Determinación del recorrido de la función logarítmica
Resumen inicial
La determinación del recorrido de la función logarítmica establece que $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$ para cualquier función $f(x) = a \log_b(x - h) + k$ con $a \neq 0$, dado que la curva cubre todas las alturas posibles desde menos infinito hasta más infinito.
Explicación en palabras simples
![La determinación del recorrido de la función logarítmica establece que $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$ para cualquier función $f(x) = a \log_b(x - h) + k$ con $a
eq 0$, dado que la curva cubre todas las alturas posibles desde menos infinito hasta más infinito](/static/img/nodos/determinacion-del-recorrido-de-la-funcion-logaritmica-intro.svg)
Una de las grandes ventajas de la función logarítmica es que su recorrido es absolutamente TODO el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$:
$$\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$$
- ¿Por qué cubre todas las alturas?
- Cuando te acercas a la asíntota vertical, la curva se va en picada hacia abajo a $-\infty$ (o hacia arriba a $+\infty$).
- Cuando avanzas hacia la derecha a números gigantes, la curva sigue creciendo sin parar hacia $+\infty$.
- ¡Incluso si la trasladas! Sumar un número $k$ o multiplicar por $a$ no limita el recorrido: $\mathbb{R} + k = \mathbb{R}$.
Explicación formal
Sea $f: ]h, +\infty[ \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = a \log_b(x - h) + k$ con $a \neq 0, b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$.
Para demostrar que $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$, se prueba la sobreyectividad:
Para cualquier $y_0 \in \mathbb{R}$ arbitrario, resolvemos la ecuación $f(x) = y_0$:
$$a \log_b(x - h) + k = y_0 \implies \log_b(x - h) = \frac{y_0 - k}{a} \implies x - h = b^{\frac{y_0 - k}{a}}$$
$$x = h + b^{\frac{y_0 - k}{a}}$$
Dado que $b^{\frac{y_0 - k}{a}} > 0$ para todo $y_0 \in \mathbb{R}$, se tiene que $x > h$, por lo que $x \in \operatorname{Dom}(f)$.
Por tanto, todo valor real $y_0$ posee una preimagen en el dominio, concluyendo que $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$.
La alternativa correcta es 'ℝ = ]-∞, +∞[ (todos los números reales)'. El recorrido de cualquier función logarítmica general sin truncar es siempre todo ℝ.
Definiciones clave
- Recorrido logarítmico: Conjunto de imágenes de la función, idéntico a todo $\mathbb{R}$.
- Sobreyectividad universal: Capacidad de la función logarítmica de alcanzar cualquier cota real mediante exponenciación.
Propiedades y relaciones importantes
- Dualidad funcional: $\operatorname{Dom}(\exp_b) = \operatorname{Rec}(\log_b) = \mathbb{R}$ y $\operatorname{Rec}(\exp_b) = \operatorname{Dom}(\log_b) = \mathbb{R}^+$.
- Invarianza ante traslaciones: Las transformaciones afines no acotan el recorrido.
Ejemplo guiado
![Ejemplo La determinación del recorrido de la función logarítmica establece que $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$ para cualquier función $f(x) = a \log_b(x - h) + k$ con $a \neq 0$, dado que la curva cubre todas las alturas posibles desde menos infinito hasta más infinito](/static/img/nodos/determinacion-del-recorrido-de-la-funcion-logaritmica-ejemplos.svg)
Demuestra algebraicamente que el recorrido de $f(x) = 3\log_2(x - 1) - 5$ es todo $\mathbb{R}$, hallando la preimagen de $y = 4$.
- Paso 1: Plantear la ecuación $f(x) = y$: $3\log_2(x - 1) - 5 = y$.
- Paso 2: Despejar el logaritmo: $3\log_2(x - 1) = y + 5 \implies \log_2(x - 1) = \frac{y + 5}{3}$.
- Paso 3: Pasar a forma exponencial: $x - 1 = 2^{\frac{y + 5}{3}} \implies x = 1 + 2^{\frac{y + 5}{3}}$.
- Paso 4: Como $2^{\frac{y + 5}{3}} > 0$ para todo $y \in \mathbb{R}$, $x > 1$ siempre existe en el dominio $\implies \operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$.
- Paso 5: Para $y = 4$: $x = 1 + 2^{(4+5)/3} = 1 + 2^3 = 1 + 8 = \mathbf{9}$.
La alternativa correcta es 'Son exactamente iguales (ambos son ℝ)'. Por ser funciones inversas, el dominio de una es el recorrido de la otra.
Procedimiento
- Paso 1: Reconocer la estructura logarítmica $f(x) = a \log_b(x - h) + k$.
- Paso 2: Comprobar que no existan restricciones externas de dominio impuestas en el problema.
- Paso 3: Concluir que el recorrido es el conjunto total $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$.
- Paso 4: Justificar mediante la existencia de preimágenes $x = h + b^{\frac{y - k}{a}}$ para cualquier $y \in \mathbb{R}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Confundir el dominio con el recorrido y decir que el recorrido es $]0, +\infty[$.
- Cómo corregirlo: El logaritmo puede dar cualquier valor positivo, negativo o cero: su recorrido es SIEMPRE $\mathbb{R}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$.
- Paso 1: Sumar constantes no restringe el conjunto infinito $\mathbb{R}$.
- Paso 1: $x = 2^{-5} = 1/32$.
- Paso 1: $x = e^0 = 1$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
![Resumen La determinación del recorrido de la función logarítmica establece que $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$ para cualquier función $f(x) = a \log_b(x - h) + k$ con $a \neq 0$, dado que la curva cubre todas las alturas posibles desde menos infinito hasta más infinito](/static/img/nodos/determinacion-del-recorrido-de-la-funcion-logaritmica-resumen.svg)
Determinar y justificar el recorrido de la función logarítmica.
Demostrando la sobreyectividad en ℝ mediante el despeje algebraico de preimágenes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
$f(x)=\log_2(x)$ puede tomar valores negativos.
Para $0<x<1$ el logaritmo con base mayor que $1$ es negativo.</p>
Respuesta: Verdadero
-
¿Cómo se relaciona el recorrido con el dominio de la exponencial?
Al intercambiar dominio y recorrido entre funciones inversas, el recorrido de $\log_b(x)$ coincide con $\mathbb{R}$, dominio de $b^x$.
Respuesta: A) El recorrido de la logarítmica es el dominio de la exponencial, por ser funciones inversas
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=\log_b(x)$?
La función toma todos los valores reales, positivos, negativos y el cero.
Respuesta: A) $\mathbb{R}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El recorrido de $f(x)=\log_b(x)$ es igual a todo $\mathbb{R}$, sin restricciones.
A diferencia del dominio, el recorrido no tiene restricciones.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
El recorrido de una función logarítmica básica nunca se restringe, a diferencia de su dominio.
El dominio sí se restringe a $\mathbb{R}^+$, pero el recorrido cubre todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Puede $f(x)=\log_b(x)$ tomar el valor $-5$?
El recorrido incluye todos los reales, incluidos los negativos.
Respuesta: A) Sí, para algún $x$ positivo menor que $1$
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=3+\log_2(x)$?
Un desplazamiento vertical no restringe el recorrido; sigue siendo todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: A) $\mathbb{R}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El recorrido de $f(x)=\log_b(x)$ depende del valor de la base $b$.
El recorrido $\mathbb{R}$ es el mismo para cualquier base válida, aunque el comportamiento (creciente o decreciente) sí cambie.
Respuesta: Falso
-
Si $f(x)=\log_5(x)$, ¿qué valor de $x$ produce $f(x)=0$?
Confirma que el recorrido alcanza el valor $0$ en $x=1$, cualquiera sea la base.
Respuesta: A) $x=1$
-
¿Cuál es el error frecuente al describir el recorrido de la función logarítmica?
El recorrido de la exponencial es $\mathbb{R}^+$, mientras que el de la logarítmica es todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: A) Confundirlo con el recorrido de la función exponencial