Efecto de una traslación vertical en la gráfica exponencial
Analizar el efecto de sumar una constante a una función exponencial, produciendo una traslación vertical de su gráfica.
Introducción
Así como con la parábola, la curva exponencial también puede deslizarse hacia arriba o hacia abajo sumándole un número constante, sin alterar su forma característica.
Explicación
Definición formal
Dada $f(x)=a\cdot b^x$, la función $g(x)=f(x)+k=a\cdot b^x+k$ representa una traslación vertical de $f$ en $k$ unidades. Cada punto $(x,y)$ de la gráfica original se traslada a $(x,y+k)$ en la nueva gráfica.
Desarrollo didáctico
El signo de $k$ se interpreta directamente: positivo sube toda la curva, negativo la baja, sin alterar su forma de crecimiento o decrecimiento exponencial.
La gráfica de $g(x)=2^x-3$ es idéntica a la de $f(x)=2^x$, pero desplazada $3$ unidades hacia abajo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la función base $f(x)=a\cdot b^x$ y la constante $k$ sumada.
- Paso 2: Si $k>0$, concluye que la traslación es hacia arriba.
- Paso 3: Si $k<0$, concluye que la traslación es hacia abajo.
Ejemplos
1 Describe la traslación vertical de $g(x)=3^x+5$ respecto a $f(x)=3^x$.
- $k=5>0$.
- Se traslada $5$ unidades hacia arriba.
2 Describe la traslación vertical de $g(x)=2^x-7$ respecto a $f(x)=2^x$.
- $k=-7<0$.
- Se traslada $7$ unidades hacia abajo.
3 ¿La traslación vertical cambia la forma de crecimiento o decrecimiento de la curva?
- Solo desplaza toda la curva verticalmente; el ritmo de crecimiento o decrecimiento permanece igual.
4 ¿La traslación vertical afecta el dominio de la función?
- El dominio de una función exponencial trasladada verticalmente sigue siendo todo $\mathbb{R}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la dirección de la traslación, invirtiendo el signo de $k$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar a $k$ la lógica de reescritura usada para las traslaciones horizontales de otras funciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir incorrectamente que la traslación vertical cambia el dominio de la función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la traslación vertical con un cambio en el valor de la base $b$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La función $g(x)=a\cdot b^x+k$ es la función exponencial $f(x)=a\cdot b^x$ **trasladada verticalmente** $k$ unidades: hacia arriba si $k>0$, hacia abajo si $k<0$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La traslación vertical cambia la forma de crecimiento o decrecimiento de la curva.
Solo desplaza la curva, sin cambiar su ritmo de crecimiento.
Respuesta: Falso
-
La traslación vertical afecta:
No afecta el dominio (siempre R); sí afecta el recorrido, pero esta pregunta pide qué no cambia entre las primeras dos.
Respuesta: C) Ninguna de las anteriores
-
La función $g(x)=a\cdot b^x+k$ es $f(x)=a\cdot b^x$:
La constante k sumada produce una traslación vertical.
Respuesta: A) Trasladada verticalmente $k$ unidades
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$g(x)=2^x-3$ se traslada 3 unidades hacia abajo respecto a $f(x)=2^x$.
k=-3<0.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Describe la traslación vertical de $g(x)=3^x+5$ respecto a $f(x)=3^x$.
k=5>0.
Respuesta: A) 5 unidades hacia arriba
-
La traslación vertical afecta el dominio de la función.
El dominio sigue siendo R después de la traslación.
Respuesta: Falso
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Describe la traslación vertical de $g(x)=2^x-7$ respecto a $f(x)=2^x$.
k=-7<0.
Respuesta: A) 7 unidades hacia abajo
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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$g(x)=5^x+0$ es idéntica a $f(x)=5^x$, sin traslación vertical.
Con k=0, no hay desplazamiento.
Respuesta: Verdadero
-
Describe la traslación vertical de $g(x)=4\cdot2^x-10$ respecto a $f(x)=4\cdot2^x$.
k=-10<0.
Respuesta: A) 10 unidades hacia abajo
-
¿Cuál es el error frecuente al describir traslaciones verticales exponenciales?
Son transformaciones distintas: k traslada, b cambia el ritmo de crecimiento.
Respuesta: A) Confundir la traslación vertical con un cambio en la base