Cálculo del intercepto de la función logarítmica con el eje X
Resumen inicial
El cálculo del intercepto de la función logarítmica con el eje $X$ determina el punto cartesiano $(x_0, 0)$ donde la curva corta al eje horizontal, obtenido al resolver $f(x) = 0 \Longleftrightarrow \operatorname{Arg}(x) = 1$, siendo el punto canónico universal $(1, 0)$ para funciones básicas.
Explicación en palabras simples
El intercepto con el eje horizontal $X$ es el lugar donde la altura de la curva es cero ($y = 0$):
$$\log_b(x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = b^0 = \mathbf{1} \quad \implies \quad P_X(\mathbf{1, 0})$$
- ¿Por qué pasa siempre por $(1, 0)$?
- Porque cualquier base elevada a cero da 1 ($b^0 = 1$).
- $\log_2(1) = 0, \quad \log_{10}(1) = 0, \quad \ln(1) = 0, \quad \log_{0,5}(1) = 0$.
- ¿Y si la función está trasladada?
- Solo igualas el argumento a 1: en $f(x) = \log_3(x - 4)$, haces $x - 4 = 1 \implies x = 5 \implies (5, 0)$.
Explicación formal
Sea $f(x) = a \log_b(g(x)) + k$ con $a \neq 0$. El intercepto con el eje de abscisas se define como el conjunto de ceros o raíces $\mathcal{Z}(f) = \{x \in \operatorname{Dom}(f) \mid f(x) = 0\}$:
$$a \log_b(g(x)) + k = 0 \implies \log_b(g(x)) = -\frac{k}{a} \implies g(x) = b^{-k/a}$$
Caso elemental ($a = 1, k = 0, g(x) = x$):
$$\log_b(x) = 0 \Longleftrightarrow x = b^0 = 1 \implies P_X(1, 0)$$
Este punto $P_0(1, 0)$ es el cero invariante universal de todas las funciones logarítmicas canónicas.
La alternativa correcta es '(1, 0)'. Como $\ln(1) = 0$, el punto de corte con el eje horizontal es exactamente $(1, 0)$.
Definiciones clave
- Intercepto con el eje $X$ / Cero canónico: Punto $(1, 0)$ donde la función logarítmica básica cruza el eje de abscisas.
- Ecuación de raíz: Condición $f(x) = 0$ que produce el corte horizontal.
Propiedades y relaciones importantes
- Punto pivote universal: Todas las funciones logarítmicas básicas $y = \log_b(x)$ se cortan mutuamente en $(1, 0)$.
- Dualidad con la exponencial: La exponencial corta al eje $Y$ en $(0, 1)$; el logaritmo corta al eje $X$ en $(1, 0)$.
Ejemplo guiado
Calcula el intercepto con el eje $X$ de las siguientes funciones:
1) $f(x) = \log_6(x)$
2) $g(x) = \log_2(x - 5)$
3) $h(x) = 2\log_3(x + 1) - 4$
- Paso 1: Para $f(x) = \log_6(x)$: - $\log_6(x) = 0 \implies x = 6^0 = 1$. - **Punto: $\mathbf{(1, 0)}$**.
- Paso 2: Para $g(x) = \log_2(x - 5)$: - $x - 5 = 1 \implies x = 6$. - **Punto: $\mathbf{(6, 0)}$**.
- Paso 3: Para $h(x) = 2\log_3(x + 1) - 4$: - $2\log_3(x + 1) = 4 \implies \log_3(x + 1) = 2$. - $x + 1 = 3^2 = 9 \implies x = 8$. - **Punto: $\mathbf{(8, 0)}$**.
La alternativa correcta es '(-2, 0) (porque x + 3 = 1 ⟹ x = -2)'. El argumento debe ser igual a 1 para que el logaritmo se anule: $x + 3 = 1 \implies x = -2$.
Procedimiento
- Paso 1: Plantear la ecuación $f(x) = 0$.
- Paso 2: Despejar el término logarítmico $\log_b(g(x)) = c$.
- Paso 3: Pasar a forma exponencial $g(x) = b^c$ y despejar la incógnita $x_0$.
- Paso 4: Escribir las coordenadas del intercepto como $(x_0, 0)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Confundir las coordenadas escribiendo $(0, 1)$ en lugar de $(1, 0)$.
- Cómo corregirlo: En el eje $X$, la altura es CERO ($y = 0$): el punto es $(1, 0)$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $\log_{10}(1) = 0 \implies (1, 0)$.
- Paso 1: $x - 9 = 1 \implies x = 10 \implies (10, 0)$.
- Paso 1: $\log_3(x) = 2 \implies x = 3^2 = 9 \implies (9, 0)$.
- Paso 1: $(1/3)^0 = 1 \implies (1, 0)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular e interpretar el intercepto de la función logarítmica con el eje X.
Resolviendo f(x) = 0 para determinar las coordenadas del punto de corte (x₀, 0).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_b(x)$?
Como $\log_b(1)=0$ para cualquier base, la curva siempre pasa por $(1,0)$.
Respuesta: A) $(1,0)$
-
El intercepto en $x$ de una función logarítmica depende de la base $b$.
El punto $(1,0)$ se cumple para toda base válida.
Respuesta: Falso
-
¿Por qué $f(1)=0$ para cualquier función logarítmica $f(x)=\log_b(x)$?
Esa igualdad se cumple sin importar el valor de $b$.
Respuesta: A) Porque $b^0=1$ para cualquier base
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$(1,0)$ pertenece a la gráfica de $f(x)=\log_{7}(x)$.
$\log_7(1)=0$, por lo que el punto pertenece a la curva.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_2(x)+3$.
Se resuelve $\log_2(x)+3=0$, es decir $\log_2(x)=-3$, luego $x=2^{-3}=1/8$.
Respuesta: A) $(1/8,0)$
-
Una función logarítmica siempre tiene exactamente un intercepto con el eje $x$.
Al ser estrictamente monótona, $f(x)=0$ tiene una única solución.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_3(x-2)$.
Se exige $x-2=1$, obteniendo $x=3$.
Respuesta: A) $(3,0)$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular el intercepto en $x$?
Es un error común confundir el orden de las coordenadas del punto fijo.
Respuesta: A) Ubicarlo en $(0,1)$ en lugar de $(1,0)$
-
El intercepto en $x$ de $f(x)=\log_b(x-c)$ se traslada junto con el desplazamiento horizontal.
El intercepto ocurre donde el argumento vale $1$, que se traslada según $c$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_4(x+3)$?
Se exige $x+3=1$, obteniendo $x=-2$.
Respuesta: A) $(-2,0)$