Modelamiento de crecimiento poblacional mediante funciones exponenciales
Plantear y resolver problemas de crecimiento poblacional (o similar) usando funciones exponenciales.
Introducción
Poblaciones de bacterias, animales o incluso usuarios de una aplicación suelen crecer multiplicándose por un mismo factor en cada período de tiempo, un comportamiento que se ajusta exactamente al modelo exponencial.
Explicación
Definición formal
Un fenómeno de crecimiento que aumenta una tasa fija $r$ (expresada como decimal) por cada unidad de tiempo se modela como $P(t)=P_0\cdot(1+r)^t$, donde $P_0=P(0)$ es la población inicial y la base $b=1+r>1$ garantiza crecimiento.
Desarrollo didáctico
Para plantear el modelo, se identifica la población inicial y la tasa de crecimiento porcentual, convirtiendo esta última a su forma decimal y sumándola a 1 para obtener la base.
Una población de $200$ conejos crece a una tasa del $8\%$ anual: el modelo es $P(t)=200\cdot(1{,}08)^t$, con $P_0=200$ y base $b=1+0{,}08=1{,}08$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la población inicial $P_0$ y la tasa de crecimiento porcentual $r\%$.
- Paso 2: Convierte la tasa a decimal y calcula la base $b=1+r$.
- Paso 3: Plantea el modelo $P(t)=P_0\cdot b^t$.
- Paso 4: Evalúa el modelo en el tiempo solicitado para responder la pregunta del problema.
Ejemplos
1 Una población de $500$ bacterias crece a una tasa del $20\%$ por hora. Plantea el modelo y calcula la población después de $3$ horas.
- Modelo: $P(t)=500\cdot(1{,}2)^t$.
- $P(3)=500\cdot(1{,}2)^3=500\cdot1{,}728=864$.
2 Una colonia de $50$ hormigas se duplica cada semana. Plantea el modelo y calcula la población después de $4$ semanas.
- Duplicarse corresponde a base $2$: $P(t)=50\cdot2^t$.
- $P(4)=50\cdot16=800$ hormigas.
3 ¿La base de un modelo de crecimiento con tasa $r\%$ es siempre $1+r$ (en decimal)?
- Sumar 1 a la tasa decimal representa el 100% original más el porcentaje de crecimiento adicional.
4 ¿Un crecimiento "que se duplica cada período" corresponde a una base igual a 2?
- Duplicarse significa multiplicar por 2 en cada unidad de tiempo, lo que corresponde exactamente a $b=2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar convertir la tasa porcentual a decimal antes de sumarla a 1."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la tasa de crecimiento $r$ con la base $b=1+r$ del modelo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar directamente el porcentaje (por ejemplo, 20) en vez de su forma decimal (0,2) al construir la base."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No identificar correctamente la población inicial cuando el problema la describe de forma indirecta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un modelo de crecimiento poblacional se expresa como $P(t)=P_0\cdot(1+r)^t$, donde $P_0$ es la población inicial, $r$ es la tasa de crecimiento (como decimal) y $t$ es el tiempo transcurrido.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Un modelo de crecimiento poblacional se expresa como:
P0 es la población inicial y r es la tasa de crecimiento.
Respuesta: A) $P(t)=P_0\cdot(1+r)^t$
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Un crecimiento que se duplica cada período corresponde a una base igual a 2.
Duplicarse significa multiplicar por 2, correspondiendo a b=2.
Respuesta: Verdadero
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La base de un modelo de crecimiento con tasa $r\%$ es:
Se suma 1 a la tasa decimal.
Respuesta: A) $1+r$ (en decimal)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Una población de 200 conejos que crece 8% anual se modela como $P(t)=200\cdot(1{,}08)^t$.
b=1+0,08=1,08.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Una población de 500 bacterias crece 20% por hora. Calcula la población después de 2 horas.
P(2)=500·(1,2)^2=500·1,44=720.
Respuesta: A) $720$
-
Una colonia de 50 hormigas se duplica cada semana. Calcula la población después de 3 semanas.
P(3)=50·2^3=50·8=400.
Respuesta: A) $400$
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Olvidar convertir la tasa porcentual a decimal antes de sumarla a 1 es un error frecuente.
Se debe usar la forma decimal, no el porcentaje directo.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al plantear un modelo de crecimiento?
Se debe usar 0,08 en vez de 8 al construir la base.
Respuesta: A) Usar el porcentaje directo en vez de su forma decimal
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Una población de 1000 crece 10% anual: después de 2 años tiene 1210 individuos.
P(2)=1000·(1,1)^2=1000·1,21=1210.
Respuesta: Verdadero
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Una población de 300 crece 25% cada período. Calcula la población después de 2 períodos.
P(2)=300·(1,25)^2=300·1,5625=468,75.
Respuesta: A) $468{,}75$