Aplicación de la propiedad del logaritmo de un cociente

Resumen inicial

La propiedad del logaritmo de un cociente establece que el logaritmo de una división es igual a la resta entre el logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$ ($x > 0, y > 0$).

Explicación en palabras simples

$La propiedad del logaritmo de un cociente establece que el logaritmo de una división es igual a la resta entre el logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$ ($x > 0, y > 0$)$

Esta propiedad convierte divisiones y fracciones en simples restas:

$$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$$

¿Por qué funciona?
Por la ley de potencias: al dividir potencias de igual base, se restan los exponentes ($\frac{b^u}{b^v} = b^{u-v}$).
Regla de signos fácil:
Lo que está arriba (numerador) entra con signo $+$.
Lo que está abajo (denominador) entra con signo $-$.
Ejemplos clave:
$\log_3(81/9) = \log_3(81) - \log_3(9) = 4 - 2 = \mathbf{2}$.
$\log_5(500) - \log_5(4) = \log_5(500/4) = \log_5(125) = \mathbf{3}$.

Explicación formal

Sean $x, y \in \mathbb{R}^+$ y $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$. Sean $u = \log_b(x)$ y $v = \log_b(y) \iff x = b^u, y = b^v$.
Por las leyes del álgebra sobre el cociente de potencias en $(\mathbb{R}^+, \cdot)$:
$$\frac{x}{y} = \frac{b^u}{b^v} = b^{u - v}$$
Aplicando el operador $\log_b$ a ambos miembros de la ecuación:
$$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b\left(b^{u - v}\right) = u - v$$
Sustituyendo las definiciones iniciales de $u$ y $v$:
$$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$$

Representación equivalente con potencia inversa:
$$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x \cdot y^{-1}) = \log_b(x) + \log_b(y^{-1}) = \log_b(x) - \log_b(y)$$

Definiciones clave

Logaritmo de un cociente: Teorema sustractivo que transforma una fracción en resta de logaritmos.
Numerador positivo y denominador sustractivo: Regla de polaridad de signos según la posición en la fracción.

Propiedades y relaciones importantes

Falso teorema de la resta: $\log_b(x - y) \neq \log_b(x) - \log_b(y)$ y $\log_b(x/y) \neq \frac{\log_b(x)}{\log_b(y)}$.
Contracción fraccionaria: Permite fusionar diferencias de logaritmos en una sola fracción simplificable.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La propiedad del logaritmo de un cociente establece que el logaritmo de una división es igual a la resta entre el logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$ ($x > 0, y > 0$)$

Calcula y simplifica aplicando la propiedad del cociente:
1) $\log_2(48) - \log_2(3)$
2) Si $\log(2) \approx 0{,}301$, calcula $\log(5)$ sabiendo que $5 = \frac{10}{2}$.

Paso 1: Para $\log_2(48) - \log_2(3)$: - Condensar la resta en un cociente: $\log_2\left(\frac{48}{3}\right)$. - Dividir los argumentos: $\frac{48}{3} = 16$. - Calcular el logaritmo resultante: $\log_2(16) = \mathbf{4}$.
Paso 2: Para $\log(5)$: - Expresar como cociente: $\log(5) = \log\left(\frac{10}{2}\right)$. - Aplicar propiedad: $\log(10) - \log(2)$. - Como $\log(10) = 1$: $1 - 0{,}301 = \mathbf{0{,}699}$.

Procedimiento

Paso 1: Verificar que ambos logaritmos tengan la misma base $b$.
Paso 2: Para expandir, escribir $\log_b(\text{numerador}) - \log_b(\text{denominador})$.
Paso 3: Para condensar, escribir $\log_b\left(\frac{\text{argumento positivo}}{\text{argumento restado}}\right)$.
Paso 4: Simplificar la fracción resultante y evaluar el logaritmo.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Dividir los logaritmos $\frac{\log(x)}{\log(y)}$ en lugar de restarlos.
Cómo corregirlo: La propiedad establece una RESTA de logaritmos: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) \mathbf{-} \log_b(y)$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del numerador y el del denominador."

"Restar los argumentos directamente dentro del logaritmo (confundir x/y con x - y)."

"Invertir el orden restando el numerador del denominador."

"Dividir los logaritmos en lugar de restarlos."

"La resta de dos logaritmos de igual base equivale al logaritmo de la fracción de sus argumentos."

Al terminar debes poder

$Resumen La propiedad del logaritmo de un cociente establece que el logaritmo de una división es igual a la resta entre el logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$ ($x > 0, y > 0$)$

Aplicar la propiedad del logaritmo de un cociente para expandir y condensar fracciones.

Utilizando la identidad log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y) para simplificar operaciones analíticas.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Cuál es la propiedad del cociente de logaritmos?
El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos.

Respuesta: A) $\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)$
$\log_2(32/4)=\log_2(32)-\log_2(4)$.
¿Qué condición deben cumplir $x$ e $y$ para aplicar $\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)$?
Numerador y denominador deben cumplir individualmente la condición de dominio.

Respuesta: A) Ambos deben ser positivos

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$\log_5(x/y)$ puede separarse en $\log_5(x)-\log_5(y)$ si $x>0$ e $y>0$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Aplica la propiedad del cociente a $\log_3(x^2/y)$.
Se separa el cociente y luego se baja el exponente de $x^2$.

Respuesta: A) $2\log_3(x)-\log_3(y)$
Aplica la propiedad del cociente a $\log_2(64/8)$.
Se separa el cociente y se calculan ambos logaritmos por separado.

Respuesta: A) $\log_2(64)-\log_2(8)=6-3=3$
El orden de los términos importa al aplicar la propiedad del cociente: $\log_b(x/y)\neq\log_b(y/x)$ en general.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al aplicar la propiedad del cociente?
Cambiar el orden de la resta altera el resultado final.

Respuesta: A) Invertir el orden de la resta
$\log_b(x/y^2)$ puede simplificarse combinando las propiedades del cociente y la potencia.
Simplifica $\log_4(x)-\log_4(y)-\log_4(z)$ en un solo logaritmo.
Se combina restando ambos denominadores dentro de un único cociente.

Respuesta: A) $\log_4(x/(yz))$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación