Verificación de restricciones de dominio en soluciones logarítmicas
Comprobar que las soluciones de una ecuación logarítmica cumplan las condiciones de existencia del logaritmo.
Introducción
Resolver la ecuación es solo la mitad del trabajo. Antes de dar por válida una solución, hay que confirmar que el argumento del logaritmo original quede positivo.
Explicación
Definición formal
Si $x_0$ es una solución obtenida al resolver $\log_b(g(x))=c$, entonces $x_0$ es una solución válida solo si $g(x_0)>0$. Cuando $g(x_0)\leq0$, la expresión $\log_b(g(x_0))$ no está definida y $x_0$ debe descartarse del conjunto solución.
Desarrollo didáctico
Al resolver $\log_2(x-3)=2$ se obtiene $x-3=2^2=4$, es decir $x=7$. Se verifica reemplazando: $x-3=7-3=4>0$, por lo que la solución es válida. Si en cambio se hubiese obtenido un valor que hiciera $x-3\leq0$, esa solución debería descartarse aunque el despeje algebraico fuera correcto.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Resuelve la ecuación logarítmica aplicando la definición o las propiedades correspondientes.
- Paso 2: Reemplaza cada solución obtenida en el argumento del logaritmo original.
- Paso 3: Descarta toda solución que haga el argumento menor o igual a $0$.
- Paso 4: Declara como conjunto solución únicamente los valores que superan la verificación.
Ejemplos
1 Verifica si $x=7$ es solución válida de $\log_2(x-3)=2$.
- {'Se reemplaza en el argumento': '$x-3=7-3=4$.'}
- Como $4>0$, la solución $x=7$ es válida.
2 Al resolver $\log_3(x-5)=1$ se obtiene algebraicamente $x=8$; ¿qué ocurre si en otra ecuación similar el despeje diera $x=4$ para el mismo argumento $x-5$?
- {'Se reemplaza en el argumento': '$x-5=4-5=-1$.'}
- Como $-1\leq0$, esa solución debería descartarse por no cumplir el dominio del logaritmo.
3 ¿Es posible que el despeje algebraico de una ecuación logarítmica entregue una solución que deba rechazarse?
- Si la solución hace el argumento del logaritmo menor o igual a $0$, no es válida y debe descartarse.
4 ¿Es suficiente despejar la incógnita para garantizar que la solución sea correcta?
- Siempre debe verificarse que el argumento del logaritmo original quede positivo con esa solución.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aceptar como válida cualquier solución del despeje algebraico sin comprobar el dominio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Verificar el signo de la incógnita en vez del signo del argumento completo del logaritmo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que un argumento igual a $0$ también invalida la solución, no solo los negativos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No repetir la verificación cuando la ecuación tiene más de una solución candidata."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Toda solución de una ecuación logarítmica debe **verificarse** reemplazándola en la expresión original, descartando aquellas que produzcan un argumento menor o igual a $0$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Por qué es necesario verificar las soluciones de una ecuación logarítmica?
Es la condición de existencia que toda solución debe cumplir.
Respuesta: A) Porque el argumento del logaritmo debe quedar positivo
-
Toda solución obtenida algebraicamente en una ecuación logarítmica es automáticamente válida.
Debe verificarse que el argumento del logaritmo original quede positivo.
Respuesta: Falso
-
¿Qué ocurre si una solución hace que el argumento del logaritmo sea igual a $0$?
El argumento debe ser estrictamente mayor que $0$, no solo distinto de negativo.
Respuesta: A) Debe descartarse, porque el logaritmo de $0$ no existe
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x=7$ es solución válida de $\log_2(x-3)=2$.
Se verifica: $x-3=7-3=4>0$, así que es válida.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Verifica si $x=2$ es solución válida de $\log_3(x-5)=1$.
El argumento resulta negativo, así que la solución debe descartarse.
Respuesta: A) No, porque $x-5=-3<0$
-
Si el despeje algebraico da dos posibles soluciones, ambas deben verificarse por separado.
Cada solución candidata debe comprobarse individualmente en el argumento original.
Respuesta: Verdadero
-
Al resolver $\log_2(x-1)=3$, ¿qué se debe comprobar en la solución obtenida?
Es la condición de dominio asociada al argumento del logaritmo original.
Respuesta: A) Que $x-1>0$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Basta con que la incógnita $x$ sea positiva para garantizar que la solución de una ecuación logarítmica es válida.
Lo que debe ser positivo es el argumento completo del logaritmo, no necesariamente $x$ por sí sola.
Respuesta: Falso
-
¿Cuál es el error frecuente al resolver ecuaciones logarítmicas?
Omitir esta verificación es la causa más común de soluciones incorrectas.
Respuesta: A) Aceptar soluciones sin verificar el dominio
-
Al resolver $\log_5(x-2)=1$ se obtiene $x=7$; ¿es válida esta solución?
El argumento resulta positivo, por lo que la solución es válida.
Respuesta: A) Sí, porque $x-2=5>0$