Aplicación de la propiedad del logaritmo de un cociente
Resumen inicial
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$.
Explicación en palabras simples
Así como los logaritmos convierten las multiplicaciones en sumas, también convierten las divisiones internas en restas externas. Si tenemos el logaritmo de una fracción como $\log_2\left(\frac{32}{4}\right)$, podemos resolverlo de dos formas: hacer la división dentro ($32/4 = 8 \implies \log_2(8) = 3$) o separarlo en la resta del logaritmo de arriba menos el logaritmo de abajo ($\log_2(32) - \log_2(4) = 5 - 2 = 3$). Ambas formas dan exactamente el mismo resultado.
Explicación formal
Definición formal
Para toda base $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y cualesquiera argumentos estrictamente positivos $x, y \in \mathbb{R}^+$, la propiedad del logaritmo de un cociente establece la identidad algebraicamente isomorfa:
$$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$$
Demostración formal
Sean $u = \log_b(x)$ y $v = \log_b(y) \implies x = b^u$ y $y = b^v$.
Dividiendo las potencias miembro a miembro:
$$\frac{x}{y} = \frac{b^u}{b^v} = b^{u - v}$$
Aplicando la definición de logaritmo a la relación $\frac{x}{y} = b^{u - v}$:
$$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = u - v = \log_b(x) - \log_b(y) \quad \blacksquare$$
Síntesis didáctica
Regla de doble sentido:
- Expansión de cociente: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) \to \log_b(x) - \log_b(y)$.
- Compresión de resta: Una resta de logaritmos de igual base se comprime en la división de sus argumentos: $\log_b(x) - \log_b(y) \to \log_b\left(\frac{x}{y}\right)$.
La alternativa correcta es '$\log_2(16) = 4$, dividiendo los argumentos $80 / 5 = 16$'. La resta de logaritmos de igual base se condensa dividiendo los argumentos.
Definiciones clave
- Propiedad del cociente $\log_b(x/y) = \log_b(x) - \log_b(y)$: Identidad que transforma el cociente de argumentos positivos en la diferencia de logaritmos.
- Compresión de resta logarítmica: Proceso de unificación de dos términos restados en un solo logaritmo fraccionario.
- Numerador en la resta: Término antecedente con signo positivo que pasa al numerador del argumento.
Propiedades y relaciones importantes
- Inversión por signo negativo: Restar un logaritmo equivale a sumar el logaritmo del recíproco: $-\log_b(y) = \log_b\left(\frac{1}{y}\right)$.
- Combinación de operaciones: Expresiones con sumas y restas de logaritmos combinan productos en los numeradores y divisiones en los denominadores: $\log_b(x) + \log_b(y) - \log_b(z) = \log_b\left(\frac{x \cdot y}{z}\right)$.
Ejemplo guiado
Aplica la propiedad del cociente en los siguientes ejercicios: A) Descompón $\log_5\left(\frac{125}{5}\right)$, B) Comprime la resta $\log_3(54) - \log_3(2)$, C) Simplifica $\ln(80) - \ln(8) + \ln(3)$.
- Paso 1: Para $\log_5\left(\frac{125}{5}\right)$, aplicamos expansión: $\log_5(125) - \log_5(5) = 3 - 1 = 2$.
- Paso 2: Para $\log_3(54) - \log_3(2)$, como las bases son iguales, comprimimos dividiendo los argumentos: $\log_3\left(\frac{54}{2}\right) = \log_3(27) = 3$.
- Paso 3: Para $\ln(80) - \ln(8) + \ln(3)$, agrupamos los términos positivos en el numerador y los restados en el denominador: $\ln\left(\frac{80 \cdot 3}{8}\right) = \ln(10 \cdot 3) = \ln(30)$.
La alternativa correcta es '$0.90$, aplicando $\log_b\left(\frac{72}{9}\right) = \log_b(72) - \log_b(9) = 1.85 - 0.95 = 0.90$'. Puesto que $8 = 72 / 9$, el logaritmo del cociente es la resta de los logaritmos.
Procedimiento
- Paso 1: Para expandir $\log_b\left(\frac{x}{y}\right)$, restar el logaritmo del denominador al logaritmo del numerador: $\log_b(x) - \log_b(y)$.
- Paso 2: Para comprimir $\log_b(x) - \log_b(y)$, verificar que las bases sean idénticas.
- Paso 3: Escribir un único logaritmo en esa base y colocar en el numerador el argumento del término positivo y en el denominador el argumento del término restado.
- Paso 4: Simplificar la fracción resultante dentro del argumento.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Confundir el logaritmo de una resta con la resta de logaritmos (ej: escribir $\log_b(x - y) = \log_b(x) - \log_b(y)$). Cómo corregirlo: La propiedad del cociente actúa sobre la división interna: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$. El logaritmo de una resta $\log_b(x - y)$ no se puede separar.
- Error 2: Dividir los logaritmos al comprimir una resta (ej: escribir $\log_b(x) - \log_b(y) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(y)}$). Cómo corregirlo: Una resta de logaritmos genera un solo logaritmo de una fracción: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right)$. La división entre logaritmos $\frac{\log_b(x)}{\log_b(y)}$ corresponde a un cambio de base.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Comprimimos dividiendo argumentos: $\log_4\left(\frac{48}{3}\right) = \log_4(16)$.
- Calculamos $\log_4(16) = 2$.
- Sí. $\ln\left(\frac{x}{e}\right) = \ln(x) - \ln(e) = \ln(x) - 1$.
- Sí. Como $\log(1) = 0$, $0 - \log(x) = -\log(x) = \log\left(\frac{1}{x}\right)$.
- Sí. Agrupamos: $\log\left(\frac{6 \cdot 5}{3}\right) = \log\left(\frac{30}{3}\right) = \log(10) = 1$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Aplicar la propiedad del logaritmo de un cociente ($\log_b(x / y) = \log_b(x) - \log_b(y)$).
Transformar cocientes en la sustracción de logaritmos de igual base, justificando la equivalencia mediante las leyes de exponentes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es la propiedad del cociente de logaritmos?
El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos.
Respuesta: A) $\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)$
-
$\log_2(32/4)=\log_2(32)-\log_2(4)$.
Es la aplicación directa de la propiedad del cociente.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué condición deben cumplir $x$ e $y$ para aplicar $\log_b(x/y)=\log_b(x)-\log_b(y)$?
Numerador y denominador deben cumplir individualmente la condición de dominio.
Respuesta: A) Ambos deben ser positivos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\log_5(x/y)$ puede separarse en $\log_5(x)-\log_5(y)$ si $x>0$ e $y>0$.
Cumple exactamente las condiciones de la propiedad del cociente.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Aplica la propiedad del cociente a $\log_3(x^2/y)$.
Se separa el cociente y luego se baja el exponente de $x^2$.
Respuesta: A) $2\log_3(x)-\log_3(y)$
-
El orden de los términos importa al aplicar la propiedad del cociente: $\log_b(x/y)\neq\log_b(y/x)$ en general.
Invertir numerador y denominador cambia el signo del resultado, salvo que $x=y$.
Respuesta: Verdadero
-
Aplica la propiedad del cociente a $\log_2(64/8)$.
Se separa el cociente y se calculan ambos logaritmos por separado.
Respuesta: A) $\log_2(64)-\log_2(8)=6-3=3$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar la propiedad del cociente?
Cambiar el orden de la resta altera el resultado final.
Respuesta: A) Invertir el orden de la resta
-
$\log_b(x/y^2)$ puede simplificarse combinando las propiedades del cociente y la potencia.
Primero se separa el cociente y luego se baja el exponente del denominador.
Respuesta: Verdadero
-
Simplifica $\log_4(x)-\log_4(y)-\log_4(z)$ en un solo logaritmo.
Se combina restando ambos denominadores dentro de un único cociente.
Respuesta: A) $\log_4(x/(yz))$