Justificación de la ausencia de intercepto con el eje Y en la función logarítmica básica
Justificar por qué la función logarítmica nunca corta el eje $y$.
Introducción
Para que una gráfica corte el eje $y$, la función debe estar definida en $x=0$. Como el logaritmo excluye ese valor del dominio, esa intersección simplemente no puede ocurrir.
Explicación
Definición formal
El dominio de $f(x)=\log_b(x)$ es $\mathbb{R}^+=\{x\in\mathbb{R}: x>0\}$, que excluye $x=0$. Como el intercepto en $y$ requiere evaluar $f(0)$, y ese valor queda fuera del dominio, la gráfica de toda función logarítmica carece de intercepto con el eje $y$.
Desarrollo didáctico
Intenta evaluar $f(0)=\log_b(0)$: la pregunta sería "¿a qué exponente se eleva $b$ para obtener $0$?". Ninguna potencia de una base positiva puede dar $0$, por eso la expresión no está definida y el eje $y$ queda excluido como posible intersección.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Recuerda que el dominio de $f(x)=\log_b(x)$ es $x>0$.
- Paso 2: Intenta evaluar $f(0)$ y verifica que $x=0$ no pertenece al dominio.
- Paso 3: Concluye que la gráfica no tiene intercepto en el eje $y$, coherente con la asíntota vertical en $x=0$.
Ejemplos
1 ¿Qué ocurre al intentar calcular $f(0)$ para $f(x)=\log_7(x)$?
- Se busca un exponente $y$ tal que $7^y=0$.
- Ninguna potencia de $7$ puede dar $0$, así que $f(0)$ no está definido.
2 Explica cómo se relaciona la ausencia de intercepto en $y$ con la asíntota vertical.
- La asíntota vertical en $x=0$ indica que la función se acerca a ese valor sin alcanzarlo nunca.
- Como $x=0$ nunca se alcanza, no puede existir un punto de la gráfica sobre el eje $y$.
3 ¿La gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ tiene algún punto sobre el eje $y$?
- El valor $x=0$ no pertenece al dominio de la función logarítmica.
4 ¿Existe alguna base $b$ para la cual $f(x)=\log_b(x)$ sí tenga intercepto en $y$?
- Para toda base válida $b>0$, $b\neq1$, el dominio siempre excluye $x=0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Suponer que $\log_b(0)=0$ por analogía incorrecta con otras funciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la ausencia de intercepto en $y$ con la existencia de un intercepto en $(0,0)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No relacionar esta propiedad con la asíntota vertical en $x=0$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que alguna base particular permite evaluar la función en $x=0$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La función $f(x)=\log_b(x)$ **no tiene intercepto en el eje $y$**, porque $x=0$ no pertenece a su dominio y, por lo tanto, $f(0)$ no está definido.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Por qué $f(x)=\log_b(x)$ no tiene intercepto en el eje $y$?
El intercepto en $y$ requiere evaluar $f(0)$, que no está definido.
Respuesta: A) Porque $x=0$ no pertenece al dominio
-
$f(x)=\log_3(x)$ tiene intercepto en el eje $y$.
El dominio excluye $x=0$, así que no hay tal intercepto.
Respuesta: Falso
-
¿Con qué propiedad de la gráfica se relaciona la ausencia de intercepto en $y$?
Ambas propiedades derivan de que $x=0$ queda excluido del dominio.
Respuesta: A) Con la asíntota vertical en $x=0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Ninguna función logarítmica básica $f(x)=\log_b(x)$ tiene intercepto en el eje $y$.
Es una propiedad común a todas las funciones logarítmicas básicas.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Qué ocurre al intentar evaluar $f(0)$ en $f(x)=\log_6(x)$?
No existe potencia de $6$ que dé como resultado $0$.
Respuesta: A) No está definido
-
¿Tiene $f(x)=\log_2(x-5)$ intercepto en el eje $y$?
El dominio exige $x-5>0$, es decir $x>5$, lo que excluye $x=0$.
Respuesta: A) No, porque $x=0$ no pertenece a su dominio
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La ausencia de intercepto en $y$ es consistente con la existencia de la asíntota vertical.
Ambas propiedades reflejan que $x=0$ está fuera del dominio de la función.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente respecto al intercepto en $y$?
Es un error común extender por analogía una propiedad de otras funciones.
Respuesta: A) Suponer que $\log_b(0)=0$
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Existe alguna base $b$ para la cual $f(x)=\log_b(x)$ sí tiene intercepto en $y$.
Para toda base válida, el dominio excluye $x=0$.
Respuesta: Falso
-
¿Qué representa gráficamente la ausencia de intercepto en $y$?
Es consecuencia directa de la asíntota vertical en $x=0$.
Respuesta: A) Que la curva nunca toca el eje vertical