Definición de función logarítmica

Resumen inicial

La función logarítmica básica es una función real de variable real $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \log_b(x)$, con base $b > 0, b \neq 1$, que asigna a cada número positivo su exponente correspondiente, siendo la inversa continua de la función exponencial $b^x$.

Explicación en palabras simples

$La función logarítmica básica es una función real de variable real $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \log_b(x)$, con base $b > 0, b \neq 1$, que asigna a cada número positivo su exponente correspondiente, siendo la inversa continua de la función exponencial $b^x$$

La función logarítmica es la máquina matemática inversa de la función exponencial:

$$f(x) = \log_b(x) \quad \Longleftrightarrow \quad y = \log_b(x) \iff b^y = x$$

¿Cómo funciona?
Le entregas un número positivo $x > 0$ (el argumento).
Te devuelve la altura $y$ que corresponde al exponente que necesita la base $b$.
Rasgos fundamentales:
Dominio: $\operatorname{Dom}(f) = ]0, +\infty[$ (solo acepta números estrictamente positivos).
Recorrido: $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$ (sus valores van desde $-\infty$ hasta $+\infty$).
Punto fijo canónico: Siempre pasa por $(1, 0)$ porque $\log_b(1) = 0$.

Explicación formal

Sea $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$. Se define la función logarítmica en base $b$ como la aplicación inversa $f = \exp_b^{-1}: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$:
$$f(x) = \log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$

Propiedades topológicas y analíticas:
1. Continuidad y diferenciabilidad: $f \in C^\infty(\mathbb{R}^+)$, con derivada primera $f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)}$.
2. Biyectividad: $f$ es estrictamente monótona e inyectiva en todo su dominio $\mathbb{R}^+$, con codominio y recorrido $\mathbb{R}$.
3. Simetría axial: La gráfica $\operatorname{Gr}(f)$ es la reflexión especular de $\operatorname{Gr}(\exp_b)$ respecto a la recta identidad $y = x$.

Definiciones clave

Función logarítmica: Función inversa de la exponencial con regla $f(x) = \log_b(x)$.
Base logarítmica ($b$): Constante real positiva distinta de uno que define la curvatura de la función.
Dominio logarítmico: Semieje real estrictamente positivo $]0, +\infty[$.

Propiedades y relaciones importantes

Composición cancelativa: $f(b^x) = x$ para todo $x \in \mathbb{R}$, y $b^{f(x)} = x$ para todo $x > 0$.
Invarianza del cero: $f(1) = 0$ y $f(b) = 1$ para cualquier base $b$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La función logarítmica básica es una función real de variable real $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \log_b(x)$, con base $b > 0, b \neq 1$, que asigna a cada número positivo su exponente correspondiente, siendo la inversa continua de la función exponencial $b^x$$

Dada la función $f(x) = \log_3(x)$:
1) Determina su dominio y recorrido.
2) Evalúa $f(1)$, $f(3)$, $f(27)$ y $f(1/9)$.
3) Grafica mentalmente su comportamiento respecto a $y = x$.

Paso 1: Dominio y recorrido: - $\operatorname{Dom}(f) = ]0, +\infty[$ (todos los números reales mayores que cero). - $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$ (todos los números reales).
Paso 2: Evaluaciones puntuales: - $f(1) = \log_3(1) = \mathbf{0}$ (punto $(1, 0)$). - $f(3) = \log_3(3) = \mathbf{1}$ (punto $(3, 1)$). - $f(27) = \log_3(3^3) = \mathbf{3}$ (punto $(27, 3)$). - $f(1/9) = \log_3(3^{-2}) = \mathbf{-2}$ (punto $(1/9, -2)$).
Paso 3: La gráfica es la reflexión de $y = 3^x$ respecto a $y = x$, creciendo lentamente hacia la derecha.

Procedimiento

Paso 1: Identificar la base $b$ de la función y verificar que $b > 0, b \neq 1$.
Paso 2: Declarar el dominio $\operatorname{Dom}(f) = ]0, +\infty[$ y el recorrido $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$.
Paso 3: Evaluar valores de entrada $x = b^k$ para obtener puntos $(b^k, k)$ exactos.
Paso 4: Trazar la curva logarítmica pasando por $(1, 0)$ y $(b, 1)$ con asíntota vertical en $x = 0$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Intentar evaluar la función en $x = 0$ o números negativos.
Cómo corregirlo: La función logarítmica solo acepta números estrictamente positivos: $\operatorname{Dom}(f) = ]0, +\infty[$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El dominio de la función básica es ]0, +∞[ y su recorrido es ℝ."

"La función logarítmica es la inversa biyectiva continua de la función exponencial de igual base."

"Olvidar que f(1) es siempre igual a cero."

"Pensar que la función logarítmica se corta en el eje Y en (0, 1)."

"Confundir el dominio ]0, +inf[ con el recorrido R."

Al terminar debes poder

$Resumen La función logarítmica básica es una función real de variable real $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \log_b(x)$, con base $b > 0, b \neq 1$, que asigna a cada número positivo su exponente correspondiente, siendo la inversa continua de la función exponencial $b^x$$

Definir, evaluar y caracterizar la función logarítmica básica.

Identificando f(x) = log_b(x) como la inversa de bˣ con dominio ]0, +∞[ y recorrido ℝ.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

$\log_2(8)=3$ porque $2^3=8$.
$\log_b(x)$ responde a la pregunta:
Esa es la pregunta que define el logaritmo como inversa de la potencia.

Respuesta: A) ¿A qué exponente se eleva $b$ para obtener $x$?
¿De qué función es inversa la función logarítmica?
Por construcción, $\log_b(x)$ deshace la operación $b^x$.

Respuesta: A) De la función exponencial

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$\log_5(-4)$ está definido dentro de los números reales.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

$\log_b(x)$ y $b^x$ representan la misma relación, solo despejando distinta variable.
Calcula $\log_4(16)$.
Se busca el exponente que cumple $4^{y}=16$; como $4^2=16$, $y=2$.

Respuesta: A) 2
Calcula $\log_3(1)$.
Cualquier base elevada a $0$ da $1$, así que $\log_3(1)=0$.

Respuesta: A) 0

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al interpretar $\log_b(x)$?
El logaritmo no es una operación aritmética directa entre $b$ y $x$, sino un exponente.

Respuesta: A) Confundirlo con una resta o división entre $b$ y $x$
$\log_7(0)$ está definido y es igual a $0$.
¿Cuál expresión es equivalente a $\log_b(x)=y$?
Es la traducción directa de la definición de logaritmo a su forma exponencial.

Respuesta: A) $b^y=x$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación