Determinación del recorrido de la función exponencial básica
Determinar el recorrido de una función exponencial básica de la forma $f(x)=a\cdot b^x$, sin traslaciones adicionales.
Introducción
Sin importar qué tan grande o pequeño sea el exponente, una potencia con base positiva nunca produce cero ni un valor negativo; ese hecho determina completamente el recorrido.
Explicación
Definición formal
Dada $f(x)=a\cdot b^x$ con $b>0$, $b\neq1$: como $b^x>0$ para todo $x$ real, si $a>0$ entonces $f(x)>0$ para todo $x$, dando $\text{Rec}(f)=]0,+\infty[$; si $a<0$, entonces $f(x)<0$ para todo $x$, dando $\text{Rec}(f)=]-\infty,0[$.
Desarrollo didáctico
El valor cero nunca se alcanza porque ninguna potencia con base positiva puede dar exactamente cero, sin importar cuán negativo sea el exponente; la función solo se acerca infinitamente a cero sin tocarlo.
Para $f(x)=3\cdot2^x$: como $a=3>0$, el recorrido es $]0,+\infty[$; la función nunca es cero ni negativa.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica el signo del coeficiente $a$.
- Paso 2: Si $a>0$, concluye que el recorrido es $]0,+\infty[$.
- Paso 3: Si $a<0$, concluye que el recorrido es $]-\infty,0[$.
Ejemplos
1 Determina el recorrido de $f(x)=5\cdot3^x$.
- $a=5>0$.
- $\text{Rec}(f)=]0,+\infty[$.
2 Determina el recorrido de $f(x)=-2\cdot4^x$.
- $a=-2<0$.
- $\text{Rec}(f)=]-\infty,0[$.
3 ¿Una función exponencial básica puede tomar el valor cero?
- Ninguna potencia con base positiva puede ser exactamente cero, sin importar el exponente.
4 ¿El recorrido de una función exponencial básica incluye siempre los extremos del intervalo?
- El intervalo es abierto en cero (nunca se alcanza) y no tiene un límite superior o inferior finito que se alcance.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Incluir el cero en el recorrido de la función exponencial básica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el recorrido con el dominio, que siempre es $\mathbb{R}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar el signo de $a$ antes de determinar el recorrido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar corchetes en vez de paréntesis en el extremo correspondiente al valor cero, que nunca se alcanza."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **recorrido** de $f(x)=a\cdot b^x$ (sin traslación vertical) es $]0,+\infty[$ si $a>0$, o $]-\infty,0[$ si $a<0$; en ningún caso la función alcanza el valor cero.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si $a>0$, el recorrido de $f(x)=a\cdot b^x$ (sin traslación) es:
La función siempre es positiva cuando a es positivo.
Respuesta: A) $]0,+\infty[$
-
Una función exponencial básica puede tomar el valor cero.
Ninguna potencia con base positiva puede ser exactamente cero.
Respuesta: Falso
-
Si $a<0$, el recorrido de $f(x)=a\cdot b^x$ (sin traslación) es:
La función siempre es negativa cuando a es negativo.
Respuesta: A) $]-\infty,0[$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El recorrido de $f(x)=5\cdot3^x$ es $]0,+\infty[$.
a=5>0.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Incluir el cero en el recorrido de la función exponencial básica es un error frecuente.
El cero nunca se alcanza; el intervalo es abierto en ese extremo.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el recorrido de $f(x)=-2\cdot4^x$.
a=-2<0.
Respuesta: A) $]-\infty,0[$
-
Determina el recorrido de $f(x)=8\cdot0{,}3^x$.
a=8>0.
Respuesta: A) $]0,+\infty[$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El recorrido de una función exponencial básica incluye siempre los extremos del intervalo.
El intervalo es abierto en cero, que nunca se alcanza.
Respuesta: Falso
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Determina el recorrido de $f(x)=-10\cdot0{,}7^x$.
a=-10<0.
Respuesta: A) $]-\infty,0[$
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar el recorrido exponencial?
El cero nunca se alcanza, por lo que debe usarse paréntesis (intervalo abierto).
Respuesta: A) Usar corchetes en vez de paréntesis en el extremo cero