Modelamiento de fenómenos de decaimiento mediante funciones exponenciales
Plantear y resolver problemas de decaimiento (depreciación, desintegración) usando funciones exponenciales con base entre cero y uno.
Introducción
Así como una población puede crecer multiplicándose por un factor fijo, una cantidad también puede reducirse en la misma proporción cada período, como ocurre con la depreciación de un vehículo o la desintegración radiactiva.
Explicación
Definición formal
Un fenómeno que disminuye una tasa fija $r$ (expresada como decimal) por cada unidad de tiempo se modela como $C(t)=C_0\cdot(1-r)^t$, donde la base $b=1-r$ cumple $0<b<1$ (suponiendo $0<r<1$), garantizando decrecimiento.</p>
Desarrollo didáctico
Para plantear el modelo, se identifica el valor inicial y la tasa de decrecimiento porcentual, restándola de 1 (en su forma decimal) para obtener la base.
Un vehículo de $\$10.000.000$ se deprecia un $15\%$ anual: el modelo es $V(t)=10.000.000\cdot(0{,}85)^t$, con base $b=1-0{,}15=0{,}85$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el valor inicial $C_0$ y la tasa de decrecimiento porcentual $r\%$.
- Paso 2: Convierte la tasa a decimal y calcula la base $b=1-r$.
- Paso 3: Plantea el modelo $C(t)=C_0\cdot b^t$.
- Paso 4: Evalúa el modelo en el tiempo solicitado.
Ejemplos
1 Un computador de $\$800.000$ se deprecia un $20\%$ anual. Calcula su valor después de $3$ años.
- Modelo: $V(t)=800.000\cdot(0{,}8)^t$.
- $V(3)=800.000\cdot(0{,}8)^3=800.000\cdot0{,}512=\$409.600$.
2 Una muestra radiactiva de $100$ g pierde un $10\%$ de su masa cada hora. Calcula la masa después de $2$ horas.
- Modelo: $M(t)=100\cdot(0{,}9)^t$.
- $M(2)=100\cdot(0{,}9)^2=100\cdot0{,}81=81$ g.
3 ¿La base de un modelo de decaimiento con tasa $r\%$ es siempre $1-r$ (en decimal)?
- Restar la tasa decimal a 1 representa el 100% original menos el porcentaje que se pierde.
4 ¿Un valor que se reduce a la mitad cada período corresponde a una base igual a $0{,}5$?
- Reducirse a la mitad significa multiplicar por 0,5 en cada unidad de tiempo, lo que corresponde a $b=0{,}5$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Sumar la tasa en vez de restarla al construir la base del modelo de decaimiento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la tasa de decrecimiento $r$ con la base $b=1-r$ del modelo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar directamente el porcentaje (por ejemplo, 20) en vez de su forma decimal (0,2)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar que la tasa $r$ sea menor que 1, lo que produciría una base negativa inválida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un modelo de decaimiento se expresa como $C(t)=C_0\cdot(1-r)^t$, donde $C_0$ es el valor inicial, $r$ es la tasa de decrecimiento (como decimal) y $t$ es el tiempo transcurrido.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Un valor que se reduce a la mitad cada período corresponde a una base igual a 0,5.
Reducirse a la mitad significa multiplicar por 0,5.
Respuesta: Verdadero
-
La base de un modelo de decaimiento con tasa $r\%$ es:
Se resta la tasa decimal a 1.
Respuesta: A) $1-r$ (en decimal)
-
Un modelo de decaimiento se expresa como:
C0 es el valor inicial y r la tasa de decrecimiento.
Respuesta: A) $C(t)=C_0\cdot(1-r)^t$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Un vehículo de $10.000.000 que se deprecia 15% anual se modela como $V(t)=10.000.000\cdot(0{,}85)^t$.
b=1-0,15=0,85.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un computador de $800.000 se deprecia 20% anual. Calcula su valor después de 2 años.
V(2)=800.000·(0,8)^2=800.000·0,64=512.000.
Respuesta: A) $512.000
-
Una muestra radiactiva de 100 g pierde 10% de su masa cada hora. Calcula la masa después de 3 horas.
M(3)=100·(0,9)^3=100·0,729=72,9.
Respuesta: A) $72{,}9$ g
-
Sumar la tasa en vez de restarla al construir la base es un error frecuente en el modelo de decaimiento.
Se debe restar la tasa decimal a 1, no sumarla.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un valor inicial de $50.000 que decrece 5% anual, después de 2 años vale $45.125.
V(2)=50.000·(0,95)^2=50.000·0,9025=45.125.
Respuesta: Verdadero
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Una sustancia de 200 g pierde 30% de su masa cada hora. Calcula la masa después de 2 horas.
M(2)=200·(0,7)^2=200·0,49=98.
Respuesta: A) $98$ g
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¿Cuál es el error frecuente al plantear un modelo de decaimiento?
Si r es mayor o igual a 1, la base resultaría inválida.
Respuesta: A) No verificar que la tasa $r$ sea menor que 1