Aplicación de la propiedad del logaritmo de una potencia
Aplicar la propiedad $\log_b(x^n)=n\cdot\log_b(x)$ para bajar exponentes fuera del logaritmo.
Introducción
Cuando el argumento de un logaritmo está elevado a una potencia, ese exponente puede "bajarse" como factor multiplicando al logaritmo.
Explicación
Definición formal
Para $b>0$, $b\neq1$, $x>0$ y $n\in\mathbb{R}$, se cumple $\log_b(x^n)=n\cdot\log_b(x)$. Se demuestra definiendo $m=\log_b(x)$, de modo que $b^m=x$; elevando ambos lados a $n$: $x^n=(b^m)^n=b^{mn}$, y aplicando el logaritmo se obtiene $\log_b(x^n)=mn=n\cdot\log_b(x)$.
Desarrollo didáctico
$\log_2(8^2)=2\cdot\log_2(8)=2\cdot3=6$, lo mismo que calcular directamente $\log_2(64)=6$. La propiedad también funciona con exponentes fraccionarios: $\log_9(9^{1/2})=\frac{1}{2}\cdot\log_9(9)=\frac{1}{2}$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el exponente del argumento dentro del logaritmo.
- Paso 2: Traslada ese exponente como coeficiente que multiplica al logaritmo.
- Paso 3: Simplifica el logaritmo resultante si corresponde.
Ejemplos
1 Simplifica $\log_5(25^3)$.
- {'Se traslada el exponente': '$3\\cdot\\log_5(25)$.'}
- Como $\log_5(25)=2$, el resultado es $3\cdot2=6$.
2 Simplifica $\log_4(4^{1/2})$.
- {'Se traslada el exponente': '$\\frac{1}{2}\\cdot\\log_4(4)$.'}
- Como $\log_4(4)=1$, el resultado es $\frac{1}{2}$.
3 ¿Se cumple $\log_b(x^{-n})=-n\cdot\log_b(x)$?
- La propiedad es válida para cualquier exponente real, incluidos los negativos.
4 ¿Se puede aplicar $\log_b(x^n)=n\cdot\log_b(x)$ si $x<0$?
- Se exige $x>0$ para que $\log_b(x)$ esté definido en el lado derecho de la igualdad.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar trasladar el exponente completo, incluido su signo, al aplicar la propiedad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir $\log_b(x^n)$ con $(\log_b(x))^n$, que no son expresiones equivalentes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la propiedad sin verificar que el argumento base $x$ sea positivo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No simplificar el logaritmo resultante cuando corresponde un valor numérico exacto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La propiedad de la **potencia** establece que $\log_b(x^n)=n\cdot\log_b(x)$, permitiendo trasladar el exponente del argumento hacia afuera del logaritmo como un coeficiente.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la propiedad de la potencia de logaritmos?
El exponente del argumento pasa a multiplicar al logaritmo.
Respuesta: A) $\log_b(x^n)=n\cdot\log_b(x)$
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$\log_2(8^2)=2\cdot\log_2(8)$.
Es la aplicación directa de la propiedad de la potencia.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué condición debe cumplir $x$ para aplicar $\log_b(x^n)=n\cdot\log_b(x)$?
El argumento base debe cumplir la condición de dominio del logaritmo.
Respuesta: A) $x>0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$\log_5(x^3)=3\log_5(x)$ para $x>0$.
Es la aplicación estándar de la propiedad de la potencia.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Aplica la propiedad de la potencia a $\log_3(27^2)$.
Se traslada el exponente $2$ como factor y se calcula $\log_3(27)=3$.
Respuesta: A) $2\cdot\log_3(27)=2\cdot3=6$
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La propiedad de la potencia también es válida con exponentes fraccionarios.
$\log_b(x^{1/n})=\frac{1}{n}\log_b(x)$, útil para simplificar raíces.
Respuesta: Verdadero
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Aplica la propiedad de la potencia a $\log_2(x^{-3})$.
El exponente negativo se traslada completo, incluido su signo.
Respuesta: A) $-3\log_2(x)$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar la propiedad de la potencia?
Son expresiones distintas que no deben confundirse.
Respuesta: A) Confundir $\log_b(x^n)$ con $(\log_b(x))^n$
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$\log_b(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\log_b(x)$ para $x>0$.
La raíz cuadrada equivale al exponente $1/2$, que se traslada como factor.
Respuesta: Verdadero
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Simplifica $\log_5(x^4\cdot y^{-2})$ combinando producto y potencia.
Se separa el producto y se bajan ambos exponentes, incluido el signo negativo.
Respuesta: A) $4\log_5(x)-2\log_5(y)$