Definición de función logarítmica
Comprender la función logarítmica como la inversa de la función exponencial.
Introducción
Si la función exponencial responde "¿cuánto vale $b$ elevado a $x$?", la función logarítmica responde la pregunta opuesta: "¿a qué exponente hay que elevar $b$ para obtener $x$?".
Explicación
Definición formal
Una función $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ es logarítmica si puede expresarse como $f(x)=\log_b(x)$, con $b>0$ y $b\neq1$, donde $y=\log_b(x)$ significa que $b^y=x$. Es, por construcción, la función inversa de $g(x)=b^x$.
Desarrollo didáctico
Para interpretar $\log_b(x)$, conviene traducirlo mentalmente a la pregunta: "¿a qué potencia elevo $b$ para obtener $x$?".
$\log_2(8)=3$, porque $2^3=8$. En cambio, $\log_5(x)$ para $x\leq0$ no tiene sentido, ya que ninguna potencia de $5$ (positivo) puede dar un resultado no positivo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la base $b$ y el argumento $x$ de la expresión logarítmica.
- Paso 2: Traduce $\log_b(x)$ como la pregunta "¿a qué exponente se eleva $b$ para obtener $x$?".
- Paso 3: Verifica que $b>0$, $b\neq1$ y $x>0$ para que la expresión esté bien definida.
Ejemplos
1 Interpreta el significado de $\log_3(9)$.
- Se pregunta a qué exponente se eleva $3$ para obtener $9$.
- Como $3^2=9$, entonces $\log_3(9)=2$.
2 ¿Está definido $\log_4(-2)$?
- No existe ninguna potencia de $4$ (base positiva) que dé un resultado negativo.
- No, no está definido dentro de los números reales.
3 ¿La función logarítmica es la inversa de la función exponencial?
- Por construcción, $\log_b(x)$ deshace la operación de elevar $b$ a una potencia.
4 ¿Puede el argumento de un logaritmo ser igual a cero?
- Ninguna potencia de una base positiva puede dar como resultado cero.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir $\log_b(x)$ con una división o resta entre $b$ y $x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la función logarítmica a argumentos negativos o iguales a cero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la base debe cumplir las mismas restricciones que en la función exponencial."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el orden de base y argumento al leer la notación $\log_b(x)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una **función logarítmica** es una función de la forma $f(x)=\log_b(x)$, que asigna a cada $x$ el exponente al que hay que elevar la base $b$ para obtener $x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
$\log_2(8)=3$ porque $2^3=8$.
Se cumple la definición: $2$ elevado a $3$ da $8$.
Respuesta: Verdadero
-
$\log_b(x)$ responde a la pregunta:
Esa es la pregunta que define el logaritmo como inversa de la potencia.
Respuesta: A) ¿A qué exponente se eleva $b$ para obtener $x$?
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¿De qué función es inversa la función logarítmica?
Por construcción, $\log_b(x)$ deshace la operación $b^x$.
Respuesta: A) De la función exponencial
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\log_5(-4)$ está definido dentro de los números reales.
Ninguna potencia de una base positiva puede dar un resultado negativo.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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$\log_b(x)$ y $b^x$ representan la misma relación, solo despejando distinta variable.
Ambas expresiones describen la misma relación $b^y=x$, cambiando cuál variable se despeja.
Respuesta: Verdadero
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Calcula $\log_4(16)$.
Se busca el exponente que cumple $4^{y}=16$; como $4^2=16$, $y=2$.
Respuesta: A) 2
-
Calcula $\log_3(1)$.
Cualquier base elevada a $0$ da $1$, así que $\log_3(1)=0$.
Respuesta: A) 0
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al interpretar $\log_b(x)$?
El logaritmo no es una operación aritmética directa entre $b$ y $x$, sino un exponente.
Respuesta: A) Confundirlo con una resta o división entre $b$ y $x$
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$\log_7(0)$ está definido y es igual a $0$.
Ninguna potencia de una base positiva puede dar $0$; el logaritmo de $0$ no existe.
Respuesta: Falso
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¿Cuál expresión es equivalente a $\log_b(x)=y$?
Es la traducción directa de la definición de logaritmo a su forma exponencial.
Respuesta: A) $b^y=x$