Aplicación de la propiedad del logaritmo de un cociente
Aplicar la propiedad $\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)$ para transformar cocientes en restas dentro de expresiones algebraicas.
Introducción
Así como el producto se transforma en una suma de logaritmos, el cociente se transforma en una resta, siguiendo la misma lógica de las potencias.
Explicación
Definición formal
Para $b>0$, $b\neq1$, $x>0$ e $y>0$, se cumple $\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)$. Se demuestra definiendo $m=\log_b(x)$ y $n=\log_b(y)$, de modo que $b^m=x$ y $b^n=y$; al dividir, $x/y=b^{m-n}$, y aplicando el logaritmo se obtiene la igualdad.
Desarrollo didáctico
$\log_2(32/4)=\log_2(32)-\log_2(4)=5-2=3$, lo mismo que calcular directamente $\log_2(8)=3$. En álgebra, esto permite separar $\log_b(x/y^2)$ en $\log_b(x)-\log_b(y^2)$, preparando la expresión para simplificar el segundo término con la propiedad de la potencia.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el cociente dentro del argumento del logaritmo.
- Paso 2: Separa el logaritmo en una resta de logaritmos: numerador menos denominador.
- Paso 3: Verifica que tanto el numerador como el denominador sean positivos antes de dar por válida la separación.
Ejemplos
1 Aplica la propiedad del cociente a $\log_3(81/9)$.
- Se separa en $\log_3(81)-\log_3(9)$.
- Se calcula: $4-2=2$, igual a $\log_3(9)=2$.
2 Aplica la propiedad del cociente a $\log_4(x^3/y)$.
- Se separa en $\log_4(x^3)-\log_4(y)$.
- La expresión queda lista para simplificar $\log_4(x^3)$ con la propiedad de la potencia.
3 ¿Es válido separar $\log_5(x/(-y))$ como $\log_5(x)-\log_5(-y)$?
- El denominador debe ser positivo por separado; $-y$ no cumple esa condición si $y>0$.
4 ¿Es lo mismo $\log_b(x)-\log_b(y)$ que $\log_b(y)-\log_b(x)$?
- El primero equivale a $\log_b(x/y)$ y el segundo a $\log_b(y/x)$, expresiones distintas salvo que $x=y$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Invertir el orden de la resta al separar el cociente, cambiando el resultado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la propiedad del cociente con una división entre logaritmos, $\log_b(x)/\log_b(y)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la separación sin verificar que numerador y denominador sean ambos positivos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la propiedad solo aplica a cocientes, no a restas dentro del argumento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La propiedad del **cociente** establece que $\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)$, siempre que $x>0$ e $y>0$, permitiendo separar o combinar una división dentro de un logaritmo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la propiedad del cociente de logaritmos?
El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos.
Respuesta: A) $\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)$
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$\log_2(32/4)=\log_2(32)-\log_2(4)$.
Es la aplicación directa de la propiedad del cociente.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué condición deben cumplir $x$ e $y$ para aplicar $\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)$?
Numerador y denominador deben cumplir individualmente la condición de dominio.
Respuesta: A) Ambos deben ser positivos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$\log_5(x/y)$ puede separarse en $\log_5(x)-\log_5(y)$ si $x>0$ e $y>0$.
Cumple exactamente las condiciones de la propiedad del cociente.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Aplica la propiedad del cociente a $\log_3(x^2/y)$.
Se separa el cociente y luego se baja el exponente de $x^2$.
Respuesta: A) $2\log_3(x)-\log_3(y)$
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El orden de los términos importa al aplicar la propiedad del cociente: $\log_b(x/y)\neq\log_b(y/x)$ en general.
Invertir numerador y denominador cambia el signo del resultado, salvo que $x=y$.
Respuesta: Verdadero
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Aplica la propiedad del cociente a $\log_2(64/8)$.
Se separa el cociente y se calculan ambos logaritmos por separado.
Respuesta: A) $\log_2(64)-\log_2(8)=6-3=3$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al aplicar la propiedad del cociente?
Cambiar el orden de la resta altera el resultado final.
Respuesta: A) Invertir el orden de la resta
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$\log_b(x/y^2)$ puede simplificarse combinando las propiedades del cociente y la potencia.
Primero se separa el cociente y luego se baja el exponente del denominador.
Respuesta: Verdadero
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Simplifica $\log_4(x)-\log_4(y)-\log_4(z)$ en un solo logaritmo.
Se combina restando ambos denominadores dentro de un único cociente.
Respuesta: A) $\log_4(x/(yz))$