Determinación del recorrido de la función exponencial básica
Resumen inicial
El recorrido de una función exponencial básica es el conjunto de reales estrictamente positivos $]0, +\infty[$ si $a > 0$, o de reales estrictamente negativos $]-\infty, 0[$ si $a < 0$.
Explicación en palabras simples
El recorrido representa todos los valores de salida o resultados de $y$ que puede producir una función. Al elevar una base positiva $b > 0$ a cualquier exponente real $x$, la potencia $b^x$ siempre da como resultado un número estrictamente mayor que cero (nunca da cero y nunca da negativo). Si el coeficiente $a$ es positivo, todas las salidas son números positivos ($y > 0$). Si $a$ es negativo, todas las salidas son números negativos ($y < 0$).
Explicación formal
Definición formal
Para la función exponencial no trasladada $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = a \cdot b^x$, con $a \neq 0$ y $b > 0, b \neq 1$, el conjunto recorrido o imagen $\operatorname{Rec}(f) = \{y \in \mathbb{R} \mid \exists x \in \mathbb{R}, f(x) = y\}$ se determina analíticamente mediante la propiedad del positivismo estricto de la potencia exponencial:
$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad b^x > 0$$
por lo tanto:
- Si $a > 0$: $\operatorname{Rec}(f) = ]0, +\infty[ = \mathbb{R}^+$.
- Si $a < 0$: $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0[ = \mathbb{R}^-$.
Desglose simbólico
- Cero inaccesible ($y \neq 0$): La ecuación $a \cdot b^x = 0$ no posee solución real ($b^x = 0$ es imposible).
- Cota inferior/superior asintótica: Para $a > 0$, $\lim_{x \to \pm\infty} a \cdot b^x = 0^+$, lo que significa que los valores se aproximan infinitamente a cero sin llegar a tocar el valor $0$.
Síntesis didáctica
Reconocer la diferencia entre corchete abierto y cerrado: El número cero NO forma parte del recorrido de la función exponencial básica $a \cdot b^x$. Por ello, el intervalo se escribe obligatoriamente abierto en cero $]0, +\infty[$ o $]-\infty, 0[$.
La alternativa correcta es 'El conjunto de los números reales estrictamente positivos $\operatorname{Rec}(f) = ]0, +\infty[$'. Al ser $a = 12 > 0$, la función toma todos los valores reales positivos excluyendo al cero.
Definiciones clave
- Conjunto recorrido / imagen: Conjunto de todos los valores de salida $y = f(x)$ que genera la función.
- Positivismo estricto $b^x > 0$: Propiedad algebraica que impide que una potencia de base positiva se anule o sea negativa.
- Intervalo abierto en cero: Representación $]0, +\infty[$ que excluye explícitamente el valor $y = 0$.
Propiedades y relaciones importantes
- Ausencia de intersección con el eje $x$: Puesto que $y = 0 \notin \operatorname{Rec}(f)$, la gráfica de la función exponencial básica jamás corta al eje de las abscisas.
- Efecto de traslaciones verticales: Si se agrega una constante $k$ a la función ($f(x) = a \cdot b^x + k$), el recorrido se desplaza a $]k, +\infty[$ (si $a > 0$) o $]-\infty, k[$ (si $a < 0$).
Ejemplo guiado
Determina el conjunto recorrido de las funciones exponenciales $f(x) = 6 \cdot 4^x$ y $g(x) = -3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$, indicando en cada caso si la gráfica posee intersecciones con el eje $x$.
- Paso 1: Para $f(x) = 6 \cdot 4^x$, identificamos $a = 6 > 0$ y $b = 4 > 0$.
- Paso 2: Como $a > 0$ y $4^x > 0$, todas las imágenes son positivas. El recorrido es $\operatorname{Rec}(f) = ]0, +\infty[$. No corta al eje $x$ pues $y = 0$ no pertenece al recorrido.
- Paso 3: Para $g(x) = -3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$, identificamos $a = -3 < 0$ y $b = \frac{1}{2} > 0$.
- Paso 4: Como $a < 0$ y $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$, el producto por $-3$ hace que todas las imágenes sean negativas. El recorrido es $\operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, 0[$. Tampoco corta al eje $x$.
La alternativa correcta es 'Porque $2^x$ es siempre estrictamente positivo, y al multiplicarse por $a = -4 < 0$, todos los resultados se vuelven estrictamente negativos'. El signo del coeficiente $a$ determina la orientación del recorrido.
Procedimiento
- Paso 1: Extraer el coeficiente multiplicativo de escala $a$ de la función exponencial $f(x) = a \cdot b^x$.
- Paso 2: Recordar que la potencia $b^x > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
- Paso 3: Si $a > 0$, declarar el recorrido como el intervalo abierto $\operatorname{Rec}(f) = ]0, +\infty[$.
- Paso 4: Si $a < 0$, declarar el recorrido como el intervalo abierto $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0[$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Incluir el número cero en el recorrido escribiendo el intervalo cerrado $[0, +\infty[$. Cómo corregirlo: La potencia de base positiva $b^x$ se aproxima infinitamente a cero pero nunca se anula. El recorrido debe escribirse con corchete abierto en cero $]0, +\infty[$.
- Error 2: Creer que la función exponencial básica puede tomar cualquier valor real ($\operatorname{Rec} = \mathbb{R}$). Cómo corregirlo: A diferencia de una recta inclinada, la función exponencial básica no trasladada posee una cota en $y = 0$, por lo que sus imágenes nunca cubren todo $\mathbb{R}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- El coeficiente es $a = 1 > 0$.
- La potencia $3^x > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
- El recorrido es $\operatorname{Rec}(f) = ]0, +\infty[$.
- No. Para cualquier $x \in \mathbb{R}$, $2^x > 0$. La función nunca alcanza el valor cero.
- Sí. Al ser $a = -5 < 0$, las imágenes son todas negativas, luego $\operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, 0[$.
- No. Para cortar al eje $x$ se requiere $y = 0$, pero $y = 0 \notin \operatorname{Rec}(f) = ]0, +\infty[$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Determinar el conjunto recorrido de una función exponencial básica identificando las cotas del intervalo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si $a>0$, el recorrido de $f(x)=a\cdot b^x$ (sin traslación) es:
La función siempre es positiva cuando a es positivo.
Respuesta: A) $]0,+\infty[$
-
Una función exponencial básica puede tomar el valor cero.
Ninguna potencia con base positiva puede ser exactamente cero.
Respuesta: Falso
-
Si $a<0$, el recorrido de $f(x)=a\cdot b^x$ (sin traslación) es:
La función siempre es negativa cuando a es negativo.
Respuesta: A) $]-\infty,0[$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El recorrido de $f(x)=5\cdot3^x$ es $]0,+\infty[$.
a=5>0.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Incluir el cero en el recorrido de la función exponencial básica es un error frecuente.
El cero nunca se alcanza; el intervalo es abierto en ese extremo.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el recorrido de $f(x)=-2\cdot4^x$.
a=-2<0.
Respuesta: A) $]-\infty,0[$
-
Determina el recorrido de $f(x)=8\cdot0{,}3^x$.
a=8>0.
Respuesta: A) $]0,+\infty[$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El recorrido de una función exponencial básica incluye siempre los extremos del intervalo.
El intervalo es abierto en cero, que nunca se alcanza.
Respuesta: Falso
-
Determina el recorrido de $f(x)=-10\cdot0{,}7^x$.
a=-10<0.
Respuesta: A) $]-\infty,0[$
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar el recorrido exponencial?
El cero nunca se alcanza, por lo que debe usarse paréntesis (intervalo abierto).
Respuesta: A) Usar corchetes en vez de paréntesis en el extremo cero