Determinación del recorrido de la función logarítmica
Resumen inicial
El conjunto recorrido de la función logarítmica es la totalidad de los números reales $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$.
Explicación en palabras simples
Mientras que el dominio de la función logarítmica acepta solo números positivos a la entrada, sus resultados de salida (el recorrido) pueden ser cualquier número real posible: enteros, fraccionarios, positivos, cero o negativos gigantescos. Esto sucede porque el logaritmo calcula el exponente, y como una potencia puede elevarse a cualquier número real de $-\infty$ a $+\infty$, las respuestas de la función cubren todo el eje vertical $y$.
Explicación formal
Definición formal
Para toda función logarítmica $f: D \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = a \cdot \log_b(cx + d) + k$ con $a \neq 0, b > 0, b \neq 1, c \neq 0$, el conjunto recorrido o conjunto imagen es ilimitado en ambas direcciones y equivale a:
$$\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$$
Desglose simbólico
- Demostración por existencia de preimagen: Para cualquier valor de salida deseado $y_0 \in \mathbb{R}$, existe siempre una preimagen $x_0 \in \operatorname{Dom}(f)$ tal que $f(x_0) = y_0$.
- Despeje explícito de la preimagen:
$$y_0 = a \cdot \log_b(cx_0 + d) + k \implies \frac{y_0 - k}{a} = \log_b(cx_0 + d) \implies b^{\frac{y_0 - k}{a}} = cx_0 + d$$
$$x_0 = \frac{b^{\frac{y_0 - k}{a}} - d}{c}$$
Puesto que la potencia $b^{\frac{y_0 - k}{a}} > 0$ está bien definida para todo $y_0 \in \mathbb{R}$, se confirma que todo $y_0$ posee preimagen en el dominio.
Síntesis didáctica
Diferenciar recorrido exponencial de recorrido logarítmico: La función exponencial no trasladada tiene un recorrido acotado $]0, +\infty[$ (solo positivos). Su función inversa logarítmica intercambia dominio y recorrido, teniendo un recorrido universal e ilimitado $\mathbb{R}$.
La alternativa correcta es 'El conjunto completo de los números reales $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$'. Todas las funciones logarítmicas reales tienen como recorrido el conjunto de todos los números reales.
Definiciones clave
- Conjunto recorrido $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$: Totalidad de números reales que adopta la variable dependiente $y$.
- Ausencia de asíntotas horizontales: Propiedad por la cual la gráfica logarítmica no tiene topes o techos horizontales.
- Superficie infinita del eje $y$: Extensión ilimitada de la curva desde el extremo inferior $-\infty$ hasta el extremo superior $+\infty$.
Propiedades y relaciones importantes
- Sobreyectividad: Al considerar el codominio como $\mathbb{R}$, la función logarítmica es una función sobreyectiva (y por tanto biyectiva).
- Invariancia del recorrido por traslaciones: Trasladar la función logarítmica en vertical ($+k$) o en horizontal ($+d$) conserva el recorrido completo en $\mathbb{R}$.
Ejemplo guiado
Determina el conjunto recorrido de las siguientes funciones logarítmicas e identifica la preimagen $x$ que produce la salida $y = 3$ en cada caso: A) $f(x) = \log_2(x)$, B) $g(x) = 5 \cdot \ln(x - 1) + 3$.
- Paso 1: Para $f(x) = \log_2(x)$, es una función logarítmica mónica. Su conjunto recorrido es $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$.
- Paso 2: Buscamos la preimagen para $y = 3$: $\log_2(x) = 3 \implies x = 2^3 = 8$.
- Paso 3: Para $g(x) = 5 \cdot \ln(x - 1) + 3$, su conjunto recorrido es $\operatorname{Rec}(g) = \mathbb{R}$.
- Paso 4: Buscamos la preimagen para $y = 3$: $5 \cdot \ln(x - 1) + 3 = 3 \implies 5 \cdot \ln(x - 1) = 0 \implies \ln(x - 1) = 0 \implies x - 1 = e^0 = 1 \implies x = 2$.
La alternativa correcta es 'No, la función logarítmica alcanza todos los valores reales de altura $y$ en su gráfico'. Al ser el recorrido $\mathbb{R}$, no existe ninguna cota vertical que la limite.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar que la función presentada es una función logarítmica de la forma $f(x) = a \cdot \log_b(g(x)) + k$.
- Paso 2: Recordar que la función inversa exponencial acepta cualquier exponente real.
- Paso 3: Declarar directamente que el conjunto recorrido es el conjunto entero de los números reales $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Confundir el recorrido de la función logarítmica con su dominio, afirmando que el recorrido son los reales positivos $]0, +\infty[$. Cómo corregirlo: El dominio (las entradas $x$) son los reales positivos $]0, +\infty[$, pero las salidas $y$ cubren todo $\mathbb{R}$ (el recorrido son todos los reales).
- Error 2: Creer que traslaciones verticales como $+k$ acotan el recorrido de la función logarítmica. Cómo corregirlo: A diferencia de las funciones cuadráticas o exponenciales, la función logarítmica no tiene máximos ni mínimos ni asíntotas horizontales. Sumar $k$ desplaza la gráfica pero su recorrido sigue siendo todo $\mathbb{R}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- La función logarítmica abarca todas las alturas reales.
- El recorrido es $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$.
- Sí. Para $x = 2^{-100} > 0$, la función entrega la salida $f(2^{-100}) = -100$.
- Sí. Los parámetros $-5$ y $+2$ modifican la escala y posición, pero el recorrido permanece como $\mathbb{R}$.
- Sí. En $x = 1$, $f(1) = \log_b(1) = 0$, por lo que $0 \in \operatorname{Rec}(f)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Determinar el recorrido de la función logarítmica básica y sus transformaciones.
Justificar que la función cubre la totalidad del conjunto de los números reales ($\text{Rec} = \mathbb{R}$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
$f(x)=\log_2(x)$ puede tomar valores negativos.
Para $0<x<1$ el logaritmo con base mayor que $1$ es negativo.</p>
Respuesta: Verdadero
-
¿Cómo se relaciona el recorrido con el dominio de la exponencial?
Al intercambiar dominio y recorrido entre funciones inversas, el recorrido de $\log_b(x)$ coincide con $\mathbb{R}$, dominio de $b^x$.
Respuesta: A) El recorrido de la logarítmica es el dominio de la exponencial, por ser funciones inversas
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=\log_b(x)$?
La función toma todos los valores reales, positivos, negativos y el cero.
Respuesta: A) $\mathbb{R}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El recorrido de $f(x)=\log_b(x)$ es igual a todo $\mathbb{R}$, sin restricciones.
A diferencia del dominio, el recorrido no tiene restricciones.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
El recorrido de una función logarítmica básica nunca se restringe, a diferencia de su dominio.
El dominio sí se restringe a $\mathbb{R}^+$, pero el recorrido cubre todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Puede $f(x)=\log_b(x)$ tomar el valor $-5$?
El recorrido incluye todos los reales, incluidos los negativos.
Respuesta: A) Sí, para algún $x$ positivo menor que $1$
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=3+\log_2(x)$?
Un desplazamiento vertical no restringe el recorrido; sigue siendo todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: A) $\mathbb{R}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El recorrido de $f(x)=\log_b(x)$ depende del valor de la base $b$.
El recorrido $\mathbb{R}$ es el mismo para cualquier base válida, aunque el comportamiento (creciente o decreciente) sí cambie.
Respuesta: Falso
-
Si $f(x)=\log_5(x)$, ¿qué valor de $x$ produce $f(x)=0$?
Confirma que el recorrido alcanza el valor $0$ en $x=1$, cualquiera sea la base.
Respuesta: A) $x=1$
-
¿Cuál es el error frecuente al describir el recorrido de la función logarítmica?
El recorrido de la exponencial es $\mathbb{R}^+$, mientras que el de la logarítmica es todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: A) Confundirlo con el recorrido de la función exponencial