Determinación del dominio de la función logarítmica
Resumen inicial
El dominio de la función logarítmica es el conjunto de valores $x$ que hacen que su argumento sea estrictamente positivo: $\operatorname{Dom}(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid \text{Argumento} > 0\}$.
Explicación en palabras simples
El dominio de una función representa todos los números que se pueden colocar en la variable $x$ sin romper las reglas matemáticas. Como no se pueden calcular logaritmos de números negativos ni de cero, para hallar el dominio de cualquier función logarítmica tomamos todo lo que está dentro del paréntesis (el argumento) y obligamos a que sea mayor que cero ($> 0$). Resolviendo esa inecuación obtenemos el conjunto dominio.
Explicación formal
Definición formal
Para una función logarítmica general $f(x) = a \cdot \log_b(g(x)) + k$, el dominio máximo de definición real se define analíticamente como el conjunto de nivel superior de la función argumento $g(x)$:
$$\operatorname{Dom}(f) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) \mid g(x) > 0\}$$
Desglose por tipos de argumento
- Argumento lineal $g(x) = cx + d$:
- Si $c > 0 \implies cx + d > 0 \implies x > -\frac{d}{c} \implies \operatorname{Dom}(f) = ]-\frac{d}{c}, +\infty[$.
- Si $c < 0 \implies cx + d > 0 \implies x < -\frac{d}{c} \implies \operatorname{Dom}(f) = ]-\infty, -\frac{d}{c}[$.
- Argumento cuadrático $g(x) = x^2 - k^2 > 0 \implies \operatorname{Dom}(f) = ]-\infty, -k[ \cup ]k, +\infty[$.
- Argumento racional $g(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} > 0$: Resuelto mediante tabla de signos.
Síntesis didáctica
Diferenciar corchete abierto de cerrado en la cota de la asíntota: El valor que anula el argumento $x_{asint}$ jamás se incluye en el dominio. Por lo tanto, las cotas del dominio logarítmico son siempre intervalos abiertos.
La alternativa correcta es '$\operatorname{Dom}(f) = ]-4, +\infty[$'. Resolvemos la desigualdad estricta $2x + 8 > 0 \implies 2x > -8 \implies x > -4$.
Definiciones clave
- Dominio de la función logarítmica: Conjunto de números reales $x$ que satisfacen la inecuación de argumento positivo.
- Inecuación estricta $g(x) > 0$: Desigualdad que garantiza que el argumento no sea nulo ni negativo.
- Cota del dominio: Valor fronterizo $x = x_{asint}$ que define la asíntota vertical de la función.
Propiedades y relaciones importantes
- Relación con la asíntota vertical: La cota abierta del intervalo del dominio es exactamente la recta de la asíntota vertical $x = x_{asint}$.
- Dominio de la función básica: Para la función no trasladada $f(x) = \log_b(x)$, el dominio es el intervalo abierto $\operatorname{Dom}(f) = ]0, +\infty[ = \mathbb{R}^+$.
Ejemplo guiado
Determina el conjunto dominio de definición real para las siguientes funciones logarítmicas: A) $f(x) = \log_2(5x - 20)$, B) $g(x) = \ln(12 - 3x)$, C) $h(x) = \log(x^2 - 9)$.
- Paso 1: Para $f(x) = \log_2(5x - 20)$, exigimos $5x - 20 > 0 \implies 5x > 20 \implies x > 4$. Dominio: $\operatorname{Dom}(f) = ]4, +\infty[$.
- Paso 2: Para $g(x) = \ln(12 - 3x)$, exigimos $12 - 3x > 0 \implies 12 > 3x \implies x < 4$. Dominio: $\operatorname{Dom}(g) = ]-\infty, 4[$.
- Paso 3: Para $h(x) = \log(x^2 - 9)$, exigimos $x^2 - 9 > 0 \implies (x - 3)(x + 3) > 0$.
- Paso 4: La inecuación cuadrática se satisface afuera de las raíces: $x < -3$ o $x > 3$. Dominio: $\operatorname{Dom}(h) = ]-\infty, -3[ \cup ]3, +\infty[$.
La alternativa correcta es 'Para todos los números reales estrictamente menores que 10 ($x < 10$)'. Exigimos $10 - x > 0 \implies 10 > x \implies x < 10$.
Procedimiento
- Paso 1: Aislar la expresión matemática dentro del argumento de la función logarítmica.
- Paso 2: Formular la inecuación estricta: $\text{Argumento} > 0$.
- Paso 3: Resolver la inecuación despejando la variable $x$ (recordar invertir el sentido de la desigualdad si se multiplica por un número negativo).
- Paso 4: Escribir el conjunto solución como un intervalo abierto.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Incluir la cota que anula el argumento en el dominio (ej: escribir $[4, +\infty[$ para $\log(x-4)$). Cómo corregirlo: La cota $x = 4$ anula el argumento ($\log(0)$), lo cual no existe. El intervalo debe ser estrictamente abierto $]4, +\infty[$.
- Error 2: No invertir el sentido de la desigualdad al despejar cuando el coeficiente de $x$ es negativo (ej: en $6 - 2x > 0$ escribir $x > 3$). Cómo corregirlo: Al despejar un coeficiente negativo, el sentido de la desigualdad cambia: $-2x > -6 \implies x < 3$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Argumento $x > 0$.
- Dominio: $\operatorname{Dom}(f) = ]0, +\infty[$.
- Sí. Exigimos $x - 7 > 0 \implies x > 7$, dando el intervalo $]7, +\infty[$.
- Sí. Exigimos $15 - 5x > 0 \implies 15 > 5x \implies x < 3$, dando $]-\infty, 3[$.
- Sí. Como $x^2 \ge 0$ para todo $x$, $x^2 + 4 \ge 4 > 0$ siempre se cumple, luego $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular el dominio de existencia de funciones logarítmicas reales.
Resolver la inecuación de argumento estrictamente positivo ($g(x) > 0$) obteniendo el intervalo real correspondiente.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el dominio de $f(x)=\log_b(x)$?
Solo los valores positivos de $x$ permiten que el logaritmo esté definido.
Respuesta: A) $\mathbb{R}^+$
-
$x=0$ pertenece al dominio de $f(x)=\log_b(x)$.
El $0$ queda excluido del dominio.
Respuesta: Falso
-
¿Por qué el dominio excluye los valores negativos?
Esa es la razón matemática detrás de la restricción del dominio.
Respuesta: A) Porque ninguna potencia de una base positiva da un resultado negativo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x=5$ pertenece al dominio de $f(x)=\log_2(x)$.
Es un valor positivo, por lo que sí pertenece al dominio.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el dominio de $f(x)=\log_3(x-2)$.
Se exige que el argumento $x-2$ sea estrictamente positivo.
Respuesta: A) $x>2$
-
Determina el dominio de $f(x)=\log_5(4-x)$.
Se resuelve la inecuación $4-x>0$, que equivale a $x<4$.
Respuesta: A) $x<4$
-
Para hallar el dominio de una función logarítmica compuesta, basta con exigir que el argumento sea mayor que $0$.
Esa desigualdad estricta es siempre la condición determinante del dominio.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el dominio de $f(x)=\log_7(x^2)$ para $x\neq0$?
Como $x^2>0$ para todo $x\neq0$, el argumento es positivo en todo real distinto de $0$.
Respuesta: A) $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
-
¿Cuál es el dominio de $f(x)=\log_2(x+3)$?
Se exige $x+3>0$, que equivale a $x>-3$.
Respuesta: A) $x>-3$
-
El dominio de $f(x)=\log_b(x)$ depende del valor de la base $b$.
El dominio $\mathbb{R}^+$ es el mismo para cualquier base válida.
Respuesta: Falso