Construcción de la gráfica de la función logarítmica según su base
Resumen inicial
La construcción de la gráfica de la función logarítmica requiere ubicar la asíntota vertical, el intercepto con el eje $x$ en $(1, 0)$ y el punto nodal $(b, 1)$.
Explicación en palabras simples
Para dibujar la curva de una función logarítmica básica en el plano cartesiano, seguimos tres pasos sencillos: primero marcamos la línea vertical asíntota en el eje $y$ (recta $x = 0$); segundo ubicamos el punto clave por donde siempre pasa la curva en el suelo, que es el par $(1, 0)$; y tercero marcamos el punto $(b, 1)$ a la altura 1. Luego unimos estos puntos con una curva suave que bordea la línea vertical sin tocarla.
Explicación formal
Definición formal
El trazado cartesiano de la función logarítmica $f(x) = a \cdot \log_b(cx + d) + k$ es la representación geométrica continua del conjunto ordenado de puntos $G = \{(x, f(x)) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in \operatorname{Dom}(f)\}$ definido por los elementos notables:
1. Asíntota Vertical: Recta $x = -\frac{d}{c}$.
2. Punto Nodal de Abscisa 1: $P_1 = (1, 0)$ para la forma básica $f(x) = \log_b(x)$.
3. Punto Nodal de la Base: $P_b = (b, 1)$ para la forma básica $f(x) = \log_b(x)$.
4. Punto Nodal Recíproco: $P_{1/b} = \left(\frac{1}{b}, -1\right)$ para la forma básica.
Desglose simbólico
- Trazado para $b > 1$: Curva naciente en $-\infty$ que bordea $x = 0$, atraviesa $(1, 0)$, pasa por $(b, 1)$ y diverge suavemente a $+\infty$.
- Trazado para $0 < b < 1$: Curva naciente en $+\infty$ que bordea $x = 0$, atraviesa $(1, 0)$, pasa por $(b, 1)$ y desciende hacia $-\infty$.
Síntesis didáctica
Técnica de los tres puntos pivote para graficar $\log_b(x)$:
- $x = 1/b \implies y = -1$
- $x = 1 \implies y = 0$
- $x = b \implies y = 1$
La alternativa correcta es '$(6, 1)$'. Al evaluar $x = b = 6$, $f(6) = \log_6(6) = 1$, determinando el punto nodal $(6, 1)$.
Definiciones clave
- Trazado logarítmico: Representación continua y suave de la función logarítmica en el plano cartesiano.
- Puntos nodales pivote: Conjunto de pares ordenados $\{(1/b, -1), (1, 0), (b, 1)\}$ que determinan la curvatura.
- Eje asíntota $x = 0$: Eje vertical que marca el límite izquierdo del gráfico para la función básica.
Propiedades y relaciones importantes
- Simetría respecto a $y = x$: Todo punto $(x_0, y_0)$ de la gráfica logarítmica corresponde exactamente al punto $(y_0, x_0)$ de la gráfica exponencial $y = b^x$.
- Invariancia por la base: El punto $(1, 0)$ pertenece a todas las gráficas logarítmicas de la forma $y = \log_b(x)$.
Ejemplo guiado
Construye el esquema gráfico de la función logarítmica $f(x) = \log_2(x)$, identificando la asíntota vertical y sus tres puntos pivote fundamentales.
- Paso 1: Identificamos la asíntota vertical en la recta $x = 0$ (el eje $y$).
- Paso 2: Evaluamos el punto nodal de abscisa 1: $x = 1 \implies f(1) = \log_2(1) = 0 \implies (1, 0)$.
- Paso 3: Evaluamos el punto nodal de la base: $x = 2 \implies f(2) = \log_2(2) = 1 \implies (2, 1)$.
- Paso 4: Evaluamos el punto recíproco: $x = 1/2 = 0.5 \implies f(0.5) = \log_2(2^{-1}) = -1 \implies (0.5, -1)$.
- Paso 5: Trazamos la curva suave continua partiendo desde $-\infty$ pegada al eje $y$, pasando por $(0.5, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$ y ascendiendo hacia la derecha.
La alternativa correcta es '$(5, -1)$, $(1, 0)$ y $(0.2, 1)$'. Evaluamos: $g(0.2) = \log_{0.2}(0.2) = 1$, $g(1) = 0$, y $g(5) = \log_{0.2}(0.2^{-1}) = -1$.
Procedimiento
- Paso 1: Trazar la asíntota vertical en la recta $x = 0$ (o $x = -d/c$ si está trasladada).
- Paso 2: Marcar el intercepto con el eje $x$ en el punto $(1, 0)$.
- Paso 3: Marcar el punto nodal de la base en $(b, 1)$ y el recíproco en $(1/b, -1)$.
- Paso 4: Unir los puntos trazados con una curva suave continua respetando la asíntota vertical.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Dibujar la gráfica de la función logarítmica atravesando el eje $y$. Cómo corregirlo: El eje $y$ (recta $x = 0$) es una asíntota vertical infranqueable. La gráfica debe bordearla sin tocarla ni cruzarla jamás.
- Error 2: Unir los puntos nodales mediante segmentos rectos en zigzag. Cómo corregirlo: La función logarítmica es una curva continua de curvatura suave permanente. Debe dibujarse con trazo curvo uniforme.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Para $x = 1/3 \implies f(1/3) = -1$.
- Para $x = 1 \implies f(1) = 0$.
- Para $x = 3 \implies f(3) = 1$.
- La asíntota es el eje $y$, de ecuación cartesiana $x = 0$.
- Sí. $\ln(e) = 1$, determinando el punto $(e, 1)$.
- Sí. Como son funciones inversas, invierte los pares $(0, 1) \to (1, 0)$, $(1, 2) \to (2, 1)$, $(2, 4) \to (4, 2)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Esbozar y reconocer la gráfica cartesiana de la función logarítmica según el valor de su base.
Trazar la asíntota vertical, el intercepto $(1,0)$ y el punto clave $(b,1)$ identificando su monotonía.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué elemento NO forma parte de la gráfica de $f(x)=\log_b(x)$?
$x=0$ no pertenece al dominio, así que ningún punto de la curva está ahí.
Respuesta: A) Un punto en $x=0$
-
Toda gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ pasa por el punto $(1,0)$.
Es una propiedad común a toda base válida.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué determina si la curva de $f(x)=\log_b(x)$ es creciente o decreciente?
Si $b>1$ es creciente; si $0<b<1$ es decreciente.</p>
Respuesta: A) El valor de la base $b$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La gráfica de $f(x)=\log_2(x)$ se aproxima al eje $y$ sin tocarlo.
Refleja la asíntota vertical en $x=0$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es el primer paso para graficar $f(x)=\log_3(x)$?
Es la guía inicial antes de ubicar puntos de la curva.
Respuesta: A) Trazar la asíntota vertical en $x=0$
-
La curva de $f(x)=\log_{0,5}(x)$ pasa por el punto $(2,-1)$.
$\log_{0,5}(2)=-1$, porque $0{,}5^{-1}=2$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué puntos conviene calcular para trazar $f(x)=\log_2(x)$?
Son puntos de apoyo obtenidos evaluando la función logarítmica.
Respuesta: A) $(1,0)$, $(2,1)$ y $(0{,}5,-1)$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
La gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ es simétrica respecto al eje $x$ para bases recíprocas $b$ y $1/b$.
$\log_{1/b}(x)=-\log_b(x)$, lo que produce una reflexión respecto al eje $x$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el error frecuente al trazar la gráfica de una función logarítmica?
El dominio excluye $x\leq0$, así que la curva no puede extenderse ahí.
Respuesta: A) Extender la curva hacia valores de $x$ negativos
-
¿Qué comportamiento describe correctamente la gráfica de $f(x)=\log_{0,2}(x)$?
Reúne las tres propiedades estudiadas: monotonía según la base, asíntota vertical y punto fijo.
Respuesta: A) Decreciente, con asíntota vertical en $x=0$ y pasando por $(1,0)$