Identificación de la asíntota horizontal en funciones exponenciales trasladadas
Identificar la nueva asíntota horizontal de una función exponencial después de aplicar una traslación vertical.
Introducción
Cuando la curva exponencial se desplaza verticalmente, su "línea límite" (la asíntota) se desplaza exactamente en la misma medida, dejando de coincidir con el eje $x$.
Explicación
Definición formal
Dada $g(x)=a\cdot b^x+k$, como $a\cdot b^x$ se aproxima a $0$ (sin alcanzarlo) en una de las direcciones, $g(x)$ se aproxima a $0+k=k$. Por lo tanto, la asíntota horizontal de $g$ es la recta $y=k$.
Desarrollo didáctico
Basta con identificar la constante sumada al final de la función para conocer directamente la nueva asíntota, sin necesidad de ningún cálculo adicional.
Para $g(x)=5\cdot2^x-8$: la asíntota horizontal es $y=-8$, exactamente el valor de la constante sumada (en este caso, restada).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la constante $k$ sumada (o restada) al final de la función exponencial.
- Paso 2: La asíntota horizontal es la recta $y=k$.
Ejemplos
1 Identifica la asíntota horizontal de $g(x)=3\cdot4^x+6$.
- $k=6$.
- La asíntota horizontal es $y=6$.
2 Identifica la asíntota horizontal de $g(x)=2\cdot0{,}5^x-9$.
- $k=-9$.
- La asíntota horizontal es $y=-9$.
3 ¿La asíntota horizontal de una función trasladada verticalmente puede coincidir con el eje $x$?
- Ocurre únicamente cuando $k=0$, es decir, cuando no hay traslación vertical.
4 ¿La asíntota horizontal depende del valor de $a$ o de $b$?
- Depende únicamente de la constante $k$ sumada al final de la función.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la asíntota horizontal trasladada con la asíntota original ($y=0$), sin considerar $k$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No relacionar directamente la asíntota con la constante $k$ de la función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la traslación de la asíntota horizontal con una traslación del intercepto con el eje $y$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al identificar $k$ cuando la constante aparece restada."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La **asíntota horizontal** de $g(x)=a\cdot b^x+k$ es la recta $y=k$, desplazada exactamente $k$ unidades respecto a la asíntota original ($y=0$) de la función sin trasladar.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La asíntota horizontal de $g(x)=a\cdot b^x+k$ es:
La asíntota se desplaza exactamente k unidades.
Respuesta: A) $y=k$
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La asíntota horizontal de una función trasladada verticalmente puede coincidir con el eje x.
Ocurre cuando k=0.
Respuesta: Verdadero
-
La asíntota horizontal transformada depende de:
No depende de a ni de b, solo de la traslación vertical k.
Respuesta: A) Únicamente la constante k
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La asíntota horizontal de $g(x)=3\cdot4^x+6$ es $y=6$.
k=6.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Identifica la asíntota horizontal de $g(x)=2\cdot0{,}5^x-9$.
k=-9.
Respuesta: A) $y=-9$
-
Identifica la asíntota horizontal de $g(x)=-5\cdot3^x+12$.
k=12.
Respuesta: A) $y=12$
-
Confundir la asíntota transformada con la asíntota original ($y=0$) es un error frecuente.
Se debe considerar la constante k al determinar la nueva asíntota.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
La asíntota horizontal de $g(x)=6\cdot2^x+0$ es $y=0$.
k=0.
Respuesta: Verdadero
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Identifica la asíntota horizontal de $g(x)=10\cdot1{,}5^x-20$.
k=-20.
Respuesta: A) $y=-20$
-
¿Cuál es el error frecuente al identificar la asíntota transformada?
La asíntota siempre coincide con y=k.
Respuesta: A) No relacionar directamente la asíntota con la constante k