Identificación de la asíntota vertical de la función logarítmica básica
Reconocer que el eje $y$ es una asíntota vertical de $f(x)=\log_b(x)$.
Introducción
A medida que $x$ se acerca a $0$ por la derecha, el logaritmo crece o decrece sin límite, pero nunca llega a tocar el eje $y$. Esa barrera invisible es la asíntota vertical.
Explicación
Definición formal
La recta $x=0$ es asíntota vertical de $f(x)=\log_b(x)$ porque, cuando $x\to0^+$, se cumple que $f(x)\to+\infty$ si $b>1$, o $f(x)\to-\infty$ si $0<b<1$; en ambos casos la gráfica se aproxima a la recta sin cruzarla, ya que $x=0$ no pertenece al dominio.</p>
Desarrollo didáctico
Prueba con $b=2$: si $x=0{,}1$, entonces $\log_2(0{,}1)\approx-3{,}32$; si $x=0{,}0001$, entonces $\log_2(0{,}0001)\approx-13{,}29$. Mientras más se acerca $x$ a $0$, más negativo se vuelve el logaritmo, pero $x$ nunca llega a ser $0$ ni negativo dentro del dominio.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica que el dominio de $f(x)=\log_b(x)$ excluye $x=0$ y todo valor negativo.
- Paso 2: Evalúa la función con valores de $x$ cada vez más cercanos a $0$ por la derecha.
- Paso 3: Observa que los valores de $f(x)$ crecen o decrecen sin cota, señalando la asíntota en $x=0$.
Ejemplos
1 Describe qué ocurre con $f(x)=\log_2(x)$ cuando $x$ se acerca a $0$ por la derecha.
- {'Se evalúan valores decrecientes de $x$': '$0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$.'}
- Los resultados $-3{,}32$, $-6{,}64$, $-9{,}97$ se vuelven cada vez más negativos sin límite.
2 ¿Cuál es la ecuación de la asíntota vertical de $f(x)=\log_5(x)$?
- El dominio de cualquier función logarítmica excluye $x=0$.
- La asíntota vertical es siempre la recta $x=0$, independiente de la base.
3 ¿La gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ llega a tocar la recta $x=0$?
- $x=0$ no pertenece al dominio de la función logarítmica.
4 ¿La posición de la asíntota vertical cambia según el valor de la base $b$?
- Para toda base válida $b>0$, $b\neq1$, la asíntota vertical siempre es $x=0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la asíntota vertical de la función logarítmica con la asíntota horizontal de la exponencial."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que la gráfica puede tocar o cruzar el eje $y$ para valores muy pequeños de $x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que la posición de la asíntota depende de la base $b$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar mencionar que la asíntota es vertical y no horizontal al describir la gráfica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ tiene una **asíntota vertical** en la recta $x=0$ (el eje $y$), porque la función no está definida para $x\leq0$ y sus valores divergen al acercarse a ese límite.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la asíntota vertical de $f(x)=\log_b(x)$?
La curva se aproxima al eje $y$ sin tocarlo, porque $x=0$ no pertenece al dominio.
Respuesta: A) $x=0$
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La gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ puede cruzar su asíntota vertical.
Una asíntota, por definición, es una recta que la curva se aproxima pero nunca cruza ni toca.
Respuesta: Falso
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¿Qué ocurre con $f(x)=\log_2(x)$ cuando $x\to0^+$?
Con base mayor que $1$, el logaritmo crece sin cota al acercarse el argumento a $0$.
Respuesta: A) $f(x)\to+\infty$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La asíntota vertical de $f(x)=\log_{0,5}(x)$ también es $x=0$.
La posición de la asíntota vertical no depende del valor de la base.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es la asíntota vertical de $f(x)=\log_3(x-4)$?
La asíntota se traslada junto con el argumento: se exige $x-4=0$.
Respuesta: A) $x=4$
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¿Cuál es la asíntota vertical de $f(x)=\log_2(x+1)$?
Se exige $x+1=0$, que da $x=-1$.
Respuesta: A) $x=-1$
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Al desplazar horizontalmente el argumento del logaritmo, la asíntota vertical se desplaza en la misma medida.
La asíntota siempre ocurre donde el argumento del logaritmo se anula.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La función $f(x)=\log_4(x)$ está definida en su asíntota vertical.
$x=0$ no pertenece al dominio, por lo que la función no está definida ahí.
Respuesta: Falso
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¿Cuál es la asíntota vertical de $f(x)=\log_5(2x)$?
Se exige $2x=0$, que también da $x=0$.
Respuesta: A) $x=0$
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¿Cuál es el error frecuente al identificar la asíntota vertical?
La función logarítmica tiene asíntota vertical, no horizontal, a diferencia de la exponencial.
Respuesta: A) Confundirla con una asíntota horizontal