Determinación del recorrido de la función logarítmica
Determinar el recorrido de una función logarítmica básica, reconociendo que corresponde a todos los números reales.
Introducción
Así como el dominio de la logarítmica hereda el recorrido de la exponencial, el recorrido de la logarítmica hereda el dominio de la exponencial, que no tiene restricciones.
Explicación
Definición formal
Como $f(x)=\log_b(x)$ es la inversa de $g(x)=b^x$, el recorrido de $f$ coincide con el dominio de $g$, que es $\mathbb{R}$. Por lo tanto, para cualquier número real $y$ (positivo, negativo o cero), existe un $x>0$ tal que $\log_b(x)=y$.
Desarrollo didáctico
A diferencia del dominio (restringido a positivos), el recorrido no tiene ninguna limitación: la función logarítmica puede tomar cualquier valor real, tanto para argumentos grandes como para argumentos cercanos a cero.
Para $f(x)=\log_2(x)$: cuando $x\to0^+$, $f(x)\to-\infty$; cuando $x\to+\infty$, $f(x)\to+\infty$, cubriendo así todo $\mathbb{R}$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la función sea una función logarítmica básica, sin transformaciones adicionales.
- Paso 2: Concluye que el recorrido es $\mathbb{R}$, sin necesidad de excluir ningún valor.
Ejemplos
1 Determina el recorrido de $f(x)=\log_4(x)$.
- Es una función logarítmica básica.
- $\text{Rec}(f)=\mathbb{R}$.
2 ¿Existe algún $x$ tal que $\log_3(x)=-5$?
- Sí, porque el recorrido de la función logarítmica es todo $\mathbb{R}$, incluyendo valores negativos.
- Ese $x$ es $3^{-5}=1/243$.
3 ¿El recorrido de la función logarítmica básica excluye el cero?
- El recorrido incluye todos los reales, incluido el cero (que se obtiene con $x=1$, ya que $\log_b(1)=0$).
4 ¿El recorrido de una función logarítmica depende del valor de la base $b$?
- Sin importar la base (siempre que sea válida), el recorrido de la función logarítmica básica siempre es $\mathbb{R}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el recorrido (siempre $\mathbb{R}$) con el dominio (restringido a positivos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que el recorrido está restringido a valores positivos, como el dominio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No reconocer que la función logarítmica puede tomar valores negativos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el recorrido de la función logarítmica con el de la función exponencial."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **recorrido** de la función logarítmica básica $f(x)=\log_b(x)$ es siempre el conjunto de todos los números reales, $\text{Rec}(f)=\mathbb{R}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
$f(x)=\log_2(x)$ puede tomar valores negativos.
Para $0<x<1$ el logaritmo con base mayor que $1$ es negativo.</p>
Respuesta: Verdadero
-
¿Cómo se relaciona el recorrido con el dominio de la exponencial?
Al intercambiar dominio y recorrido entre funciones inversas, el recorrido de $\log_b(x)$ coincide con $\mathbb{R}$, dominio de $b^x$.
Respuesta: A) El recorrido de la logarítmica es el dominio de la exponencial, por ser funciones inversas
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=\log_b(x)$?
La función toma todos los valores reales, positivos, negativos y el cero.
Respuesta: A) $\mathbb{R}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El recorrido de $f(x)=\log_b(x)$ es igual a todo $\mathbb{R}$, sin restricciones.
A diferencia del dominio, el recorrido no tiene restricciones.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
El recorrido de una función logarítmica básica nunca se restringe, a diferencia de su dominio.
El dominio sí se restringe a $\mathbb{R}^+$, pero el recorrido cubre todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Puede $f(x)=\log_b(x)$ tomar el valor $-5$?
El recorrido incluye todos los reales, incluidos los negativos.
Respuesta: A) Sí, para algún $x$ positivo menor que $1$
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¿Cuál es el recorrido de $f(x)=3+\log_2(x)$?
Un desplazamiento vertical no restringe el recorrido; sigue siendo todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: A) $\mathbb{R}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El recorrido de $f(x)=\log_b(x)$ depende del valor de la base $b$.
El recorrido $\mathbb{R}$ es el mismo para cualquier base válida, aunque el comportamiento (creciente o decreciente) sí cambie.
Respuesta: Falso
-
Si $f(x)=\log_5(x)$, ¿qué valor de $x$ produce $f(x)=0$?
Confirma que el recorrido alcanza el valor $0$ en $x=1$, cualquiera sea la base.
Respuesta: A) $x=1$
-
¿Cuál es el error frecuente al describir el recorrido de la función logarítmica?
El recorrido de la exponencial es $\mathbb{R}^+$, mientras que el de la logarítmica es todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: A) Confundirlo con el recorrido de la función exponencial