Cálculo del intercepto de la gráfica exponencial con el eje Y

Resumen inicial

El cálculo del intercepto de la gráfica exponencial con el eje $Y$ se determina evaluando $f(0)$, resultando siempre en el punto cartesiano $(0, a)$ en la forma $f(x) = a \cdot b^x$, y en el punto canónico $(0, 1)$ cuando $a = 1$.

Explicación en palabras simples

$El cálculo del intercepto de la gráfica exponencial con el eje $Y$ se determina evaluando $f(0)$, resultando siempre en el punto cartesiano $(0, a)$ en la forma $f(x) = a \cdot b^x$, y en el punto canónico $(0, 1)$ cuando $a = 1$$

Para saber en qué punto exacto la gráfica de una función exponencial cruza la línea vertical del eje $Y$:

Solo debes cambiar la $x$ por un $0$:
$$f(0) = a \cdot b^0$$
Aplica la regla de oro de las potencias ($b^0 = 1$):
$$f(0) = a \cdot 1 = \mathbf{a}$$
El punto de corte es siempre $(0, a)$:
Para $f(x) = 2^x \implies f(0) = 1 \implies$ Corta en $(0, 1)$.
Para $f(x) = 5 \cdot 3^x \implies f(0) = 5 \implies$ Corta en $(0, 5)$.
Para $f(x) = -8 \cdot 4^x \implies f(0) = -8 \implies$ Corta en $(0, -8)$.

Explicación formal

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = a \cdot b^x$ ($a \neq 0, b > 0, b \neq 1$). La intersección con la variedad afín vertical $\mathcal{L}_Y = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0\}$ es el conjunto unitario:
$$\operatorname{Gr}(f) \cap \mathcal{L}_Y = \{(0, f(0))\}$$

Cálculo analítico:
Por el axioma de potencia de exponente cero en cualquier cuerpo algebraico con $b \neq 0$:
$$b^0 = 1 \implies f(0) = a \cdot b^0 = a \cdot 1 = a$$
Por lo tanto, la intersección es el punto cartesiano único e invariante $P_Y(0, a)$.

Definiciones clave

Intercepto con el eje Y: Punto cartesiano $(0, f(0))$ donde la curva cruza la recta vertical $x = 0$.
Punto pivote universal: Punto $(0, 1)$ por el cual transitan todas las funciones exponenciales básicas $f(x) = b^x$.

Propiedades y relaciones importantes

Punto común de la familia básica: Todas las gráficas del tipo $y = b^x$ (sin importar si $b = 2, 10, 1/3, \pi$) se intersectan mutuamente en el punto común $(0, 1)$.
Invarianza ante cambios de base: Cambiar la base $b$ no altera la posición del intercepto con el eje $Y$ si el parámetro $a$ se mantiene fijo.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El cálculo del intercepto de la gráfica exponencial con el eje $Y$ se determina evaluando $f(0)$, resultando siempre en el punto cartesiano $(0, a)$ en la forma $f(x) = a \cdot b^x$, y en el punto canónico $(0, 1)$ cuando $a = 1$$

Calcula el intercepto con el eje Y para las siguientes funciones exponenciales:
1) $f(x) = 9^x$
2) $g(x) = 4 \cdot (1{,}5)^x$
3) $h(x) = -6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x$

Paso 1: Para $f(x) = 9^x$: - Evaluar en $x = 0$: $f(0) = 9^0 = 1$. - Intercepto con el eje $Y$: **$(0, 1)$**.
Paso 2: Para $g(x) = 4 \cdot (1{,}5)^x$: - Evaluar en $x = 0$: $g(0) = 4 \cdot (1{,}5)^0 = 4 \cdot 1 = 4$. - Intercepto con el eje $Y$: **$(0, 4)$**.
Paso 3: Para $h(x) = -6 \cdot (1/3)^x$: - Evaluar en $x = 0$: $h(0) = -6 \cdot (1/3)^0 = -6 \cdot 1 = -6$. - Intercepto con el eje $Y$: **$(0, -6)$**.

Procedimiento

Paso 1: Tomar la función exponencial $f(x) = a \cdot b^x$.
Paso 2: Sustituir $x = 0$ en la expresión funcional.
Paso 3: Aplicar la propiedad $b^0 = 1$ para obtener $y = a \cdot 1 = a$.
Paso 4: Escribir las coordenadas del punto de corte como el par ordenado $(0, a)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Calcular $b^0 = 0$ y decir que el corte es en $(0, 0)$.
Cómo corregirlo: Todo número elevado a cero da UNO ($b^0 = 1$); por tanto, el corte es $(0, a)$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Todas las funciones exponenciales básicas f(x) = bˣ comparten el punto de corte canónico (0, 1)."

"Asumir que b⁰ = 0 llevando el corte al origen (0, 0)."

"Multiplicar a por b antes de evaluar el exponente cero."

"La gráfica de f(x) = a · bˣ corta al eje Y en el punto exacto (0, a)."

"Confundir la abscisa x = 0 con la ordenada y = 0."

Al terminar debes poder

$Resumen El cálculo del intercepto de la gráfica exponencial con el eje $Y$ se determina evaluando $f(0)$, resultando siempre en el punto cartesiano $(0, a)$ en la forma $f(x) = a \cdot b^x$, y en el punto canónico $(0, 1)$ cuando $a = 1$$

Calcular y localizar el intercepto de una función exponencial con el eje Y.

Evaluando f(0) = a · b⁰ = a para formular el par ordenado (0, a).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

El intercepto con el eje $y$ de $f(x)=a\cdot b^x$ es el punto:
f(0)=a.

Respuesta: A) $(0,a)$
El intercepto con el eje $y$ depende del valor de la base $b$.
Toda función exponencial interseca al eje $y$:
Como el dominio es R, siempre existe y es único f(0).

Respuesta: A) Exactamente una vez

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

El intercepto con el eje $y$ de $f(x)=6\cdot4^x$ es $(0,6)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Determina el intercepto con el eje $y$ de $f(x)=-3\cdot2^x$.
a=-3.

Respuesta: A) $(0,-3)$
Determina el intercepto con el eje $y$ de $f(x)=9\cdot0{,}3^x$.
a=9.

Respuesta: A) $(0,9)$
Confundir el intercepto con el eje $y$ con la asíntota horizontal es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al calcular el intercepto con el eje $y$?
La respuesta debe ser el punto completo (0,a).

Respuesta: A) Reportar solo el valor $a$ en vez del punto completo
El intercepto con el eje $y$ de $f(x)=50\cdot1{,}1^x$ es $(0,50)$.
Determina el intercepto con el eje $y$ de $f(x)=-15\cdot0{,}6^x$.
a=-15.

Respuesta: A) $(0,-15)$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación