Aplicación de la propiedad del logaritmo de un producto
Aplicar la propiedad $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$ para transformar productos en sumas dentro de expresiones algebraicas.
Introducción
Igual que las potencias transforman productos en sumas de exponentes, los logaritmos transforman productos de argumentos en sumas de logaritmos.
Explicación
Definición formal
Para $b>0$, $b\neq1$, $x>0$ e $y>0$, se cumple $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$. Se demuestra definiendo $m=\log_b(x)$ y $n=\log_b(y)$, de modo que $b^m=x$ y $b^n=y$; al multiplicar, $xy=b^{m+n}$, y aplicando el logaritmo se obtiene la igualdad.
Desarrollo didáctico
$\log_2(4\cdot8)=\log_2(4)+\log_2(8)=2+3=5$, lo mismo que calcular directamente $\log_2(32)=5$. En álgebra, esto permite separar $\log_b(x^2y)$ en $\log_b(x^2)+\log_b(y)$, preparando la expresión para simplificaciones posteriores.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el producto dentro del argumento del logaritmo.
- Paso 2: Separa el logaritmo en una suma de logaritmos, uno por cada factor.
- Paso 3: Verifica que cada factor sea positivo antes de dar por válida la separación.
Ejemplos
1 Aplica la propiedad del producto a $\log_3(9\cdot27)$.
- Se separa en $\log_3(9)+\log_3(27)$.
- Se calcula: $2+3=5$, igual a $\log_3(243)$.
2 Aplica la propiedad del producto a $\log_5(x\cdot y^2)$.
- Se separa en $\log_5(x)+\log_5(y^2)$.
- La expresión queda lista para simplificar $\log_5(y^2)$ con la propiedad de la potencia.
3 ¿Es válido separar $\log_2((-3)\cdot(-4))$ como $\log_2(-3)+\log_2(-4)$?
- Cada factor debe ser positivo por separado; $-3$ y $-4$ no cumplen esa condición.
4 ¿Puede usarse $\log_b(x)+\log_b(y)=\log_b(xy)$ para combinar dos logaritmos en uno solo?
- {'La propiedad funciona en ambos sentidos': 'separar un producto o combinar una suma de logaritmos.'}
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la propiedad del producto con $\log_b(x)\cdot\log_b(y)$, que no es una identidad válida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la separación sin verificar que ambos factores sean positivos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la propiedad solo aplica a productos, no a sumas dentro del argumento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Combinar logaritmos de distinta base como si compartieran la misma propiedad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La propiedad del **producto** establece que $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$, siempre que $x>0$ e $y>0$, permitiendo separar o combinar factores dentro de un logaritmo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es la propiedad del producto de logaritmos?
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.
Respuesta: A) $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$
-
$\log_2(4\cdot8)=\log_2(4)+\log_2(8)$.
Es la aplicación directa de la propiedad del producto.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué condición deben cumplir $x$ e $y$ para aplicar $\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)$?
Cada argumento individual debe cumplir la condición de dominio.
Respuesta: A) Ambos deben ser positivos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\log_5(x\cdot y)$ puede separarse en $\log_5(x)+\log_5(y)$ si $x>0$ e $y>0$.
Cumple exactamente las condiciones de la propiedad del producto.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Aplica la propiedad del producto a $\log_3(9\cdot81)$.
Se separa el producto y se calculan ambos logaritmos por separado.
Respuesta: A) $\log_3(9)+\log_3(81)=2+4=6$
-
Aplica la propiedad del producto a $\log_4(x\cdot y^2)$.
Se separa el producto y luego se baja el exponente de $y^2$.
Respuesta: A) $\log_4(x)+2\log_4(y)$
-
La propiedad del producto también permite combinar $\log_b(x)+\log_b(y)$ en un solo logaritmo $\log_b(xy)$.
La igualdad funciona en ambos sentidos, separar o combinar.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Combina $\log_2(x)+\log_2(y)+\log_2(z)$ en un solo logaritmo.
La propiedad del producto se extiende a más de dos factores.
Respuesta: A) $\log_2(xyz)$
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar la propiedad del producto?
Es un error frecuente confundir la suma de logaritmos con su producto.
Respuesta: A) Confundirla con $\log_b(x)\cdot\log_b(y)$
-
$\log_b(x^2\cdot y^3)$ puede simplificarse combinando las propiedades del producto y la potencia.
Primero se separa el producto y luego se bajan ambos exponentes.
Respuesta: Verdadero