Justificación de la ausencia de intercepto con el eje Y en la función logarítmica básica

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

La función logarítmica básica no posee intercepto con el eje $y$ debido a que la abscisa $x = 0$ no pertenece a su dominio y constituye su asíntota vertical.

Explicación en palabras simples

Para hallar dónde una curva cruza el eje vertical $y$, tendríamos que evaluar la función en el punto donde la variable $x$ vale cero ($x = 0$). Sin embargo, en la función logarítmica básica $f(x) = \log_b(x)$, el valor $x = 0$ está estrictamente fuera de las entradas permitidas ($\log_b(0)$ no existe en los reales). Por esta razón, la curva se aproxima infinitamente al eje $y$ bordeándolo sin llegar a tocarlo ni cruzarlo jamás.

Explicación formal

Definición formal

La ausencia de intersección con el eje de las ordenadas (eje $y$) en la función logarítmica básica $f(x) = \log_b(x)$ se demuestra formalmente mediante la incompatibilidad de la condición de intersección con el dominio de definición real de la función:
1. Condición de intersección con el eje $y$: $P_y = (0, f(0))$.
2. Dominio de definición real: $\operatorname{Dom}(f) = ]0, +\infty[$.
3. Puesto que $0 \notin \operatorname{Dom}(f)$, la evaluación $f(0) = \log_b(0)$ es indefinida en $\mathbb{R}$.
4. Por consiguiente, el conjunto de intersecciones con el eje $y$ es el conjunto vacío:
$$\operatorname{Graf}(f) \cap \{(0, y) \mid y \in \mathbb{R}\} = \emptyset$$

Desglose simbólico

  • $x = 0 \implies \log_b(0)$ Indefinido en $\mathbb{R}$.
  • Asíntota vertical $x = 0$: La curva bordea la recta $x = 0$ a una distancia $|x| \to 0^+$, impidiendo cualquier punto de contacto finito.
  • Generación de intersección con el eje $y$ en funciones trasladadas: Una función logarítmica transformada $g(x) = a \cdot \log_b(cx + d) + k$ sí puede cortar al eje $y$ si y solo si el origen $x = 0$ forma parte de su dominio (es decir, si $d > 0$).

Síntesis didáctica

Diferenciar función básica de función trasladada:
- Función básica $f(x) = \log_b(x)$: Cero cortes con el eje $y$.
- Función trasladada $g(x) = \log_b(x + 5)$: Un corte con el eje $y$ en $(0, \log_b(5))$.

Comprueba tu avance ¿Por qué la gráfica de la función logarítmica básica $f(x) = \log_2(x)$ no cruza ni toca jamás al eje vertical $y$?

Definiciones clave

  • Ausencia de intercepto con el eje $y$: Propiedad por la cual la gráfica jamás toca la recta $x = 0$.
  • Indefinición en $x = 0$: Exclusión del cero del dominio de la función logarítmica básica.
  • Intersección vacía $\emptyset$: Inexistencia de pares ordenados de la forma $(0, y)$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Dualidad con la función exponencial: La función exponencial básica $y = b^x$ jamás corta al eje $x$. Su función inversa logarítmica $y = \log_b(x)$ jamás corta al eje $y$.
  • Condición para corte en $y$: Para que una función logarítmica corté al eje $y$, su asíntota vertical debe estar desplazada a la izquierda ($x = -d/c < 0$).

Ejemplo guiado

Analiza la existencia de intersección con el eje $y$ para las siguientes funciones logarítmicas: A) $f(x) = \log_3(x)$, B) $g(x) = \ln(x + e)$, C) $h(x) = \log(x - 4)$.

  • Paso 1: Para $f(x) = \log_3(x)$, evaluamos $x = 0 \implies \log_3(0)$ no existe. No tiene intercepto con el eje $y$.
  • Paso 2: Para $g(x) = \ln(x + e)$, evaluamos $x = 0 \implies g(0) = \ln(0 + e) = \ln(e) = 1$. Posee intercepto con el eje $y$ en el punto $(0, 1)$.
  • Paso 3: Para $h(x) = \log(x - 4)$, el dominio es $]4, +\infty[$. Como $x = 0 \notin ]4, +\infty[$, $h(0) = \log(-4)$ no existe. No tiene intercepto con el eje $y$.
Comprueba tu avance ¿En qué punto cartesiano cruza al eje $y$ la función logarítmica trasladada $g(x) = \log_2(x + 8)$?

Procedimiento

  • Paso 1: Para verificar si existe corte con el eje $y$, sustituir $x = 0$ en la fórmula de la función.
  • Paso 2: Si el argumento resultante es menor o igual a cero ($\le 0$), declarar que no existe intersección con el eje $y$.
  • Paso 3: Si el argumento resultante es estrictamente mayor que cero ($> 0$), calcular el valor del logaritmo y escribir el punto $(0, g(0))$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Afirmar que toda función logarítmica carece de corte con el eje $y$. Cómo corregirlo: Únicamente la función logarítmica básica no trasladada carece de corte en $y$. Las funciones trasladadas a la izquierda (como $\log_b(x+d)$ con $d > 0$) sí cortan al eje $y$.
  • Error 2: Creer que $\log_b(0) = 0$ y concluir un intercepto en $(0, 0)$. Cómo corregirlo: La expresión $\log_b(0)$ no es igual a cero; está indefinida en el conjunto de los números reales.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿La función $f(x) = \log_5(x)$ interseca al eje $y$?
2 ¿La función $g(x) = \log_{10}(x + 100)$ corta al eje $y$ en $(0, 2)$?
3 ¿La función $h(x) = \ln(x - 5)$ posee corte con el eje $y$?
4 ¿Es verdad que la función exponencial básica carece de corte en $x$, mientras que la logarítmica básica carece de corte en $y$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Una función logarítmica posee intercepto con el eje $y$ si y solo si el origen $x = 0$ pertenece a su dominio, lo cual requiere que la asíntota vertical esté desplazada a la izquierda ($x < 0$)."
"Todas las funciones logarítmicas, incluidas las trasladadas, carecen de intercepto con el eje $y$."
"La función logarítmica básica $f(x) = \log_b(x)$ cruza el eje $y$ en el origen de coordenadas $(0, 0)$."
"La asíntota vertical $x = 0$ de la función logarítmica permite que la curva toque al eje $y$ en el infinito."
"La intersección con el eje $y$ de $f(x) = \log_2(x + 4)$ la afirmación de que se ubica en el punto $(4, 0)$."
"La afirmación de que evaluar $x = 0$ en $f(x) = \log_3(x)$ da como resultado 0."
"La función logarítmica básica $f(x) = \log_b(x)$ no posee intercepto con el eje $y$ debido a que el valor $x = 0$ está fuera de su dominio de definición real."

Al terminar debes poder

🎯 QUÉ Objetivo

Justificar por qué la función logarítmica básica $f(x) = \log_b(x)$ no posee intercepto con el eje Y.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Demostrar que $x = 0$ no pertenece al dominio por ser una frontera asintótica no alcanzable.

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. ¿Por qué $f(x)=\log_b(x)$ no tiene intercepto en el eje $y$?

  2. $f(x)=\log_3(x)$ tiene intercepto en el eje $y$.

  3. ¿Con qué propiedad de la gráfica se relaciona la ausencia de intercepto en $y$?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Ninguna función logarítmica básica $f(x)=\log_b(x)$ tiene intercepto en el eje $y$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Qué ocurre al intentar evaluar $f(0)$ en $f(x)=\log_6(x)$?

  2. ¿Tiene $f(x)=\log_2(x-5)$ intercepto en el eje $y$?

  3. La ausencia de intercepto en $y$ es consistente con la existencia de la asíntota vertical.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente respecto al intercepto en $y$?

  2. Existe alguna base $b$ para la cual $f(x)=\log_b(x)$ sí tiene intercepto en $y$.

  3. ¿Qué representa gráficamente la ausencia de intercepto en $y$?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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