Definición de función logarítmica
Resumen inicial
La función logarítmica $f(x) = \log_b(x)$ asigna a cada entrada real positiva $x > 0$ el exponente $y$ al que se debe elevar la base $b > 0, b \neq 1$.
Explicación en palabras simples
Una función logarítmica es una regla matemática que toma un número positivo $x$ y nos devuelve el exponente al que hay que elevar una base fija $b$ para obtener ese número. Por ejemplo, en $f(x) = \log_2(x)$, si le entregamos el valor 8, la función responde 3 (porque $2^3 = 8$). Gráficamente, la función logarítmica es la imagen reflejada en espejo de la función exponencial respecto a la recta diagonal $y = x$.
Explicación formal
Definición formal
La función logarítmica real de base $b$ se define analíticamente como la función biyectiva $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ tal que:
$$f(x) = \log_b(x), \quad \text{con } b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$$
correspondiente a la función inversa de la función exponencial $g(x) = b^x$:
$$y = \log_b(x) \iff b^y = x$$
Desglose simbólico
- Dominio estricto: $\operatorname{Dom}(f) = ]0, +\infty[ = \mathbb{R}^+$.
- Recorrido completo: $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}$.
- Relación de simetría axial: La gráfica de $f(x) = \log_b(x)$ es simétrica a la gráfica de $g(x) = b^x$ respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante (recta $y = x$).
Síntesis didáctica
Diferenciar el rol de las variables: En la función exponencial $y = b^x$, la variable $x$ es el exponente. En la función logarítmica $y = \log_b(x)$, la salida $y$ es el exponente.
La alternativa correcta es 'Porque es la función inversa de la exponencial $g(x) = b^x$, cuyo recorrido son los reales positivos $]0, +\infty[$'. El dominio de una función inversa equivale exactamente al recorrido de la función original.
Definiciones clave
- Función logarítmica $f(x) = \log_b(x)$: Función real que calcula el exponente de la base $b$ para cada entrada positiva $x$.
- Inversa de la exponencial: Propiedad por la cual $f(g(x)) = \log_b(b^x) = x$ y $g(f(x)) = b^{\log_b(x)} = x$.
- Simetría respecto a $y = x$: Propiedad geométrica entre funciones inversas en el plano cartesiano.
Propiedades y relaciones importantes
- Continuidad e inyectividad: La función logarítmica es continua y estrictamente monótona en todo su dominio $]0, +\infty[$.
- Bases canónicas: Se destaca la función logarítmica decimal $f(x) = \log_{10}(x)$ y la función logarítmica natural $f(x) = \ln(x) = \log_e(x)$.
Ejemplo guiado
Dada la función logarítmica $f(x) = \log_3(x)$, calcula las imágenes para las entradas $x = 1, 3, 9, \frac{1}{3}, \sqrt{3}$ y confirma su relación con la función exponencial $g(x) = 3^x$.
- Paso 1: Evaluamos $f(1) = \log_3(1) = 0$, pues $3^0 = 1$. Punto: $(1, 0)$.
- Paso 2: Evaluamos $f(3) = \log_3(3) = 1$, pues $3^1 = 3$. Punto: $(3, 1)$.
- Paso 3: Evaluamos $f(9) = \log_3(9) = 2$, pues $3^2 = 9$. Punto: $(9, 2)$.
- Paso 4: Evaluamos $f(1/3) = \log_3(1/3) = -1$, pues $3^{-1} = 1/3$. Punto: $(1/3, -1)$.
- Paso 5: Evaluamos $f(\sqrt{3}) = \log_3(3^{1/2}) = 1/2$. Punto: $(\sqrt{3}, 1/2)$. Los pares son las coordenadas invertidas de $g(x) = 3^x$.
La alternativa correcta es 'El punto de coordenadas $(16, 2)$'. La función inversa intercambia los roles de las coordenadas $(x, y) \to (y, x)$, evaluando $f(16) = \log_4(16) = 2$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la regla de asignación de la función logarítmica $f(x) = \log_b(x)$.
- Paso 2: Sustituir la variable independiente $x$ por valores reales estrictamente positivos.
- Paso 3: Resolver el exponente $y$ que satisface la ecuación de potencia $b^y = x$.
- Paso 4: Escribir el par ordenado cartesiano $(x, y)$ correspondiente a la gráfica de la función.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Confundir la función logarítmica con su función inversa exponencial (ej: evaluar $f(x) = \log_2(x)$ en $x = 3$ haciendo $2^3 = 8$ y concluyendo $f(3) = 8$). Cómo corregirlo: La función logarítmica busca el exponente. Para $x = 3$, $f(3) = \log_2(3) \approx 1.58$. Elevar $2^3 = 8$ es evaluar la función exponencial $g(3)$.
- Error 2: Evaluar la función logarítmica en números negativos o cero. Cómo corregirlo: $\operatorname{Dom}(f) = ]0, +\infty[$. Intentar evaluar $f(0)$ o $f(-5)$ no está definido en los números reales.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $f(5) = \log_5(5) = 1$ pues $5^1 = 5$.
- Sí. $f(1) = \ln(1) = 0$, generando el par cartesiano $(1, 0)$.
- Sí. $0.25 = \frac{1}{4} = 2^{-2} \implies f(0.25) = \log_2(2^{-2}) = -2$.
- Sí. Por ser funciones inversas entre sí, sus gráficas se reflejan respecto a $y = x$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Definir la función logarítmica real $f(x) = \log_b(x)$ y sus componentes esenciales.
Reconocer la base $b > 0, b \neq 1$ y el argumento variable $x > 0$ como la función inversa de la función exponencial.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
$\log_2(8)=3$ porque $2^3=8$.
Se cumple la definición: $2$ elevado a $3$ da $8$.
Respuesta: Verdadero
-
$\log_b(x)$ responde a la pregunta:
Esa es la pregunta que define el logaritmo como inversa de la potencia.
Respuesta: A) ¿A qué exponente se eleva $b$ para obtener $x$?
-
¿De qué función es inversa la función logarítmica?
Por construcción, $\log_b(x)$ deshace la operación $b^x$.
Respuesta: A) De la función exponencial
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\log_5(-4)$ está definido dentro de los números reales.
Ninguna potencia de una base positiva puede dar un resultado negativo.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
$\log_b(x)$ y $b^x$ representan la misma relación, solo despejando distinta variable.
Ambas expresiones describen la misma relación $b^y=x$, cambiando cuál variable se despeja.
Respuesta: Verdadero
-
Calcula $\log_4(16)$.
Se busca el exponente que cumple $4^{y}=16$; como $4^2=16$, $y=2$.
Respuesta: A) 2
-
Calcula $\log_3(1)$.
Cualquier base elevada a $0$ da $1$, así que $\log_3(1)=0$.
Respuesta: A) 0
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al interpretar $\log_b(x)$?
El logaritmo no es una operación aritmética directa entre $b$ y $x$, sino un exponente.
Respuesta: A) Confundirlo con una resta o división entre $b$ y $x$
-
$\log_7(0)$ está definido y es igual a $0$.
Ninguna potencia de una base positiva puede dar $0$; el logaritmo de $0$ no existe.
Respuesta: Falso
-
¿Cuál expresión es equivalente a $\log_b(x)=y$?
Es la traducción directa de la definición de logaritmo a su forma exponencial.
Respuesta: A) $b^y=x$