Resolución de ecuaciones logarítmicas aplicando la definición
Resolver ecuaciones logarítmicas simples convirtiéndolas a su forma exponencial equivalente.
Introducción
La forma más directa de resolver una ecuación logarítmica sencilla es "deshacer" el logaritmo, transformándolo en la ecuación exponencial equivalente que ya sabes resolver.
Explicación
Definición formal
Dada una ecuación de la forma $\log_b(x)=y$ con $b>0$, $b\neq1$, la definición de logaritmo garantiza la equivalencia $\log_b(x)=y \Leftrightarrow x=b^y$. Esta equivalencia permite despejar $x$ calculando directamente la potencia $b^y$.
Desarrollo didáctico
Para resolver $\log_2(x)=3$: se traduce a la forma exponencial $x=2^3$, obteniendo $x=8$. Se comprueba reemplazando: $\log_2(8)=3$ porque $2^3=8$. El mismo método funciona cuando la incógnita está en la base o en el exponente.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la base $b$, el argumento y el resultado del logaritmo en la ecuación.
- Paso 2: Reescribe la ecuación logarítmica en su forma exponencial equivalente $x=b^y$.
- Paso 3: Calcula la potencia para obtener el valor de la incógnita.
- Paso 4: Verifica que el resultado cumpla las condiciones de existencia del logaritmo original.
Ejemplos
1 Resuelve $\log_5(x)=2$.
- {'Se reescribe en forma exponencial': '$x=5^2$.'}
- Se calcula la potencia y se obtiene $x=25$.
2 Resuelve $\log_b(16)=4$.
- {'Se reescribe en forma exponencial': '$b^4=16$.'}
- Se despeja $b=\sqrt[4]{16}=2$.
3 ¿Es correcto afirmar que la solución de $\log_3(x)=0$ es $x=1$?
- Al aplicar la definición, $\log_3(x)=0$ equivale a $x=3^0=1$.
4 ¿Se puede aceptar directamente cualquier solución obtenida al aplicar la definición, sin comprobar restricciones?
- Siempre debe verificarse que el argumento resultante sea positivo y coherente con el dominio original.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la posición de la base y el exponente al reescribir la ecuación exponencial equivalente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar que la solución obtenida cumpla las condiciones de existencia del logaritmo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la definición sin antes identificar correctamente cuál es la incógnita en la ecuación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular mal la potencia al despejar, especialmente con exponentes negativos o fraccionarios."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para resolver $\log_b(x)=y$, se aplica la definición y se reescribe como $x=b^y$, despejando así la incógnita sin necesidad de propiedades adicionales.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cómo se reescribe $\log_b(x)=y$ usando la definición?
Es la equivalencia directa entre la forma logarítmica y la exponencial.
Respuesta: A) $x=b^y$
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$\log_2(x)=3$ es equivalente a $x=2^3$.
Se aplica directamente la definición de logaritmo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué paso es necesario después de despejar la incógnita de una ecuación logarítmica?
Es un paso obligatorio para descartar soluciones inválidas.
Respuesta: A) Verificar que la solución cumpla el dominio del logaritmo original
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La ecuación $\log_3(x)=2$ tiene como solución $x=9$.
$3^2=9$, cumpliendo la definición.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Resuelve $\log_4(x)=3$.
Se reescribe como $x=4^3=64$.
Respuesta: A) $x=64$
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Resuelve $\log_b(27)=3$.
Se reescribe como $b^3=27$, y se despeja $b=\sqrt[3]{27}=3$.
Respuesta: A) $b=3$
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$\log_5(x)=0$ tiene como única solución $x=1$.
$5^0=1$, cumpliendo la definición para cualquier base.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Resuelve $\log_2(x+1)=4$.
Se reescribe como $x+1=2^4=16$, despejando $x=15$.
Respuesta: A) $x=15$
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Toda ecuación de la forma $\log_b(x)=y$ tiene exactamente una solución para $x$, dada base y resultado válidos.
La función logarítmica es inyectiva, por lo que produce una única solución.
Respuesta: Verdadero
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Resuelve $\log_3(2x)=2$.
Se reescribe como $2x=3^2=9$, despejando $x=4{,}5$.
Respuesta: A) $x=4{,}5$