Resolución de ecuaciones logarítmicas aplicando la definición
Resumen inicial
La resolución de ecuaciones logarítmicas aplicando la definición transforma igualdades de la forma $\log_b(g(x)) = c$ en ecuaciones polinómicas o racionales equivalentes $g(x) = b^c$, eliminando el operador logarítmico mediante exponenciación directa.
Explicación en palabras simples
Para resolver una ecuación logarítmica donde tienes un logaritmo igualado a un número:
$$\log_{\mathbf{b}}(\mathbf{g(x)}) = \mathbf{c} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{g(x) = b^c}$$
- El procedimiento en 3 pasos:
- Aislar el logaritmo: Asegúrate de que el logaritmo esté solo en un lado con coeficiente 1.
- Aplicar la definición (la base empuja al número): Escribe $g(x) = b^c$.
- Resolver la ecuación algebraica normal: Despeja la incógnita $x$.
- Ejemplo guiado:
$$\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 3^2 = 9 \implies 2x = 8 \implies \mathbf{x = 4}$$
Explicación formal
Sea una ecuación logarítmica elemental formulada en el cuerpo real $\mathbb{R}$:
$$\log_b(g(x)) = c$$
Por la biyectividad estricta de la aplicación logarítmica $\log_b: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$, aplicamos el operador inverso $\exp_b$ a ambos miembros:
$$\exp_b(\log_b(g(x))) = \exp_b(c) \Longleftrightarrow g(x) = b^c$$
Condición necesaria de consistencia:
Dado que $b^c > 0$ para todo $c \in \mathbb{R}$, la solución algebraica resultante garantiza automáticamente la positividad del argumento $g(x) = b^c > 0$ en la igualdad puntual.
La alternativa correcta es 'x = 14 (porque 2x - 3 = 5² = 25 ⟹ 2x = 28)'. Al aplicar la definición exponencial: $2x - 3 = 25 \implies 2x = 28 \implies x = 14$.
Definiciones clave
- Ecuación logarítmica elemental: Ecuación donde la incógnita se encuentra en el argumento de un logaritmo aislado.
- Paso a la forma exponencial: Transformación equivalente $\log_b(g(x)) = c \iff g(x) = b^c$.
Propiedades y relaciones importantes
- Linealización trascendente: Convierte expresiones trascendentes en ecuaciones algebraicas estándar.
- Compatibilidad de bases: Si hay bases variables $\log_{h(x)}(a) = c$, se resuelve $h(x)^c = a$ con $h(x) > 0, h(x) \neq 1$.
Ejemplo guiado
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas aplicando la definición:
1) $\log_2(3x - 5) = 4$
2) $5\log_3(x) + 2 = 12$
3) $\log_4(x^2 - 9) = 2$
- Paso 1: Para $\log_2(3x - 5) = 4$: - Pasar a exponencial: $3x - 5 = 2^4 = 16$. - Despejar: $3x = 21 \implies \mathbf{x = 7}$.
- Paso 2: Para $5\log_3(x) + 2 = 12$: - Aislar el logaritmo: $5\log_3(x) = 10 \implies \log_3(x) = 2$. - Pasar a exponencial: $x = 3^2 = \mathbf{9}$.
- Paso 3: Para $\log_4(x^2 - 9) = 2$: - Pasar a exponencial: $x^2 - 9 = 4^2 = 16$. - Despejar: $x^2 = 25 \implies \mathbf{x = \pm 5}$.
La alternativa correcta es 'x = 8 (porque log₂(x) = 3 ⟹ x = 2³ = 8)'. Se aisla $\log_2(x) = 3$ y se aplica la potencia $x = 2^3 = 8$.
Procedimiento
- Paso 1: Aislar completamente el término logarítmico en un miembro de la igualdad.
- Paso 2: Aplicar la definición fundamental transformando $\log_b(g(x)) = c$ en $g(x) = b^c$.
- Paso 3: Resolver la ecuación polinómica o racional resultante para la variable $x$.
- Paso 4: Comprobar que la solución satisfaga las restricciones del argumento original.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Multiplicar la base por el resultado en lugar de calcular la potencia (ej: $g(x) = b \cdot c$).
- Cómo corregirlo: Recuerda: El resultado del logaritmo es el EXPONENTE: $g(x) = \mathbf{b^c}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $x + 4 = 2^5 = 32 \implies x = 28$.
- Paso 1: $3x = 10^2 = 100 \implies x = 100/3$.
- Paso 1: $x^2 = 3^4 = 81 \implies x = \pm 9$.
- Paso 1: $3\ln(x) = 6 \implies \ln(x) = 2 \implies x = e^2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Resolver ecuaciones logarítmicas aplicando la definición fundamental.
Aislando log_b(g(x)) = c y transformando a la forma exponencial equivalente g(x) = b^c.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cómo se reescribe $\log_b(x)=y$ usando la definición?
Es la equivalencia directa entre la forma logarítmica y la exponencial.
Respuesta: A) $x=b^y$
-
$\log_2(x)=3$ es equivalente a $x=2^3$.
Se aplica directamente la definición de logaritmo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué paso es necesario después de despejar la incógnita de una ecuación logarítmica?
Es un paso obligatorio para descartar soluciones inválidas.
Respuesta: A) Verificar que la solución cumpla el dominio del logaritmo original
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La ecuación $\log_3(x)=2$ tiene como solución $x=9$.
$3^2=9$, cumpliendo la definición.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Resuelve $\log_4(x)=3$.
Se reescribe como $x=4^3=64$.
Respuesta: A) $x=64$
-
Resuelve $\log_b(27)=3$.
Se reescribe como $b^3=27$, y se despeja $b=\sqrt[3]{27}=3$.
Respuesta: A) $b=3$
-
$\log_5(x)=0$ tiene como única solución $x=1$.
$5^0=1$, cumpliendo la definición para cualquier base.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Resuelve $\log_2(x+1)=4$.
Se reescribe como $x+1=2^4=16$, despejando $x=15$.
Respuesta: A) $x=15$
-
Toda ecuación de la forma $\log_b(x)=y$ tiene exactamente una solución para $x$, dada base y resultado válidos.
La función logarítmica es inyectiva, por lo que produce una única solución.
Respuesta: Verdadero
-
Resuelve $\log_3(2x)=2$.
Se reescribe como $2x=3^2=9$, despejando $x=4{,}5$.
Respuesta: A) $x=4{,}5$