Construcción de la gráfica de la función logarítmica según su base
Resumen inicial
La construcción de la gráfica de la función logarítmica según su base sistematiza el trazado cartesiano mediante la tabulación de potencias exactas $x \in \{b^{-2}, b^{-1}, 1, b, b^2\}$, la fijación de la asíntota vertical $x = 0$ y el intercepto canónico $(1, 0)$.
Explicación en palabras simples
Para graficar cualquier función logarítmica con precisión perfecta y sin sufrir con decimales raros:
El truco de oro: Elige valores de $x$ que sean POTENCIAS DE LA BASE:
| $x$ (Potencia de $b$) | $y = \log_b(x)$ | Punto cartesiano |
|---|---|---|
| $x = 1/b^2 = b^{-2}$ | $-2$ | $(1/b^2, -2)$ |
| $x = 1/b = b^{-1}$ | $-1$ | $(1/b, -1)$ |
| $x = 1 = b^0$ | $0$ | $(1, 0)$ (Intercepto X) |
| $x = b = b^1$ | $1$ | $(b, 1)$ (Punto clave) |
| $x = b^2$ | $2$ | $(b^2, 2)$ |
- Los 3 pasos del trazado:
- Dibuja la línea punteada de la asíntota vertical en $x = 0$ (el eje $Y$).
- Marca los puntos tabulados en el plano cartesiano.
- Une los puntos con una curva suave y continua.
Explicación formal
Sea $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \log_b(x)$. La representación cartesiana $\operatorname{Gr}(f) = \{(x, \log_b(x)) \in \mathbb{R}^2 \mid x > 0\}$ se caracteriza por los siguientes elementos geométricos:
1. Asíntota vertical $\mathcal{A}_V$: Recta $x = 0$ delimitando el semiplano $x > 0$.
2. Punto canónico de corte: $P_0(1, 0)$.
3. Punto de escala de base: $P_1(b, 1)$ y $P_{-1}(1/b, -1)$.
4. Curvatura: Cóncava hacia abajo si $b > 1$ ($f''(x) < 0$); convexa hacia arriba si $0 < b < 1$ ($f''(x) > 0$).
La alternativa correcta es '(1/3, -1), (1, 0) y (3, 1)'. Corresponden a evaluar $x = 3^{-1}, 3^0, 3^1$.
Definiciones clave
- Puntos canónicos de control: Conjunto $\{(1/b, -1), (1, 0), (b, 1)\}$ que determina unívocamente la gráfica.
- Línea de referencia asintótica: Recta vertical $x = 0$ trazada con línea segmentada.
Propiedades y relaciones importantes
- Monotonía visual: Curva ascendente de izquierda a derecha si $b > 1$; curva descendente si $0 < b < 1$.
- Reflexión respecto a la identidad: Simetría con la gráfica de $y = b^x$ respecto a $y = x$.
Ejemplo guiado
Construye una tabla de valores y describe los pasos para graficar $f(x) = \log_2(x)$.
- Paso 1: Seleccionar potencias de base 2 como entradas de $x$: - $x = 1/4 = 2^{-2} \implies y = -2 \implies (0{,}25, -2)$. - $x = 1/2 = 2^{-1} \implies y = -1 \implies (0{,}5, -1)$. - $x = 1 = 2^0 \implies y = 0 \implies (1, 0)$. - $x = 2 = 2^1 \implies y = 1 \implies (2, 1)$. - $x = 4 = 2^2 \implies y = 2 \implies (4, 2)$. - $x = 8 = 2^3 \implies y = 3 \implies (8, 3)$.
- Paso 2: Trazar la asíntota vertical en la recta $x = 0$ (eje $Y$).
- Paso 3: Ubicar los puntos cartesianos en el plano.
- Paso 4: Unir los puntos con una curva suave que asciende desde $-\infty$ y crece hacia $+\infty$.
La alternativa correcta es 'Porque las potencias de la base generan valores enteros exactos en y'. Al elegir $x = b^k$, el resultado es simplemente el exponente entero $k$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la base $b$ de la función.
- Paso 2: Generar una tabla de valores eligiendo $x = b^k$ para $k \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
- Paso 3: Trazar en el plano cartesiano la asíntota vertical segmentada $x = 0$.
- Paso 4: Marcar los puntos $(b^k, k)$ y unirlos mediante un trazo curvo continuo asintótico.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Unir los puntos con segmentos rectos poligonales en lugar de una curva suave.
- Cómo corregirlo: La función logarítmica es completamente suave y continua: debe trazarse con curvatura uniforme aproximándose asintóticamente a $x = 0$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $f(5) = \log_5(5) = 1 \implies (5, 1)$.
- Paso 1: $g(2) = \log_{1/2}(2) = -1 \implies (2, -1)$.
- Paso 1: Como pasa por $(b, 1) = (4, 1)$, la base es $b = 4$.
- Paso 1: $\log_3(3^{-2}) = -2 \implies (1/9, -2)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Construir y representar con precisión la gráfica de la función logarítmica según su base.
Tabulando puntos cartesianos exactos x = bᵏ, trazando la asíntota vertical x = 0 y el corte (1, 0).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué elemento NO forma parte de la gráfica de $f(x)=\log_b(x)$?
$x=0$ no pertenece al dominio, así que ningún punto de la curva está ahí.
Respuesta: A) Un punto en $x=0$
-
Toda gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ pasa por el punto $(1,0)$.
Es una propiedad común a toda base válida.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué determina si la curva de $f(x)=\log_b(x)$ es creciente o decreciente?
Si $b>1$ es creciente; si $0<b<1$ es decreciente.</p>
Respuesta: A) El valor de la base $b$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La gráfica de $f(x)=\log_2(x)$ se aproxima al eje $y$ sin tocarlo.
Refleja la asíntota vertical en $x=0$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es el primer paso para graficar $f(x)=\log_3(x)$?
Es la guía inicial antes de ubicar puntos de la curva.
Respuesta: A) Trazar la asíntota vertical en $x=0$
-
La curva de $f(x)=\log_{0,5}(x)$ pasa por el punto $(2,-1)$.
$\log_{0,5}(2)=-1$, porque $0{,}5^{-1}=2$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué puntos conviene calcular para trazar $f(x)=\log_2(x)$?
Son puntos de apoyo obtenidos evaluando la función logarítmica.
Respuesta: A) $(1,0)$, $(2,1)$ y $(0{,}5,-1)$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al trazar la gráfica de una función logarítmica?
El dominio excluye $x\leq0$, así que la curva no puede extenderse ahí.
Respuesta: A) Extender la curva hacia valores de $x$ negativos
-
¿Qué comportamiento describe correctamente la gráfica de $f(x)=\log_{0,2}(x)$?
Reúne las tres propiedades estudiadas: monotonía según la base, asíntota vertical y punto fijo.
Respuesta: A) Decreciente, con asíntota vertical en $x=0$ y pasando por $(1,0)$
-
La gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ es simétrica respecto al eje $x$ para bases recíprocas $b$ y $1/b$.
$\log_{1/b}(x)=-\log_b(x)$, lo que produce una reflexión respecto al eje $x$.
Respuesta: Verdadero