Justificación de la ausencia de intercepto con el eje Y en la función logarítmica básica

Resumen inicial

La justificación de la ausencia de intercepto con el eje $Y$ en la función logarítmica básica demuestra que $0 \notin \operatorname{Dom}(\log_b)$, dado que evaluar $f(0) = \log_b(0)$ exigiría resolver $b^y = 0$, lo cual es imposible porque las potencias de bases positivas son estrictamente mayores que cero ($b^y > 0$).

Explicación en palabras simples

$La justificación de la ausencia de intercepto con el eje $Y$ en la función logarítmica básica demuestra que $0 \notin \operatorname{Dom}(\log_b)$, dado que evaluar $f(0) = \log_b(0)$ exigiría resolver $b^y = 0$, lo cual es imposible porque las potencias de bases positivas son estrictamente mayores que cero ($b^y > 0$)$

¿Por qué la función logarítmica básica $f(x) = \log_b(x)$ NUNCA cruza el eje vertical $Y$?

Demostración lógica simple:
Para cortar al eje $Y$, tendrías que evaluar la función en $x = 0$.
Eso significa calcular $f(0) = \log_b(0) = y$.
Al pasarlo a potencia: $b^y = 0$.
Pero piensa en cualquier base positiva: $2^1 = 2, 2^0 = 1, 2^{-10} = 0,00097...$
¡Una potencia de base positiva NUNCA PUEDE DAR CERO!
Conclusión geométrica: El eje $Y$ es una asíntota vertical insuperable; la curva se acerca mucho a él, pero jamás lo toca ni lo cruza.

Explicación formal

Sea $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ con $f(x) = \log_b(x)$ ($b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$). La existencia de un intercepto con el eje de ordenadas requiere la pertenencia del origen de abscisas al dominio de la función:
$$P_Y \in \operatorname{Gr}(f) \cap \{(0, y) \in \mathbb{R}^2\} \Longleftrightarrow 0 \in \operatorname{Dom}(f)$$
Dado que $\operatorname{Dom}(f) = ]0, +\infty[$, se verifica axiomáticamente que:
$$0 \notin ]0, +\infty[ \implies \operatorname{Gr}(f) \cap \text{Eje } Y = \emptyset$$

Condición para que una función trasladada sí corte a $Y$:
En $g(x) = \log_b(x - h)$, existirá intercepto con el eje $Y$ si y solo si $h < 0$ (traslación hacia la izquierda), pues en tal caso $0 \in ]h, +\infty[$ y $g(0) = \log_b(-h) \in \mathbb{R}$.

Definiciones clave

Ausencia de corte vertical: Inexistencia de puntos de intersección entre la gráfica básica y el eje $Y$.
Positividad estricta de la exponencial: Propiedad $b^y > 0, \forall y \in \mathbb{R}$ que impide que $\log_b(0)$ exista.

Propiedades y relaciones importantes

Dualidad con la asíntota: El eje $Y$ es la asíntota vertical $\mathcal{A}_V: x = 0$, garantizando $\operatorname{dist}(\operatorname{Gr}(f), \text{Eje } Y) \to 0$ sin intersección.
Corte en funciones trasladadas a la izquierda: Si $f(x) = \log_2(x + 8)$, entonces $f(0) = \log_2(8) = 3 \implies (0, 3)$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La justificación de la ausencia de intercepto con el eje $Y$ en la función logarítmica básica demuestra que $0 \notin \operatorname{Dom}(\log_b)$, dado que evaluar $f(0) = \log_b(0)$ exigiría resolver $b^y = 0$, lo cual es imposible porque las potencias de bases positivas son estrictamente mayores que cero ($b^y > 0$)$

Analiza si las siguientes funciones poseen intercepto con el eje $Y$ y calcula sus coordenadas en caso afirmativo:
1) $f(x) = \log_3(x)$
2) $g(x) = \log_2(x + 16)$
3) $h(x) = \ln(x - 5)$

Paso 1: Para $f(x) = \log_3(x)$: - $x = 0 \notin \operatorname{Dom}(f) = ]0, +\infty[$. - **No posee intercepto con el eje $Y$**.
Paso 2: Para $g(x) = \log_2(x + 16)$: - Evaluar en $x = 0$: $g(0) = \log_2(0 + 16) = \log_2(16) = 4$. - Como $16 > 0$, el corte existe en el punto **$(0, 4)$**.
Paso 3: Para $h(x) = \ln(x - 5)$: - Evaluar en $x = 0$: $h(0) = \ln(-5) \notin \mathbb{R}$. - **No posee intercepto con el eje $Y$**.

Procedimiento

Paso 1: Verificar si el valor $x = 0$ pertenece al dominio de la función dada.
Paso 2: Si la función es básica $f(x) = \log_b(x)$, concluir inmediatamente que no existe intercepto con el eje $Y$.
Paso 3: Si la función está trasladada $f(x) = \log_b(x - h)$, evaluar $f(0)$.
Paso 4: Si el argumento resultante es positivo, calcular $y = f(0)$ y escribir el punto $(0, y)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Afirmar que $\log_b(0) = 0$ y ubicar un corte en el origen $(0, 0)$.
Cómo corregirlo: $\log_b(0)$ NO EXISTE en los números reales; la gráfica básica NUNCA cruza el eje $Y$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Asumir que toda curva en el plano cartesiano debe cortar ambos ejes coordenados."

"No evaluar el dominio antes de intentar calcular f(0)."

"Una función logarítmica trasladada corta al eje Y si y solo si su desplazamiento horizontal es hacia la izquierda (h < 0)."

"La función logarítmica básica jamás intersecta al eje Y porque x = 0 no pertenece a su dominio."

"Confundir log_b(1) = 0 con un supuesto log_b(0) = 0."

Al terminar debes poder

$Resumen La justificación de la ausencia de intercepto con el eje $Y$ en la función logarítmica básica demuestra que $0 \notin \operatorname{Dom}(\log_b)$, dado que evaluar $f(0) = \log_b(0)$ exigiría resolver $b^y = 0$, lo cual es imposible porque las potencias de bases positivas son estrictamente mayores que cero ($b^y > 0$)$

Justificar la ausencia de intercepto con el eje Y en la función logarítmica básica.

Demostrando que 0 ∉ Dom(log_b) debido a la positividad estricta de la función exponencial bʸ > 0.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Por qué $f(x)=\log_b(x)$ no tiene intercepto en el eje $y$?
El intercepto en $y$ requiere evaluar $f(0)$, que no está definido.

Respuesta: A) Porque $x=0$ no pertenece al dominio
$f(x)=\log_3(x)$ tiene intercepto en el eje $y$.
¿Con qué propiedad de la gráfica se relaciona la ausencia de intercepto en $y$?
Ambas propiedades derivan de que $x=0$ queda excluido del dominio.

Respuesta: A) Con la asíntota vertical en $x=0$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Ninguna función logarítmica básica $f(x)=\log_b(x)$ tiene intercepto en el eje $y$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿Qué ocurre al intentar evaluar $f(0)$ en $f(x)=\log_6(x)$?
No existe potencia de $6$ que dé como resultado $0$.

Respuesta: A) No está definido
¿Tiene $f(x)=\log_2(x-5)$ intercepto en el eje $y$?
El dominio exige $x-5>0$, es decir $x>5$, lo que excluye $x=0$.

Respuesta: A) No, porque $x=0$ no pertenece a su dominio
La ausencia de intercepto en $y$ es consistente con la existencia de la asíntota vertical.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente respecto al intercepto en $y$?
Es un error común extender por analogía una propiedad de otras funciones.

Respuesta: A) Suponer que $\log_b(0)=0$
Existe alguna base $b$ para la cual $f(x)=\log_b(x)$ sí tiene intercepto en $y$.
¿Qué representa gráficamente la ausencia de intercepto en $y$?
Es consecuencia directa de la asíntota vertical en $x=0$.

Respuesta: A) Que la curva nunca toca el eje vertical

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación