Determinación del dominio de la función logarítmica
Resumen inicial
La determinación del dominio de una función logarítmica $f(x) = \log_b(g(x))$ requiere resolver la inecuación estricta $g(x) > 0$, dado que el logaritmo solo está definido en los números reales para argumentos estrictamente positivos.
Explicación en palabras simples
Para encontrar el dominio (todos los valores de $x$ que se pueden usar) en cualquier función con logaritmo:
$$\text{Dominio de } \log_b(\mathbf{g(x)}) \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{g(x) > 0} \quad (\text{Argumento Estrictamente Positivo})$$
- Pasos a seguir:
- Toma todo lo que está dentro del paréntesis del logaritmo.
- Escribe la desigualdad: $\text{lo de adentro} > 0$ (¡estricto, sin signo igual!).
- Despeja $x$.
- Escribe la respuesta con corchetes abiertos: $]h, +\infty[$.
- Ejemplo rápido: En $f(x) = \log_2(x - 3)$, exigimos $x - 3 > 0 \implies x > 3 \implies \operatorname{Dom}(f) = ]3, +\infty[$.
Explicación formal
Sea $f(x) = a \log_b(g(x)) + k$ una función compuesta donde $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función continua. Por el teorema de preimagen del dominio fundamental $\mathbb{R}^+$:
$$\operatorname{Dom}(f) = g^{-1}(\mathbb{R}^+) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) \mid g(x) > 0\}$$
Casos canónicos de análisis:
1. Argumento afín $g(x) = mx + n$ ($m > 0$):
$mx + n > 0 \implies x > -n/m \implies \operatorname{Dom}(f) = ]-n/m, +\infty[$.
2. Argumento afín negativo ($m < 0$):
$mx + n > 0 \implies x < -n/m \implies \operatorname{Dom}(f) = ]-\infty, -n/m[$.
3. Argumento cuadrático $g(x) = (x - x_1)(x - x_2)$:
Resolución por tabla de signos en los intervalos exteriores o interiores según la concavidad.
La alternativa correcta es ']-4, +∞['. $2x + 8 > 0 \implies 2x > -8 \implies x > -4$.
Definiciones clave
- Dominio logarítmico: Conjunto de preimágenes donde el argumento es estrictamente mayor que cero.
- Frontera asintótica: Puntos de anulación $g(x) = 0$ que definen las asíntotas verticales de la función.
Propiedades y relaciones importantes
- Exclusión estricta de fronteras: Las fronteras donde $g(x) = 0$ siempre llevan corchete abierto $]$.
- Invarianza ante factores externos: Los coeficientes $a$ y $k$ no afectan el dominio.
Ejemplo guiado
Determina el dominio de las siguientes funciones logarítmicas:
1) $f(x) = \log_5(4x - 12)$
2) $g(x) = \ln(10 - 2x)$
3) $h(x) = \log_2(x^2 - 9)$
- Paso 1: Para $f(x) = \log_5(4x - 12)$: - Plantear: $4x - 12 > 0 \implies 4x > 12 \implies x > 3$. - **$\operatorname{Dom}(f) = ]3, +\infty[$**.
- Paso 2: Para $g(x) = \ln(10 - 2x)$: - Plantear: $10 - 2x > 0 \implies 10 > 2x \implies x < 5$. - **$\operatorname{Dom}(g) = ]-\infty, 5[$**.
- Paso 3: Para $h(x) = \log_2(x^2 - 9)$: - Plantear: $x^2 - 9 > 0 \implies (x - 3)(x + 3) > 0$. - Positivo en los extremos: $x < -3$ o $x > 3$. - **$\operatorname{Dom}(h) = ]-\infty, -3[ \cup ]3, +\infty[$**.
La alternativa correcta es ']-∞, 6['. $6 - x > 0 \implies 6 > x \implies x < 6$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el argumento algebraico $g(x)$ dentro del logaritmo.
- Paso 2: Plantear la inecuación estricta $g(x) > 0$.
- Paso 3: Resolver algebraicamente la inecuación considerando el cambio de sentido ante coeficientes negativos.
- Paso 4: Escribir el conjunto solución en notación de intervalos abiertos.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Utilizar corchetes cerrados $[$ o incluir el valor que hace $g(x) = 0$.
- Cómo corregirlo: En logaritmos el argumento nunca puede ser cero: se usan SIEMPRE corchetes abiertos $]$ o $[$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $x - 9 > 0 \implies x > 9 \implies ]9, +\infty[$.
- Paso 1: $5x - 20 > 0 \implies 5x > 20 \implies x > 4$.
- Paso 1: $15 - 3x > 0 \implies 15 > 3x \implies x < 5 \implies ]-\infty, 5[$.
- Paso 1: $|x - 2| > 0 \iff x \neq 2 \implies \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Determinar el dominio de funciones logarítmicas con argumentos variados.
Planteando y resolviendo la desigualdad estricta Argumento > 0 expresada en intervalos abiertos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el dominio de $f(x)=\log_b(x)$?
Solo los valores positivos de $x$ permiten que el logaritmo esté definido.
Respuesta: A) $\mathbb{R}^+$
-
$x=0$ pertenece al dominio de $f(x)=\log_b(x)$.
El $0$ queda excluido del dominio.
Respuesta: Falso
-
¿Por qué el dominio excluye los valores negativos?
Esa es la razón matemática detrás de la restricción del dominio.
Respuesta: A) Porque ninguna potencia de una base positiva da un resultado negativo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x=5$ pertenece al dominio de $f(x)=\log_2(x)$.
Es un valor positivo, por lo que sí pertenece al dominio.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el dominio de $f(x)=\log_3(x-2)$.
Se exige que el argumento $x-2$ sea estrictamente positivo.
Respuesta: A) $x>2$
-
Determina el dominio de $f(x)=\log_5(4-x)$.
Se resuelve la inecuación $4-x>0$, que equivale a $x<4$.
Respuesta: A) $x<4$
-
Para hallar el dominio de una función logarítmica compuesta, basta con exigir que el argumento sea mayor que $0$.
Esa desigualdad estricta es siempre la condición determinante del dominio.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el dominio de $f(x)=\log_7(x^2)$ para $x\neq0$?
Como $x^2>0$ para todo $x\neq0$, el argumento es positivo en todo real distinto de $0$.
Respuesta: A) $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
-
¿Cuál es el dominio de $f(x)=\log_2(x+3)$?
Se exige $x+3>0$, que equivale a $x>-3$.
Respuesta: A) $x>-3$
-
El dominio de $f(x)=\log_b(x)$ depende del valor de la base $b$.
El dominio $\mathbb{R}^+$ es el mismo para cualquier base válida.
Respuesta: Falso