Modelamiento de fenómenos de decaimiento mediante funciones exponenciales

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

El modelamiento de fenómenos de decaimiento mediante funciones exponenciales proyecta la desintegración radiactiva, la absorción de fármacos o la depreciación de activos mediante la ley $N(t) = N_0 \cdot (1 - d)^t = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$ ($0 < b < 1$).

Explicación en palabras simples

El modelamiento de fenómenos de decaimiento mediante funciones exponenciales proyecta la desintegración radiactiva, la absorción de fármacos o la depreciación de activos mediante la ley $N(t) = N_0 \cdot (1 - d)^t = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$ ($0 < b < 1$)

Cuando algo pierde una fracción fija de su valor con el paso del tiempo (radiactividad, el valor de un auto, la cafeína en tu cuerpo), sigue una fórmula de decaimiento exponencial:

  • 1. Pérdida porcentual periódica (Depreciación):
  • Si un auto nuevo de $\$10.000.000\text{ pesos}$ pierde el 15% de su valor cada año:
    • Su base es lo que le queda: $b = 1 - 0,15 = \mathbf{0,85}$.
    • Fórmula: $V(t) = 10.000.000 \cdot (0,85)^t$.
  • 2. Vida Media o Semivida ($t_{1/2}$ en Física):
  • Es el tiempo que tarda una sustancia en reducirse a la mitad exacta ($1/2$):
    $$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$$
  • Cada período que pasa, queda la mitad de lo que había.

Explicación formal

Sea $N(t)$ la cantidad de sustancia presente en el instante $t \ge 0$. La ley de decaimiento natural de Rutherford-Soddy establece:
$$\frac{dN}{dt} = -\lambda N(t), \quad \lambda > 0, \; N(0) = N_0$$

Solución diferencial y semivida:
$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}, \quad \text{donde } t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$$

Propiedades asintóticas:
1. Asíntota horizontal: $\lim_{t \to +\infty} N(t) = 0 \implies$ la sustancia nunca desaparece formalmente en tiempo finito.
2. Conservación de tasa de pérdida relativa: $\frac{N(t) - N(t+\Delta t)}{N(t)} = 1 - b^{\Delta t} = \text{Constante}$.

Comprueba tu avance Si una máquina de $6.000.000 se deprecia un 20% anual, ¿cuál es la base b de su modelo exponencial?

Definiciones clave

  • Vida media (Semivida $t_{1/2}$): Período característico en el que la cantidad remanente se reduce al 50% de su valor.
  • Factor de retención ($1 - d$): Porcentaje complementario que permanece tras la depreciación periódica.

Propiedades y relaciones importantes

  • Escala de potencias de $1/2$: Tras $k$ vidas medias ($t = k \cdot t_{1/2}$), la cantidad remanente es $N(k \cdot t_{1/2}) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{N_0}{2^k}$.
  • Invarianza de semivida: La vida media no depende de la masa inicial de la muestra.

Ejemplo guiado

Ejemplo El modelamiento de fenómenos de decaimiento mediante funciones exponenciales proyecta la desintegración radiactiva, la absorción de fármacos o la depreciación de activos mediante la ley $N(t) = N_0 \cdot (1 - d)^t = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$ ($0 < b < 1$)

Un isótopo radiactivo tiene una masa inicial de 160 gramos y una vida media de 4 horas. Modela la función de masa remanente $M(t)$ y calcula cuántos gramos quedarán tras 12 horas.

  • Paso 1: Identificar datos: $N_0 = 160\text{ g}$, vida media $t_{1/2} = 4\text{ horas}$.
  • Paso 2: Formular la función de decaimiento exponencial: $M(t) = 160 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/4}$.
  • Paso 3: Calcular el número de vidas medias para $t = 12\text{ horas}$: $k = \frac{12}{4} = 3\text{ vidas medias transcurridas}$.
  • Paso 4: Evaluar la masa remanente: $M(12) = 160 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 160 \cdot \frac{1}{8} = 20\text{ gramos}$.
  • Paso 5: Conclusión: Tras 12 horas quedarán **20 gramos** de isótopo radiactivo.
Comprueba tu avance Si una sustancia con masa inicial de 80 g tiene una vida media de 5 días, ¿cuánta masa queda tras 10 días (2 vidas medias)?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar la cantidad inicial $N_0$ en el instante $t = 0$.
  • Paso 2: Si el problema da una tasa de pérdida $d$, calcular la base de retención $b = 1 - d$.
  • Paso 3: Si da una vida media $t_{1/2}$, formular la base como $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$.
  • Paso 4: Evaluar la función para el tiempo dado y expresar la respuesta con sus unidades físicas.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Usar la pérdida $d$ en lugar de lo que queda ($1 - d$) como base.
  • Cómo corregirlo: La función modela lo que permanece: si pierde 10%, la base es $1 - 0,10 = 0,90$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Un fármaco con 200 mg iniciales y vida media de 2 horas ($D(t) = 200 \cdot (0,5)^{t/2}$): ¿cuánto queda en 6 horas?
2 Un equipo de $\$5.000.000\text{ pesos}$ pierde 10% anual ($b = 0,90$). En 2 años vale:
3 ¿Qué porcentaje de masa radiactiva queda tras 4 vidas medias?
4 En un modelo de decaimiento radiactivo, ¿a qué valor tiende la masa remanente cuando $t \to +\infty$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Olvidar elevar la fracción de vida media a la potencia t/t₁/₂."
"Los modelos de decaimiento exponencial utilizan bases que satisfacen 0 < b < 1."
"Restar la pérdida de forma lineal fija año a año."
"Tras k vidas medias, la cantidad remanente de sustancia es exactamente N₀ / 2ᵏ."
"Asumir que tras dos vidas medias la sustancia se extingue al 100% (queda el 25%)."

Al terminar debes poder

Resumen El modelamiento de fenómenos de decaimiento mediante funciones exponenciales proyecta la desintegración radiactiva, la absorción de fármacos o la depreciación de activos mediante la ley $N(t) = N_0 \cdot (1 - d)^t = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$ ($0 < b < 1$)

🎯 QUÉ Objetivo

Modelar y resolver problemas de decaimiento exponencial y semivida.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Formulando N(t) = N₀ · (1 - d)ᵗ o N(t) = N₀ · (1/2)^(t/t₁/₂) para predecir cantidades remanentes.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra y Funciones / Análisis Gráfico y Modelamiento Exponencial

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Un valor que se reduce a la mitad cada período corresponde a una base igual a 0,5.

  2. La base de un modelo de decaimiento con tasa $r\%$ es:

  3. Un modelo de decaimiento se expresa como:

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Un vehículo de $10.000.000 que se deprecia 15% anual se modela como $V(t)=10.000.000\cdot(0{,}85)^t$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un computador de $800.000 se deprecia 20% anual. Calcula su valor después de 2 años.

  2. Una muestra radiactiva de 100 g pierde 10% de su masa cada hora. Calcula la masa después de 3 horas.

  3. Sumar la tasa en vez de restarla al construir la base es un error frecuente en el modelo de decaimiento.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un valor inicial de $50.000 que decrece 5% anual, después de 2 años vale $45.125.

  2. Una sustancia de 200 g pierde 30% de su masa cada hora. Calcula la masa después de 2 horas.

  3. ¿Cuál es el error frecuente al plantear un modelo de decaimiento?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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