Identificación de la base b en la función exponencial
Identificar correctamente la base $b$ en una función exponencial dada en forma general.
Introducción
La base $b$ es el verdadero "motor" del comportamiento exponencial: determina si la función crece o decrece, y qué tan rápido lo hace.
Explicación
Definición formal
En $f(x)=a\cdot b^x$, la base $b$ es el número real positivo y distinto de 1 que se eleva a la potencia $x$. Si $b>1$, la función es creciente; si $0<b<1$, la función es decreciente.</p>
Desarrollo didáctico
Para identificar $b$, se localiza el número que está elevado a la potencia $x$, distinguiéndolo del coeficiente $a$ que lo multiplica.
En $f(x)=6\cdot1{,}5^x$, la base es $1{,}5$, un valor mayor que 1, por lo que la función es creciente.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Ordena la función para identificar claramente la potencia con exponente variable.
- Paso 2: Identifica el número elevado a la potencia $x$; ese es el valor de $b$.
- Paso 3: Determina si $b>1$ (creciente) o $0<b<1$ (decreciente).
Ejemplos
1 Identifica la base $b$ en $f(x)=4\cdot5^x$.
- El número elevado a $x$ es $5$.
- $b=5$, y como $5>1$, la función es creciente.
2 Identifica la base $b$ en $f(x)=10\cdot0{,}2^x$.
- El número elevado a $x$ es $0{,}2$.
- $b=0{,}2$, y como $0<0{,}2<1$, la función es decreciente.
3 ¿Se puede determinar si una función exponencial crece o decrece observando solo la base?
- $b>1$ indica crecimiento; $0<b<1$ indica decrecimiento, sin importar el valor de $a$ (siempre que $a>0$).
4 ¿La base puede ser un número negativo?
- La base debe ser positiva para que la función esté definida en todo $\mathbb{R}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la base $b$ con el coeficiente $a$ que la multiplica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir la interpretación de $b>1$ y $0<b<1$ respecto a crecimiento y decrecimiento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aceptar como válida una base negativa o igual a 1."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar el efecto combinado del signo de $a$ junto con el valor de $b$ al describir el comportamiento completo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La **base $b$** de una función exponencial $f(x)=a\cdot b^x$ es el número que se eleva a la potencia $x$, y determina si la función es creciente o decreciente.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si $b>1$, la función exponencial es:
Una base mayor que 1 produce crecimiento exponencial.
Respuesta: A) Creciente
-
La base puede ser un número negativo.
Debe ser positiva para que la función esté definida en R.
Respuesta: Falso
-
Si $0<b<1$, la función exponencial es:</p>
Una base entre 0 y 1 produce decrecimiento exponencial.
Respuesta: A) Decreciente
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
En $f(x)=4\cdot5^x$, la base es $5$, y como $5>1$, la función es creciente.
b=5>1.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál de las siguientes bases produce una función creciente?
Es la única mayor que 1.
Respuesta: A) $b=1{,}2$
-
Invertir la interpretación de b>1 y 0<b<1 es un error frecuente.
Es fácil confundir cuál caso produce crecimiento y cuál decrecimiento.
Respuesta: Verdadero
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Identifica la base $b$ en $f(x)=10\cdot0{,}2^x$ y determina si es creciente o decreciente.
b=0,2, con 0<0,2<1, la función es decreciente.
Respuesta: A) $b=0{,}2$, decreciente
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al identificar la base $b$?
Es común confundir cuál número es la base y cuál el coeficiente.
Respuesta: A) Confundir la base con el coeficiente $a$
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Se puede determinar si una función exponencial crece o decrece observando solo la base.
b>1 indica crecimiento; 0<b<1 indica decrecimiento (con a>0).
Respuesta: Verdadero
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Identifica la base $b$ en $f(x)=3\cdot(2/3)^x$ y su comportamiento.
b=2/3, con 0<2/3<1, la función es decreciente.
Respuesta: A) $b=2/3$, decreciente