Aplicación de la propiedad del logaritmo de una potencia
Resumen inicial
La propiedad del logaritmo de una potencia (regla del sombrero) establece que el exponente del argumento baja multiplicando por delante como un factor escalar: $\log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x)$ ($x > 0, k \in \mathbb{R}$).
Explicación en palabras simples
Esta propiedad es conocida popularmente como la "regla del sombrero": cualquier exponente que esté arriba del argumento se cae hacia adelante multiplicando:
$$\log_b(x^{\mathbf{k}}) = \mathbf{k} \cdot \log_b(x)$$
- ¿Para qué sirve?
- Para bajar exponentes difíciles y volverlos multiplicaciones normales.
- $\log_2(8^{\mathbf{4}}) = \mathbf{4} \cdot \log_2(8) = 4 \cdot 3 = \mathbf{12}$.
- ¡También funciona con raíces! (Recuerda que $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$):
$$\log_b(\sqrt[n]{x}) = \mathbf{\frac{1}{n}} \log_b(x)$$ - $\log_3(\sqrt{27}) = \frac{1}{2} \log_3(27) = \frac{1}{2} \cdot 3 = \mathbf{\frac{3}{2}}$.
Explicación formal
Sean $x \in \mathbb{R}^+, b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y $k \in \mathbb{R}$. Sea $u = \log_b(x) \iff x = b^u$.
Elevando ambos miembros a la potencia $k$:
$$x^k = (b^u)^k = b^{k \cdot u}$$
Aplicando el operador $\log_b$ a ambos miembros:
$$\log_b(x^k) = \log_b\left(b^{k \cdot u}\right) = k \cdot u$$
Sustituyendo $u = \log_b(x)$:
$$\log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x)$$
Corolario para radicales ($\k = 1/n$):
$$\log_b(\sqrt[n]{x^m}) = \log_b\left(x^{m/n}\right) = \frac{m}{n} \log_b(x)$$
La alternativa correcta es '5 · log₃(x)'. Por la regla de la potencia, el exponente 5 baja multiplicando al frente del logaritmo.
Definiciones clave
- Regla del sombrero / Logaritmo de potencia: Factorización del exponente $k$ como multiplicador escalar exterior.
- Linealización de potencias: Reducción de grados exponenciales a productos lineales.
Propiedades y relaciones importantes
- Subida y bajada de coeficientes: $k \cdot \log_b(x) = \log_b(x^k)$.
- Distinción de paréntesis: $[\log_b(x)]^k \neq \log_b(x^k)$. Solo el exponente que afecta directamente al argumento puede bajar.
Ejemplo guiado
Calcula y simplifica aplicando la propiedad de la potencia:
1) $\log_5(125^6)$
2) $\log_2(\sqrt[4]{32})$
3) Si $\log(x) = 1{,}5$, calcula $\log(x^4)$
- Paso 1: Para $\log_5(125^6)$: - Bajar el exponente 6: $6 \cdot \log_5(125)$. - Como $\log_5(125) = 3$: $6 \cdot 3 = \mathbf{18}$.
- Paso 2: Para $\log_2(\sqrt[4]{32})$: - Convertir raíz a potencia fraccionaria: $\log_2(32^{1/4}) = \frac{1}{4} \log_2(32)$. - Como $\log_2(32) = 5$: $\frac{1}{4} \cdot 5 = \mathbf{\frac{5}{4}}$.
- Paso 3: Para $\log(x^4)$: - Bajar el exponente: $4 \cdot \log(x)$. - Sustituir $\log(x) = 1{,}5$: $4 \cdot 1{,}5 = \mathbf{6}$.
La alternativa correcta es '(1/3) · log(y)'. Como $\sqrt[3]{y} = y^{1/3}$, el exponente $1/3$ baja multiplicando por delante.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el exponente $k$ que afecta al argumento $x$.
- Paso 2: Si hay radicales, reescribirlos como exponentes fraccionarios $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$.
- Paso 3: Bajar el exponente multiplicando al frente: $k \cdot \log_b(x)$.
- Paso 4: Evaluar el logaritmo base y realizar la multiplicación aritmética.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Bajar un exponente que afecta a todo el logaritmo (ej: $[\log(x)]^2 = 2\log(x)$).
- Cómo corregirlo: La regla solo aplica si el exponente está dentro del argumento: $\log(x^2) = 2\log(x)$, pero $[\log(x)]^2 = \log(x) \cdot \log(x)$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $5 \cdot \log_2(8) = 5 \cdot 3 = 15$.
- Paso 1: $\log_5(125^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_5(125) = \frac{1}{2} \cdot 3 = 3/2$.
- Paso 1: $1/\sqrt{x} = x^{-1/2} \implies -\frac{1}{2} \log_b(x)$.
- Paso 1: $3\log(2) = \log(2^3) = \log(8)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia y de una raíz.
Utilizando la regla log_b(xᵏ) = k · log_b(x) para extraer exponentes y simplificar radicales.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es la propiedad de la potencia de logaritmos?
El exponente del argumento pasa a multiplicar al logaritmo.
Respuesta: A) $\log_b(x^n)=n\cdot\log_b(x)$
-
$\log_2(8^2)=2\cdot\log_2(8)$.
Es la aplicación directa de la propiedad de la potencia.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué condición debe cumplir $x$ para aplicar $\log_b(x^n)=n\cdot\log_b(x)$?
El argumento base debe cumplir la condición de dominio del logaritmo.
Respuesta: A) $x>0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\log_5(x^3)=3\log_5(x)$ para $x>0$.
Es la aplicación estándar de la propiedad de la potencia.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Aplica la propiedad de la potencia a $\log_3(27^2)$.
Se traslada el exponente $2$ como factor y se calcula $\log_3(27)=3$.
Respuesta: A) $2\cdot\log_3(27)=2\cdot3=6$
-
La propiedad de la potencia también es válida con exponentes fraccionarios.
$\log_b(x^{1/n})=\frac{1}{n}\log_b(x)$, útil para simplificar raíces.
Respuesta: Verdadero
-
Aplica la propiedad de la potencia a $\log_2(x^{-3})$.
El exponente negativo se traslada completo, incluido su signo.
Respuesta: A) $-3\log_2(x)$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar la propiedad de la potencia?
Son expresiones distintas que no deben confundirse.
Respuesta: A) Confundir $\log_b(x^n)$ con $(\log_b(x))^n$
-
$\log_b(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\log_b(x)$ para $x>0$.
La raíz cuadrada equivale al exponente $1/2$, que se traslada como factor.
Respuesta: Verdadero
-
Simplifica $\log_5(x^4\cdot y^{-2})$ combinando producto y potencia.
Se separa el producto y se bajan ambos exponentes, incluido el signo negativo.
Respuesta: A) $4\log_5(x)-2\log_5(y)$