Aplicación de la propiedad del logaritmo de un producto

Resumen inicial

La propiedad del logaritmo de un producto establece que el logaritmo de una multiplicación es igual a la suma de los logaritmos de los factores: $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$ ($x > 0, y > 0$).

Explicación en palabras simples

$La propiedad del logaritmo de un producto establece que el logaritmo de una multiplicación es igual a la suma de los logaritmos de los factores: $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$ ($x > 0, y > 0$)$

Esta es la propiedad más famosa de los logaritmos: convierte multiplicaciones difíciles en sumas fáciles:

$$\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$$

¿De dónde viene esta magia?
De la ley de potencias: al multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes ($b^u \cdot b^v = b^{u+v}$).
Funciona en ambos sentidos:
Para separar: $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2(4) + \log_2(8) = 2 + 3 = \mathbf{5}$.
Para unir (condensar): $\log(2) + \log(5) = \log(2 \cdot 5) = \log(10) = \mathbf{1}$.
¡Cuidado con la trampa mortal! El logaritmo de una suma NO SE PUEDE SEPARAR: $\log(x + y) \neq \log(x) + \log(y)$.

Explicación formal

Sean $x, y \in \mathbb{R}^+$ y $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$. Sean $u = \log_b(x)$ y $v = \log_b(y) \iff x = b^u, y = b^v$.
Por las leyes algebraicas de los exponentes sobre $(\mathbb{R}^+, \cdot)$:
$$x \cdot y = b^u \cdot b^v = b^{u + v}$$
Aplicando el operador $\log_b$ a ambos miembros:
$$\log_b(x \cdot y) = \log_b\left(b^{u + v}\right) = u + v$$
Sustituyendo los valores originales de $u$ y $v$:
$$\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$$

Generalización a $n$ factores:
$$\log_b\left(\prod_{i=1}^n x_i\right) = \sum_{i=1}^n \log_b(x_i), \quad \forall x_i > 0$$

Definiciones clave

Logaritmo de un producto: Teorema aditivo que transforma un producto de argumentos en suma de logaritmos individuales.
Linealización multiplicativa: Conversión de operadores no lineales en sumas escalares.

Propiedades y relaciones importantes

Condición de positividad individual: Tanto $x$ como $y$ deben ser estrictamente positivos para separar el logaritmo en reales.
Falso teorema de la suma: $\log_b(x + y) \neq \log_b(x) + \log_b(y)$ y $\log_b(x \cdot y) \neq \log_b(x) \cdot \log_b(y)$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La propiedad del logaritmo de un producto establece que el logaritmo de una multiplicación es igual a la suma de los logaritmos de los factores: $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$ ($x > 0, y > 0$)$

Si se sabe que $\log(2) \approx 0{,}301$ y $\log(3) \approx 0{,}477$, calcula el valor aproximado de:
1) $\log(6)$
2) $\log(18)$
3) $\log(20)$

Paso 1: Para $\log(6)$: - Descomponer en factores primos: $6 = 2 \cdot 3$. - Aplicar propiedad del producto: $\log(6) = \log(2) + \log(3)$. - Calcular: $\log(6) \approx 0{,}301 + 0{,}477 = \mathbf{0{,}778}$.
Paso 2: Para $\log(18)$: - Descomponer: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$. - Aplicar propiedad: $\log(18) = \log(2) + \log(3) + \log(3)$. - Calcular: $\log(18) \approx 0{,}301 + 0{,}477 + 0{,}477 = \mathbf{1{,}255}$.
Paso 3: Para $\log(20)$: - Descomponer: $20 = 2 \cdot 10$. - Aplicar propiedad: $\log(20) = \log(2) + \log(10) \approx 0{,}301 + 1 = \mathbf{1{,}301}$.

Procedimiento

Paso 1: Verificar que los términos tengan la misma base $b$.
Paso 2: Para expandir, descomponer el argumento en factores y escribir la suma $\log_b(x) + \log_b(y)$.
Paso 3: Para condensar, fusionar los argumentos multiplicándolos bajo un solo logaritmo $\log_b(x \cdot y)$.
Paso 4: Evaluar y simplificar las expresiones numéricas resultantes.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir $\log(x + y) = \log(x) + \log(y)$ o $\log(x \cdot y) = \log(x) \cdot \log(y)$.
Cómo corregirlo: La regla es: Multiplicación adentro $\Longleftrightarrow$ Suma afuera: $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Distribuir el logaritmo sobre una suma como si fuera una multiplicación distributiva."

"La suma de logaritmos de igual base se condensa en el logaritmo del producto de sus argumentos."

"El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores."

"Multiplicar los logaritmos en vez de sumarlos al expandir productos."

"Sumar logaritmos que tienen bases diferentes sin cambiar de base previamente."

Al terminar debes poder

$Resumen La propiedad del logaritmo de un producto establece que el logaritmo de una multiplicación es igual a la suma de los logaritmos de los factores: $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$ ($x > 0, y > 0$)$

Aplicar la propiedad del logaritmo de un producto para expandir y condensar expresiones.

Utilizando la identidad log_b(x · y) = log_b(x) + log_b(y) en cálculos analíticos y numéricos.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Cuál es la propiedad del producto de logaritmos?
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

Respuesta: A) $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$
$\log_2(4\cdot8)=\log_2(4)+\log_2(8)$.
¿Qué condición deben cumplir $x$ e $y$ para aplicar $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$?
Cada argumento individual debe cumplir la condición de dominio.

Respuesta: A) Ambos deben ser positivos

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$\log_5(x\cdot y)$ puede separarse en $\log_5(x)+\log_5(y)$ si $x>0$ e $y>0$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Aplica la propiedad del producto a $\log_3(9\cdot81)$.
Se separa el producto y se calculan ambos logaritmos por separado.

Respuesta: A) $\log_3(9)+\log_3(81)=2+4=6$
Aplica la propiedad del producto a $\log_4(x\cdot y^2)$.
Se separa el producto y luego se baja el exponente de $y^2$.

Respuesta: A) $\log_4(x)+2\log_4(y)$
La propiedad del producto también permite combinar $\log_b(x)+\log_b(y)$ en un solo logaritmo $\log_b(xy)$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Combina $\log_2(x)+\log_2(y)+\log_2(z)$ en un solo logaritmo.
La propiedad del producto se extiende a más de dos factores.

Respuesta: A) $\log_2(xyz)$
¿Cuál es el error frecuente al aplicar la propiedad del producto?
Es un error frecuente confundir la suma de logaritmos con su producto.

Respuesta: A) Confundirla con $\log_b(x)\cdot\log_b(y)$
$\log_b(x^2\cdot y^3)$ puede simplificarse combinando las propiedades del producto y la potencia.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación