Determinación del dominio de la función logarítmica
Determinar el dominio de una función logarítmica básica, reconociendo que se restringe a los números reales positivos.
Introducción
A diferencia de la función exponencial (definida en todo $\mathbb{R}$), su inversa logarítmica hereda una restricción directa del recorrido de la exponencial, que nunca es cero ni negativo.
Explicación
Definición formal
Como $f(x)=\log_b(x)$ es la inversa de $g(x)=b^x$, el dominio de $f$ coincide con el recorrido de $g$, que es $]0,+\infty[$. Por lo tanto, $\log_b(x)$ solo está definido para $x>0$.
Desarrollo didáctico
El dominio restringido tiene sentido intuitivo: como ninguna potencia de una base positiva puede dar cero o un número negativo, no existe ningún exponente que responda "¿a qué potencia elevo $b$ para obtener $-3$ (o $0$)?".
Para $f(x)=\log_2(x)$, el dominio es $]0,+\infty[$; $\log_2(-4)$ y $\log_2(0)$ no están definidos.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el argumento de la función logarítmica.
- Paso 2: Exige que ese argumento sea estrictamente positivo.
- Paso 3: El dominio de la función logarítmica básica es $]0,+\infty[$.
Ejemplos
1 Determina el dominio de $f(x)=\log_5(x)$.
- El argumento es $x$, que debe ser positivo.
- $\text{Dom}(f)=]0,+\infty[$.
2 ¿Pertenece $x=-2$ al dominio de $f(x)=\log_3(x)$?
- $-2$ no es positivo.
- No, $-2$ no pertenece al dominio.
3 ¿El dominio de la función logarítmica coincide con el recorrido de la función exponencial correspondiente?
- Al ser funciones inversas, el dominio de una coincide exactamente con el recorrido de la otra.
4 ¿El valor $x=0$ pertenece al dominio de una función logarítmica básica?
- El dominio es estrictamente positivo, $]0,+\infty[$, excluyendo el cero.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Incluir el cero o valores negativos en el dominio de la función logarítmica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el dominio de la función logarítmica con el de la función exponencial (que es $\mathbb{R}$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar la positividad del argumento cuando este es una expresión más compleja que $x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar corchetes en vez de paréntesis en el extremo cero del dominio, que no se incluye."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **dominio** de la función logarítmica básica $f(x)=\log_b(x)$ es siempre el conjunto de los números reales positivos, $\text{Dom}(f)=\mathbb{R}^+=]0,+\infty[$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el dominio de $f(x)=\log_b(x)$?
Solo los valores positivos de $x$ permiten que el logaritmo esté definido.
Respuesta: A) $\mathbb{R}^+$
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$x=0$ pertenece al dominio de $f(x)=\log_b(x)$.
El $0$ queda excluido del dominio.
Respuesta: Falso
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¿Por qué el dominio excluye los valores negativos?
Esa es la razón matemática detrás de la restricción del dominio.
Respuesta: A) Porque ninguna potencia de una base positiva da un resultado negativo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$x=5$ pertenece al dominio de $f(x)=\log_2(x)$.
Es un valor positivo, por lo que sí pertenece al dominio.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Determina el dominio de $f(x)=\log_3(x-2)$.
Se exige que el argumento $x-2$ sea estrictamente positivo.
Respuesta: A) $x>2$
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Determina el dominio de $f(x)=\log_5(4-x)$.
Se resuelve la inecuación $4-x>0$, que equivale a $x<4$.
Respuesta: A) $x<4$
-
Para hallar el dominio de una función logarítmica compuesta, basta con exigir que el argumento sea mayor que $0$.
Esa desigualdad estricta es siempre la condición determinante del dominio.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el dominio de $f(x)=\log_7(x^2)$ para $x\neq0$?
Como $x^2>0$ para todo $x\neq0$, el argumento es positivo en todo real distinto de $0$.
Respuesta: A) $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
-
¿Cuál es el dominio de $f(x)=\log_2(x+3)$?
Se exige $x+3>0$, que equivale a $x>-3$.
Respuesta: A) $x>-3$
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El dominio de $f(x)=\log_b(x)$ depende del valor de la base $b$.
El dominio $\mathbb{R}^+$ es el mismo para cualquier base válida.
Respuesta: Falso