Cálculo del logaritmo de la base
Aplicar la propiedad $\log_b(b)=1$ para simplificar expresiones algebraicas donde el argumento coincide con la base.
Introducción
Cuando el argumento de un logaritmo es exactamente igual a su base, el resultado siempre es el mismo valor fijo, sin importar cuál sea esa base.
Explicación
Definición formal
Para todo $b>0$, $b\neq1$, se cumple $\log_b(b)=1$, pues $b^1=b$. Esta propiedad permite simplificar de inmediato cualquier término de una expresión algebraica donde el argumento sea idéntico a la base del logaritmo.
Desarrollo didáctico
Al simplificar $\log_7(x)+\log_7(7)$, se reemplaza $\log_7(7)$ por $1$, quedando $\log_7(x)+1$. Reconocer esta coincidencia entre base y argumento evita cálculos innecesarios.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Localiza cualquier término donde el argumento coincida exactamente con la base del logaritmo.
- Paso 2: Reemplázalo directamente por $1$.
- Paso 3: Simplifica la expresión resultante integrando ese valor constante.
Ejemplos
1 Simplifica $\log_4(4)+\log_4(x)$.
- Se reemplaza $\log_4(4)$ por $1$.
- La expresión se reduce a $1+\log_4(x)$.
2 Simplifica $\log_3(x)-\log_3(3)$.
- Se reemplaza $\log_3(3)$ por $1$.
- La expresión queda $\log_3(x)-1$, equivalente a $\log_3(x/3)$.
3 ¿La igualdad $\log_b(b)=1$ se cumple para cualquier base $b>0$, $b\neq1$?
- Se deriva directamente de que $b^1=b$ para cualquier base.
4 ¿Existe alguna base válida $b$ para la cual $\log_b(b)\neq1$?
- El resultado siempre es $1$, sin importar qué base válida se use.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir $\log_b(b)=1$ con $\log_b(1)=0$, invirtiendo los resultados de ambas propiedades."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No reconocer el término $\log_b(b)$ cuando aparece disfrazado dentro de una expresión más compleja."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que el resultado depende del valor específico de la base."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar que la base cumpla $b>0$, $b\neq1$ antes de aplicar la propiedad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para cualquier base válida $b$, se cumple $\log_b(b)=1$, ya que $b^1=b$; esta propiedad simplifica términos donde el argumento y la base coinciden.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuánto vale $\log_b(b)$ para cualquier base válida $b$?
Porque $b^1=b$ para cualquier base.
Respuesta: A) 1
-
$\log_6(6)=1$.
Se cumple porque $6^1=6$.
Respuesta: Verdadero
-
Simplifica $\log_4(x)-\log_4(4)$.
Se reemplaza $\log_4(4)$ por $1$.
Respuesta: A) $\log_4(x)-1$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\log_b(b)$ depende del valor de la base $b$.
El resultado siempre es $1$, sin importar la base.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Simplifica $\log_3(3)+\log_3(x)$.
Se reemplaza $\log_3(3)$ por $1$.
Respuesta: A) $1+\log_3(x)$
-
Simplifica $\log_2(2)\cdot\log_2(x^3)$.
Como $\log_2(2)=1$, el producto se reduce a $\log_2(x^3)=3\log_2(x)$.
Respuesta: A) $3\log_2(x)$
-
Reconocer $\log_b(b)=1$ dentro de una expresión más grande simplifica el desarrollo algebraico.
Permite reemplazar ese término por el valor constante $1$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto a $\log_b(b)$?
Ambas propiedades se parecen y suelen confundirse entre sí.
Respuesta: A) Confundirlo con $\log_b(1)=0$
-
$\log_b(b)=1$ es un caso particular de $\log_b(b^n)=n$ con $n=1$.
Es exactamente el caso $n=1$ de la propiedad del logaritmo de una potencia de la base.
Respuesta: Verdadero
-
Simplifica $\dfrac{\log_5(x)}{\log_5(5)}$.
Como $\log_5(5)=1$, la división no altera el numerador.
Respuesta: A) $\log_5(x)$