Cálculo del logaritmo de la base

Resumen inicial

El cálculo del logaritmo de la base establece la propiedad de identidad $\log_b(b) = 1$ para todo $b > 0, b \neq 1$, demostrando que cualquier número elevado al exponente unitario reproduce su propio valor ($b^1 = b$).

Explicación en palabras simples

$El cálculo del logaritmo de la base establece la propiedad de identidad $\log_b(b) = 1$ para todo $b > 0, b eq 1$, demostrando que cualquier número elevado al exponente unitario reproduce su propio valor ($b^1 = b$)$

Cuando el argumento es exactamente igual a la base, el resultado siempre es UNO:

$$\log_b(b) = \mathbf{1}$$

¿Por qué?
Porque $b^1 = b$:
- $\log_2(2) = 1$ (porque $2^1 = 2$).
- $\log_{10}(10) = 1$ (porque $10^1 = 10$).
- $\ln(e) = 1$ (porque $e^1 = e$).
- $\log_{50}(50) = 1$ (porque $50^1 = 50$).
En la gráfica: Esto fija el punto clave $(b, 1)$, mostrando que a la distancia de su propia base la curva alcanza altura 1.

Explicación formal

Sea $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$. Por el axioma de elemento neutro para la exponenciación en $\mathbb{R}$:
$$b^1 = b$$
Aplicando la definición biunívoca del logaritmo:
$$\log_b(b) = 1$$

Significado en análisis funcional:
Fija el punto de escala unitaria $P_1(b, 1)$ en la gráfica de la función trascendente $\log_b$. Además, en la fórmula general de cambio de base confirma que:
$$\log_b(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(b)} = 1$$

Definiciones clave

Logaritmo de la base: Propiedad de identidad $\log_b(b) = 1$.
Punto de escala unitaria: Punto cartesiano $(b, 1)$ característico de la curva logarítmica.

Propiedades y relaciones importantes

Simplificación directa: En cualquier expresión algebraica, un término $\log_b(b)$ se reemplaza inmediatamente por el escalar 1.
Base decimal y natural: $\log(10) = 1$ y $\ln(e) = 1$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El cálculo del logaritmo de la base establece la propiedad de identidad $\log_b(b) = 1$ para todo $b > 0, b \neq 1$, demostrando que cualquier número elevado al exponente unitario reproduce su propio valor ($b^1 = b$)$

Calcula y simplifica las siguientes expresiones aplicando la propiedad del logaritmo de la base:
1) $\log_7(7)$
2) $\ln(e)$
3) $E = 3\log_5(5) - 2\log(10)$

Paso 1: Para $\log_7(7)$: Base y argumento coinciden $\implies \mathbf{1}$.
Paso 2: Para $\ln(e)$: Logaritmo natural en base $e$ de $e \implies \mathbf{1}$.
Paso 3: Para $E = 3\log_5(5) - 2\log(10)$: - Sustituir $\log_5(5) = 1$ y $\log(10) = 1$: - $E = 3(1) - 2(1) = 3 - 2 = \mathbf{1}$.

Procedimiento

Paso 1: Comparar el valor de la base con el valor del argumento.
Paso 2: Si ambos números son idénticos ($b = a$), aplicar $\log_b(b) = 1$.
Paso 3: Multiplicar por los coeficientes exteriores si existen.
Paso 4: Realizar las operaciones aritméticas finales.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir que $\log_b(b) = b$.
Cómo corregirlo: La pregunta es "¿A qué exponente elevo $b$ para dar $b$?", y la respuesta es UNO ($b^1 = b$), por lo que $\log_b(b) = \mathbf{1}$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Olvidar que en base 10 implícita log(10) es igual a 1."

"El logaritmo de la base es idénticamente igual a 1 para toda base admisible."

"Escribir b en lugar de 1 al evaluar log_b(b)."

"La igualdad log_b(b) = 1 se fundamenta en la identidad de exponente lineal b¹ = b."

"Confundir log_b(b) = 1 con log_b(1) = 0."

Al terminar debes poder

$Resumen El cálculo del logaritmo de la base establece la propiedad de identidad $\log_b(b) = 1$ para todo $b > 0, b \neq 1$, demostrando que cualquier número elevado al exponente unitario reproduce su propio valor ($b^1 = b$)$

Calcular y aplicar la propiedad del logaritmo de la base.

Utilizando la identidad log_b(b) = 1 para simplificar términos logarítmicos directos.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Cuánto vale $\log_b(b)$ para cualquier base válida $b$?
Porque $b^1=b$ para cualquier base.

Respuesta: A) 1
$\log_6(6)=1$.
Simplifica $\log_4(x)-\log_4(4)$.
Se reemplaza $\log_4(4)$ por $1$.

Respuesta: A) $\log_4(x)-1$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$\log_b(b)$ depende del valor de la base $b$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Simplifica $\log_3(3)+\log_3(x)$.
Se reemplaza $\log_3(3)$ por $1$.

Respuesta: A) $1+\log_3(x)$
Simplifica $\log_2(2)\cdot\log_2(x^3)$.
Como $\log_2(2)=1$, el producto se reduce a $\log_2(x^3)=3\log_2(x)$.

Respuesta: A) $3\log_2(x)$
Reconocer $\log_b(b)=1$ dentro de una expresión más grande simplifica el desarrollo algebraico.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente respecto a $\log_b(b)$?
Ambas propiedades se parecen y suelen confundirse entre sí.

Respuesta: A) Confundirlo con $\log_b(1)=0$
$\log_b(b)=1$ es un caso particular de $\log_b(b^n)=n$ con $n=1$.
Simplifica $\dfrac{\log_5(x)}{\log_5(5)}$.
Como $\log_5(5)=1$, la división no altera el numerador.

Respuesta: A) $\log_5(x)$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación