Determinación del recorrido de la función exponencial básica
Resumen inicial
La determinación del recorrido de la función exponencial básica $f(x) = b^x$ ($b > 0, b \neq 1$) establece que $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}^+ = ]0, +\infty[$, demostrando que cualquier potencia de base positiva es estrictamente mayor que cero.
Explicación en palabras simples
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El recorrido son todas las alturas ($y$) que alcanza la gráfica:
- ¿Por qué la función exponencial básica NUNCA da cero ni números negativos?
- Toma un número positivo como el 2:
- $2^3 = 8 > 0$.
- $2^0 = 1 > 0$.
- $2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} = 0,03125 > 0$.
- $2^{-100} = \frac{1}{2^{100}} > 0$ (un número pequeñísimo, pero sigue siendo positivo).
- ¡Nunca llega a tocar el 0! Por eso el recorrido va desde un poquito más arriba de cero hasta el infinito:
$$\operatorname{Rec}(f) = \mathbf{]0, +\infty[} = \mathbb{R}^+$$ - ¡Ojo con el corchete abierto en el cero!
Explicación formal
Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = b^x$ ($b > 0, b \neq 1$). Por el axioma de positividad de la función exponencial en el cuerpo ordenado real:
$$\forall x \in \mathbb{R}: \quad b^x > 0$$
Demostración del conjunto imagen:
1. Cota inferior estricta: $0$ es el ínfimo de la imagen ($\inf_{x \in \mathbb{R}} b^x = 0$), pero no pertenece al conjunto imagen ya que $\nexists x \in \mathbb{R}$ tal que $b^x = 0$.
2. No acotación superior: $\sup_{x \in \mathbb{R}} b^x = +\infty$.
3. Conexidad por continuidad: Por el Teorema del Valor Intermedio (TVI), la imagen de la función continua $f(\mathbb{R})$ es el intervalo abierto conexo:
$$\operatorname{Rec}(f) = f(\mathbb{R}) = ]0, +\infty[ = \mathbb{R}^+$$
La alternativa correcta es ']0, +∞[ (reales estrictamente positivos)'. Aunque la base sea fraccionaria, cualquier potencia de base positiva produce valores estrictamente positivos mayores a cero.
Definiciones clave
- Recorrido exponencial básico: Intervalo de reales estrictamente positivos $\mathbb{R}^+ = ]0, +\infty[$.
- Positividad estricta: Propiedad por la cual $b^x > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
Propiedades y relaciones importantes
- Ausencia de raíces reales: Como $0 \notin \operatorname{Rec}(f)$, la ecuación $b^x = 0$ no tiene solución en $\mathbb{R}$ y la curva nunca corta al eje $X$.
- Impacto de la escala $a$: Si $f(x) = a \cdot b^x$, con $a > 0 \implies \operatorname{Rec}(f) = ]0, +\infty[$; con $a < 0 \implies \operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0[$.
Ejemplo guiado
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Determina el recorrido de las siguientes funciones exponenciales justificando formalmente:
1) $f(x) = 6^x$
2) $g(x) = -2 \cdot 4^x$
- Paso 1: Para $f(x) = 6^x$: - La base es $b = 6 > 0$ y el coeficiente es $a = 1 > 0$. - Para todo $x \in \mathbb{R}$, $6^x > 0$. - Recorrido: $\operatorname{Rec}(f) = ]0, +\infty[ = \mathbb{R}^+$.
- Paso 2: Para $g(x) = -2 \cdot 4^x$: - $4^x > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. - Al multiplicar por el coeficiente negativo $a = -2$, todas las imágenes se vuelven estrictamente negativas: $-2 \cdot 4^x < 0$. - Recorrido: $\operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, 0[ = \mathbb{R}^-$.
La alternativa correcta es 'No, porque 2ˣ > 0 para todo x real (la curva nunca toca el cero)'. $2^0 = 1 \neq 0$, y ningún exponente real anula una base positiva.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el signo del coeficiente multiplicativo $a$ en $f(x) = a \cdot b^x$.
- Paso 2: Si $a > 0$, concluir que $\operatorname{Rec}(f) = ]0, +\infty[ = \mathbb{R}^+$.
- Paso 3: Si $a < 0$, concluir que $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0[ = \mathbb{R}^-$.
- Paso 4: Asegurarse de usar corchete abierto en el cero (el valor 0 no se alcanza).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Escribir el recorrido con corchete cerrado $[0, +\infty[$.
- Cómo corregirlo: La función nunca vale exactamente cero; por lo tanto, el corchete en el cero debe ser ABIERTO: $]0, +\infty[$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $9^x > 0, \; \forall x \implies \operatorname{Rec}(f) = ]0, +\infty[$.
- Paso 1: $-5 \le 0$, por lo que no pertenece al conjunto imagen $\mathbb{R}^+$.
- Paso 1: $a = -5 < 0 \implies \operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, 0[$.
- Paso 1: Cortar al eje $X$ exigiría $f(x) = 0$, lo cual no tiene solución real.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
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Determinar el recorrido de la función exponencial básica.
Formulando el intervalo ]0, +∞[ a partir de la positividad estricta de las potencias de base positiva.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si $a>0$, el recorrido de $f(x)=a\cdot b^x$ (sin traslación) es:
La función siempre es positiva cuando a es positivo.
Respuesta: A) $]0,+\infty[$
-
Una función exponencial básica puede tomar el valor cero.
Ninguna potencia con base positiva puede ser exactamente cero.
Respuesta: Falso
-
Si $a<0$, el recorrido de $f(x)=a\cdot b^x$ (sin traslación) es:
La función siempre es negativa cuando a es negativo.
Respuesta: A) $]-\infty,0[$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El recorrido de $f(x)=5\cdot3^x$ es $]0,+\infty[$.
a=5>0.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Incluir el cero en el recorrido de la función exponencial básica es un error frecuente.
El cero nunca se alcanza; el intervalo es abierto en ese extremo.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el recorrido de $f(x)=-2\cdot4^x$.
a=-2<0.
Respuesta: A) $]-\infty,0[$
-
Determina el recorrido de $f(x)=8\cdot0{,}3^x$.
a=8>0.
Respuesta: A) $]0,+\infty[$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El recorrido de una función exponencial básica incluye siempre los extremos del intervalo.
El intervalo es abierto en cero, que nunca se alcanza.
Respuesta: Falso
-
Determina el recorrido de $f(x)=-10\cdot0{,}7^x$.
a=-10<0.
Respuesta: A) $]-\infty,0[$
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar el recorrido exponencial?
El cero nunca se alcanza, por lo que debe usarse paréntesis (intervalo abierto).
Respuesta: A) Usar corchetes en vez de paréntesis en el extremo cero