Efecto de una traslación vertical en la gráfica exponencial

Resumen inicial

El efecto de una traslación vertical en la función exponencial $g(x) = a \cdot b^x + k$ desplaza rígidamente toda la curva $k$ unidades hacia arriba (si $k > 0$) o hacia abajo (si $k < 0$), reubicando la asíntota horizontal en la recta $y = k$ y el intercepto en $(0, a + k)$.

Explicación en palabras simples

$El efecto de una traslación vertical en la función exponencial $g(x) = a \cdot b^x + k$ desplaza rígidamente toda la curva $k$ unidades hacia arriba (si $k > 0$) o hacia abajo (si $k < 0$), reubicando la asíntota horizontal en la recta $y = k$ y el intercepto en $(0, a + k)$$

Cuando a una función exponencial le sumas o restas un número suelto al final ($+ k$):

¿Qué le pasa a toda la gráfica?
Si sumas $+ k$ (ej: $2^x + 3$): Toda la curva sube $3$ pisos hacia arriba.
- La asíntota horizontal sube del piso $y = 0$ al piso $y = 3$.
- El corte con el eje Y sube de $(0, 1)$ a $(0, 4)$.
- El recorrido ahora es $]3, +\infty[$.
Si restas $- k$ (ej: $2^x - 5$): Toda la curva baja $5$ pisos hacia abajo.
- La asíntota baja a $y = -5$.
- El corte con el eje Y baja a $(0, -4)$.
- ¡Ahora la curva sí puede cruzar el eje $X$!

Explicación formal

Dada la transformación afín vertical $\mathcal{T}_k: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ con $\mathcal{T}_k(x, y) = (x, y + k)$, la gráfica transformada de $g(x) = a \cdot b^x + k$ satisface:

Traslación de la asíntota horizontal:
$$\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = \lim_{x \to \pm\infty} (a \cdot b^x + k) = 0 + k = k \implies \mathcal{A}_H: y = k$$
Traslación del intercepto $Y$:
$$g(0) = a \cdot b^0 + k = a \cdot 1 + k = a + k \implies P_Y(0, a + k)$$
Redefinición del conjunto imagen (Recorrido):
$$\operatorname{Rec}(g) = \begin{cases} ]k, +\infty[ & \text{si } a > 0 \\ ]-\infty, k[ & \text{si } a < 0 \end{cases}$$

Definiciones clave

Constante de traslación vertical ($k$): Desplazamiento rígido paralelo al eje de ordenadas.
Asíntota desplazada: Recta horizontal $y = k$ que actúa como nueva cota inferior o superior estricta.

Propiedades y relaciones importantes

Aparición de ceros reales: Si $a > 0$ y $k < 0$, la función cruza el eje $X$ en la raíz real única $x = \log_b(-k/a)$.
Invarianza del dominio y de la monotonía: La traslación vertical no modifica el dominio ($\mathbb{R}$) ni la velocidad de crecimiento de la base.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El efecto de una traslación vertical en la función exponencial $g(x) = a \cdot b^x + k$ desplaza rígidamente toda la curva $k$ unidades hacia arriba (si $k > 0$) o hacia abajo (si $k < 0$), reubicando la asíntota horizontal en la recta $y = k$ y el intercepto en $(0, a + k)$$

Para la función $f(x) = 3^x - 9$, determina:
1) La ecuación de su asíntota horizontal.
2) El intercepto con el eje Y.
3) El punto de corte con el eje X (cero de la función).
4) El recorrido de la función.

Paso 1: Identificar parámetros: $a = 1, b = 3, k = -9$. - Asíntota horizontal: recta **$y = -9$**.
Paso 2: Intercepto con el eje $Y$ evaluando $f(0)$: $f(0) = 3^0 - 9 = 1 - 9 = -8 \implies$ punto **$(0, -8)$**.
Paso 3: Cero de la función igualando $f(x) = 0$: $3^x - 9 = 0 \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$. - Punto de corte con el eje $X$: **$(2, 0)$**.
Paso 4: Recorrido: Como $a = 1 > 0$ y la asíntota es $y = -9$, $\operatorname{Rec}(f) = ]-9, +\infty[$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar la constante aditiva $k$ en $f(x) = a \cdot b^x + k$.
Paso 2: Establecer la ecuación de la asíntota horizontal como $y = k$.
Paso 3: Calcular el corte con el eje $Y$ evaluando $f(0) = a + k$.
Paso 4: Si $k$ tiene signo opuesto a $a$, resolver $a \cdot b^x + k = 0$ para hallar el corte con el eje $X$.
Paso 5: Formular el recorrido como $]k, +\infty[$ (para $a > 0$) o $]-\infty, k[$ (para $a < 0$).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Mantener la asíntota en $y = 0$ a pesar de haber sumado una constante $+ k$.
Cómo corregirlo: La constante $k$ desplaza toda la estructura, incluyendo la asíntota horizontal a la recta $y = k$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La constante aditiva k desplaza la asíntota horizontal de la función exponencial a la recta y = k."

"Si k < 0 y a > 0, la gráfica exponencial corta al eje X en una única raíz real."

"Olvidar sumar k al calcular el intercepto f(0)."

"Creer que la función exponencial trasladada sigue teniendo asíntota en y = 0."

"Escribir corchetes cerrados en el límite del recorrido k."

Al terminar debes poder

$Resumen El efecto de una traslación vertical en la función exponencial $g(x) = a \cdot b^x + k$ desplaza rígidamente toda la curva $k$ unidades hacia arriba (si $k > 0$) o hacia abajo (si $k < 0$), reubicando la asíntota horizontal en la recta $y = k$ y el intercepto en $(0, a + k)$$

Determinar el efecto de una traslación vertical en la gráfica exponencial.

Calculando la nueva asíntota y = k, el intercepto (0, a + k) y el recorrido adaptado ]k, +∞[.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La traslación vertical cambia la forma de crecimiento o decrecimiento de la curva.
La traslación vertical afecta:
No afecta el dominio (siempre R); sí afecta el recorrido, pero esta pregunta pide qué no cambia entre las primeras dos.

Respuesta: C) Ninguna de las anteriores
La función $g(x)=a\cdot b^x+k$ es $f(x)=a\cdot b^x$:
La constante k sumada produce una traslación vertical.

Respuesta: A) Trasladada verticalmente $k$ unidades

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$g(x)=2^x-3$ se traslada 3 unidades hacia abajo respecto a $f(x)=2^x$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

La traslación vertical afecta el dominio de la función.
Describe la traslación vertical de $g(x)=3^x+5$ respecto a $f(x)=3^x$.
k=5>0.

Respuesta: A) 5 unidades hacia arriba
Describe la traslación vertical de $g(x)=2^x-7$ respecto a $f(x)=2^x$.
k=-7<0.

Respuesta: A) 7 unidades hacia abajo

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

$g(x)=5^x+0$ es idéntica a $f(x)=5^x$, sin traslación vertical.
Describe la traslación vertical de $g(x)=4\cdot2^x-10$ respecto a $f(x)=4\cdot2^x$.
k=-10<0.

Respuesta: A) 10 unidades hacia abajo
¿Cuál es el error frecuente al describir traslaciones verticales exponenciales?
Son transformaciones distintas: k traslada, b cambia el ritmo de crecimiento.

Respuesta: A) Confundir la traslación vertical con un cambio en la base

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación