Construcción de la gráfica de la función logarítmica según su base
Describir la forma general de la gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ integrando dominio, asíntota, intercepto y monotonía.
Introducción
Ya conoces por separado el dominio, la asíntota y el comportamiento creciente o decreciente de la función logarítmica. Ahora se combinan todas esas piezas en una sola curva.
Explicación
Definición formal
La gráfica de $f(x)=\log_b(x)$, con $b>0$ y $b\neq1$, es el conjunto de puntos $(x,\log_b(x))$ con $x>0$. Se aproxima a la recta $x=0$ sin tocarla, corta el eje $x$ únicamente en $(1,0)$, y es estrictamente monótona (creciente si $b>1$, decreciente si $0<b<1$) en todo su dominio.</p>
Desarrollo didáctico
Para trazar la curva de $f(x)=\log_2(x)$: se ubica la asíntota vertical en $x=0$; se marca el punto fijo $(1,0)$; se calculan puntos adicionales como $(2,1)$, $(4,2)$ y $(0{,}5,-1)$; finalmente se une todo con una curva creciente que se aplana a medida que $x$ crece.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Dibuja la asíntota vertical en $x=0$ como línea guía (no forma parte de la curva).
- Paso 2: Marca el punto fijo $(1,0)$, común a toda función logarítmica.
- Paso 3: Calcula 2 o 3 puntos adicionales evaluando la función en valores de $x$ mayores y menores que $1$.
- Paso 4: Une los puntos con una curva suave, creciente si $b>1$ o decreciente si $0<b<1$, sin cruzar la asíntota.
Ejemplos
1 Describe los elementos clave para graficar $f(x)=\log_2(x)$.
- Asíntota vertical en $x=0$, punto fijo $(1,0)$ y base $b=2>1$, por lo que la curva es creciente.
- {'Puntos de apoyo': '$(2,1)$, $(4,2)$ y $(0{,}5,-1)$.'}
2 Describe los elementos clave para graficar $f(x)=\log_{0,5}(x)$.
- Asíntota vertical en $x=0$, punto fijo $(1,0)$ y base $b=0{,}5<1$, por lo que la curva es decreciente.
- {'Puntos de apoyo': '$(2,-1)$, $(4,-2)$ y $(0{,}5,1)$.'}
3 ¿Todas las funciones $f(x)=\log_b(x)$ pasan por el punto $(1,0)$ sin importar la base?
- $\log_b(1)=0$ se cumple para cualquier base válida $b$.
4 ¿La curva de $f(x)=\log_b(x)$ llega a cruzar la asíntota vertical en algún punto?
- La asíntota vertical representa un límite que la curva se aproxima pero nunca alcanza.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Dibujar la curva cruzando el eje $y$, ignorando la asíntota vertical."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar marcar el punto fijo $(1,0)$ como referencia obligatoria."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Trazar una curva creciente cuando $0<b<1$, invirtiendo la monotonía real."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Extender la curva hacia valores de $x$ negativos o iguales a cero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ es una curva definida solo para $x>0$, con asíntota vertical en $x=0$, que pasa siempre por $(1,0)$ y es creciente si $b>1$ o decreciente si $0<b<1$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué elemento NO forma parte de la gráfica de $f(x)=\log_b(x)$?
$x=0$ no pertenece al dominio, así que ningún punto de la curva está ahí.
Respuesta: A) Un punto en $x=0$
-
Toda gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ pasa por el punto $(1,0)$.
Es una propiedad común a toda base válida.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué determina si la curva de $f(x)=\log_b(x)$ es creciente o decreciente?
Si $b>1$ es creciente; si $0<b<1$ es decreciente.</p>
Respuesta: A) El valor de la base $b$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La gráfica de $f(x)=\log_2(x)$ se aproxima al eje $y$ sin tocarlo.
Refleja la asíntota vertical en $x=0$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es el primer paso para graficar $f(x)=\log_3(x)$?
Es la guía inicial antes de ubicar puntos de la curva.
Respuesta: A) Trazar la asíntota vertical en $x=0$
-
La curva de $f(x)=\log_{0,5}(x)$ pasa por el punto $(2,-1)$.
$\log_{0,5}(2)=-1$, porque $0{,}5^{-1}=2$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué puntos conviene calcular para trazar $f(x)=\log_2(x)$?
Son puntos de apoyo obtenidos evaluando la función logarítmica.
Respuesta: A) $(1,0)$, $(2,1)$ y $(0{,}5,-1)$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
La gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ es simétrica respecto al eje $x$ para bases recíprocas $b$ y $1/b$.
$\log_{1/b}(x)=-\log_b(x)$, lo que produce una reflexión respecto al eje $x$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el error frecuente al trazar la gráfica de una función logarítmica?
El dominio excluye $x\leq0$, así que la curva no puede extenderse ahí.
Respuesta: A) Extender la curva hacia valores de $x$ negativos
-
¿Qué comportamiento describe correctamente la gráfica de $f(x)=\log_{0,2}(x)$?
Reúne las tres propiedades estudiadas: monotonía según la base, asíntota vertical y punto fijo.
Respuesta: A) Decreciente, con asíntota vertical en $x=0$ y pasando por $(1,0)$