Aplicación de la propiedad del logaritmo de un producto
Resumen inicial
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de sus factores: $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$.
Explicación en palabras simples
Los logaritmos tienen la maravillosa propiedad de transformar operaciones difíciles en operaciones más sencillas. En particular, transforman una multiplicación dentro del argumento en una suma por fuera. Si tenemos el logaritmo de una multiplicación como $\log_2(4 \cdot 8)$, podemos separarlo en la suma de dos logaritmos simples: $\log_2(4) + \log_2(8) = 2 + 3 = 5$. También funciona al revés: una suma de logaritmos de igual base se puede juntar en un solo logaritmo multiplicando sus argumentos.
Explicación formal
Definición formal
Para toda base $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y cualesquiera argumentos estrictamente positivos $x, y \in \mathbb{R}^+$, la propiedad del logaritmo de un producto establece la identidad isomórfica:
$$\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$$
Demostración formal
Sean $u = \log_b(x)$ y $v = \log_b(y)$. Por definición exponencial:
$$x = b^u \quad \text{y} \quad y = b^v$$
Multiplicando ambas expresiones miembro a miembro:
$$x \cdot y = b^u \cdot b^v = b^{u + v}$$
Aplicando la definición de logaritmo a la igualdad $x \cdot y = b^{u + v}$:
$$\log_b(x \cdot y) = u + v = \log_b(x) + \log_b(y) \quad \blacksquare$$
Síntesis didáctica
Regla de doble sentido:
- Expansión: Convertir un logaritmo producto en suma de logaritmos: $\log_b(x \cdot y) \to \log_b(x) + \log_b(y)$.
- Compresión: Condensar una suma de logaritmos de igual base en un único logaritmo: $\log_b(x) + \log_b(y) \to \log_b(x \cdot y)$.
La alternativa correcta es '$\log_6(36) = 2$, multiplicando los argumentos $4 \cdot 9 = 36$'. La suma de logaritmos de igual base equivale al logaritmo del producto de sus argumentos.
Definiciones clave
- Propiedad del producto $\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)$: Identidad que convierte el producto de argumentos positivos en suma de logaritmos.
- Isomorfismo de grupos: Transformación que convierte la estructura multiplicativa del argumento en la estructura aditiva de las salidas.
- Compresión de logaritmos: Agrupación de múltiples términos aditivos en un solo logaritmo multiplicativo.
Propiedades y relaciones importantes
- Requisito de bases idénticas: Para agrupar la suma $\log_b(x) + \log_b(y)$ en $\log_b(x \cdot y)$, ambas expresiones deben compartir exactamente la misma base $b$.
- Generalización a $n$ factores: $\log_b(x_1 \cdot x_2 \cdots x_n) = \log_b(x_1) + \log_b(x_2) + \dots + \log_b(x_n)$.
Ejemplo guiado
Aplica la propiedad del producto en los siguientes casos: A) Descompón $\log_6(216 \cdot 36)$, B) Comprime la suma $\log_2(5) + \log_2(6.4)$, C) Simplifica $\log_3(x) + \log_3(y) - \log_3(z)$.
- Paso 1: Para $\log_6(216 \cdot 36)$, aplicamos expansión: $\log_6(216) + \log_6(36) = 3 + 2 = 5$.
- Paso 2: Para $\log_2(5) + \log_2(6.4)$, como comparten base 2, comprimimos multiplicando argumentos: $\log_2(5 \cdot 6.4) = \log_2(32) = 5$.
- Paso 3: Para $\log_3(x) + \log_3(y)$, agrupamos los términos sumados como producto: $\log_3(x \cdot y)$.
La alternativa correcta es '$1.0$, aplicando $\log_b(2 \cdot 5) = \log_b(2) + \log_b(5) = 0.3 + 0.7 = 1.0$'. Como $10 = 2 \cdot 5$, el logaritmo del producto es la suma de los logaritmos.
Procedimiento
- Paso 1: Para expandir $\log_b(x \cdot y)$, escribir el primer factor como $\log_b(x)$ y sumarle el segundo factor como $\log_b(y)$.
- Paso 2: Para comprimir $\log_b(x) + \log_b(y)$, verificar que las bases sean idénticas.
- Paso 3: Escribir un único logaritmo en esa base y multiplicar los argumentos dentro del paréntesis: $\log_b(x \cdot y)$.
- Paso 4: Simplificar el valor numérico resultante si es posible.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Afirmar que el logaritmo de una suma es la suma de logaritmos (ej: escribir $\log_b(x + y) = \log_b(x) + \log_b(y)$). Cómo corregirlo: La propiedad del producto actúa sobre la multiplicación interna: $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$. El logaritmo de una suma $\log_b(x + y)$ no se puede separar.
- Error 2: Multiplicar los logaritmos al comprimir una suma (ej: escribir $\log_b(x) + \log_b(y) = \log_b(x) \cdot \log_b(y)$). Cómo corregirlo: Al sumar dos logaritmos se genera un solo logaritmo cuyo argumento es el producto de las partes: $\log_b(x \cdot y)$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Aplicamos propiedad del producto: $\log_2(3 \cdot 5) = \log_2(15)$.
- Sí. Como $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, el logaritmo de 30 equivale a la suma de sus logaritmos primos.
- Sí. Multiplicamos los tres argumentos: $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \implies \ln(24)$.
- No. Las bases son distintas ($2 \neq 3$), por lo que no se puede aplicar la propiedad del producto directa.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Aplicar la propiedad del logaritmo de un producto ($\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$).
Transformar productos en la adición de logaritmos de igual base, justificando la equivalencia mediante las leyes de exponentes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la propiedad del producto de logaritmos?
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.
Respuesta: A) $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$
-
$\log_2(4\cdot8)=\log_2(4)+\log_2(8)$.
Es la aplicación directa de la propiedad del producto.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué condición deben cumplir $x$ e $y$ para aplicar $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$?
Cada argumento individual debe cumplir la condición de dominio.
Respuesta: A) Ambos deben ser positivos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\log_5(x\cdot y)$ puede separarse en $\log_5(x)+\log_5(y)$ si $x>0$ e $y>0$.
Cumple exactamente las condiciones de la propiedad del producto.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Aplica la propiedad del producto a $\log_3(9\cdot81)$.
Se separa el producto y se calculan ambos logaritmos por separado.
Respuesta: A) $\log_3(9)+\log_3(81)=2+4=6$
-
Aplica la propiedad del producto a $\log_4(x\cdot y^2)$.
Se separa el producto y luego se baja el exponente de $y^2$.
Respuesta: A) $\log_4(x)+2\log_4(y)$
-
La propiedad del producto también permite combinar $\log_b(x)+\log_b(y)$ en un solo logaritmo $\log_b(xy)$.
La igualdad funciona en ambos sentidos, separar o combinar.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Combina $\log_2(x)+\log_2(y)+\log_2(z)$ en un solo logaritmo.
La propiedad del producto se extiende a más de dos factores.
Respuesta: A) $\log_2(xyz)$
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar la propiedad del producto?
Es un error frecuente confundir la suma de logaritmos con su producto.
Respuesta: A) Confundirla con $\log_b(x)\cdot\log_b(y)$
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$\log_b(x^2\cdot y^3)$ puede simplificarse combinando las propiedades del producto y la potencia.
Primero se separa el producto y luego se bajan ambos exponentes.
Respuesta: Verdadero