrar y aplicar la propiedad del logaritmo de la base ($\log_b(b) = 1$).
Aplicar la ley de exponente unitario $b^1 = b$ para simplificar logaritmos donde la base y el argumento son idénticos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuánto vale $\log_b(b)$ para cualquier base válida $b$?
Porque $b^1=b$ para cualquier base.
Respuesta: A) 1
-
$\log_6(6)=1$.
Se cumple porque $6^1=6$.
Respuesta: Verdadero
-
Simplifica $\log_4(x)-\log_4(4)$.
Se reemplaza $\log_4(4)$ por $1$.
Respuesta: A) $\log_4(x)-1$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\log_b(b)$ depende del valor de la base $b$.
El resultado siempre es $1$, sin importar la base.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Simplifica $\log_3(3)+\log_3(x)$.
Se reemplaza $\log_3(3)$ por $1$.
Respuesta: A) $1+\log_3(x)$
-
Simplifica $\log_2(2)\cdot\log_2(x^3)$.
Como $\log_2(2)=1$, el producto se reduce a $\log_2(x^3)=3\log_2(x)$.
Respuesta: A) $3\log_2(x)$
-
Reconocer $\log_b(b)=1$ dentro de una expresión más grande simplifica el desarrollo algebraico.
Permite reemplazar ese término por el valor constante $1$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto a $\log_b(b)$?
Ambas propiedades se parecen y suelen confundirse entre sí.
Respuesta: A) Confundirlo con $\log_b(1)=0$
-
$\log_b(b)=1$ es un caso particular de $\log_b(b^n)=n$ con $n=1$.
Es exactamente el caso $n=1$ de la propiedad del logaritmo de una potencia de la base.
Respuesta: Verdadero
-
Simplifica $\dfrac{\log_5(x)}{\log_5(5)}$.
Como $\log_5(5)=1$, la división no altera el numerador.
Respuesta: A) $\log_5(x)$