Cálculo del intercepto de la función logarítmica con el eje X
Resumen inicial
El intercepto con el eje $x$ de la función logarítmica básica es el punto $(1, 0)$, obtenido al resolver la ecuación $f(x) = 0$.
Explicación en palabras simples
Para averiguar en qué lugar exacto la curva de una función logarítmica cruza la línea horizontal del eje $x$, debemos buscar para qué valor de $x$ el resultado de la función da cero ($y = 0$). En la función básica $f(x) = \log_b(x)$, sabemos que cualquier base elevada a cero da 1 ($b^0 = 1$). Por eso, la curva cruza el eje $x$ obligatoriamente en el punto de coordenadas $(1, 0)$.
Explicación formal
Definición formal
En la función logarítmica $f(x) = a \cdot \log_b(cx + d) + k$, el intercepto con el eje de las abscisas (eje $x$) es el par ordenado $(x_0, 0)$ donde la ordenada se anula:
$$f(x_0) = 0 \iff a \cdot \log_b(cx_0 + d) + k = 0$$
Para la función mónica básica $f(x) = \log_b(x)$:
$$\log_b(x_0) = 0 \iff b^0 = x_0 \implies x_0 = 1 \implies P_x = (1, 0)$$
Desglose simbólico
- Unicidad del corte: Dado que $f(x)$ es strictly monótona en todo su dominio, existe un único punto de intersección con el eje $x$.
- Independencia de la base $b$: El punto $(1, 0)$ es invariante respecto al valor de la base $b$. Las funciones $f(x) = \log_2(x)$, $g(x) = \log_{10}(x)$ y $h(x) = \ln(x)$ cruzan el eje $x$ exactamente en el mismo punto $(1, 0)$.
- Intercepto para la forma trasladada general:
$$a \log_b(cx + d) + k = 0 \implies \log_b(cx + d) = -\frac{k}{a} \implies cx + d = b^{-\frac{k}{a}} \implies x = \frac{b^{-k/a} - d}{c}$$
Síntesis didáctica
Diferenciar corte en $x$ de corte en $y$: La función logarítmica básica $f(x) = \log_b(x)$ posee un único corte con el eje $x$ en $(1, 0)$, y ningún corte con el eje $y$.
La alternativa correcta es '$(1, 0)$'. Evaluamos $f(1) = \ln(1) = 0$, lo que fija la intersección con el eje horizontal en el par $(1, 0)$.
Definiciones clave
- Intercepto con el eje $x$: Punto cartesiano $(x_0, 0)$ donde la gráfica atraviesa el eje horizontal.
- Cero de la función logarítmica: Raíz única $x_0$ de la ecuación $f(x) = 0$.
- Punto común $(1, 0)$: Coordenada de intersección compartida por todas las funciones logarítmicas básicas no trasladadas.
Propiedades y relaciones importantes
- Familia de curvas concurrente: Todas las gráficas de la familia $y = \log_b(x)$ concurren en el punto nodal $(1, 0)$.
- Relación con el intercepto exponencial: El punto $(1, 0)$ de la función logarítmica es la simetría exacta del punto $(0, 1)$ de la función exponencial.
Ejemplo guiado
Calcula el punto de intersección con el eje $x$ para las siguientes funciones logarítmicas: A) $f(x) = \log_4(x)$, B) $g(x) = \log_3(x - 5)$, C) $h(x) = 2 \cdot \log_2(x) - 6$.
- Paso 1: Para $f(x) = \log_4(x)$, igualamos a cero: $\log_4(x) = 0 \implies 4^0 = x \implies x = 1$. Punto: $(1, 0)$.
- Paso 2: Para $g(x) = \log_3(x - 5)$, igualamos a cero: $\log_3(x - 5) = 0 \implies 3^0 = x - 5 \implies 1 = x - 5 \implies x = 6$. Punto: $(6, 0)$.
- Paso 3: Para $h(x) = 2 \cdot \log_2(x) - 6$, igualamos a cero: $2 \log_2(x) = 6 \implies \log_2(x) = 3 \implies 2^3 = x \implies x = 8$. Punto: $(8, 0)$.
La alternativa correcta es '$x = -3$, produciendo el punto $(-3, 0)$'. Igualamos la función a cero: $\log_5(x + 4) = 0 \implies 5^0 = x + 4 \implies 1 = x + 4 \implies x = -3$.
Procedimiento
- Paso 1: Formular la ecuación igualando la función logarítmica a cero: $f(x) = 0$.
- Paso 2: Aislar la expresión logarítmica $\log_b(g(x)) = k$.
- Paso 3: Convertir a forma exponencial $b^k = g(x)$.
- Paso 4: Despejar la variable $x$ y escribir el punto cartesiano $(x, 0)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Afirmar que el intercepto con el eje $x$ ocurre en $(0, 1)$. Cómo corregirlo: El punto $(0, 1)$ pertenece a la función exponencial $y = b^x$. La función logarítmica intercambia las coordenadas, cortando al eje $x$ en $(1, 0)$.
- Error 2: Creer que la traslación horizontal $+d$ dentro del argumento no altera la abscisa de corte. Cómo corregirlo: En $\log_b(x + d) = 0 \implies 1 = x + d \implies x = 1 - d$. El corte se desplaza $d$ unidades a la izquierda.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Igualamos a cero: $\log_9(x) = 0 \implies x = 9^0 = 1$.
- El punto es $(1, 0)$.
- Sí. Igualamos a cero: $\ln(x - 2) = 0 \implies x - 2 = e^0 = 1 \implies x = 3$.
- Sí. En ambas $f(1) = g(1) = 0$, compartiendo el corte $(1, 0)$.
- No. $5 \cdot \log_3(x) = 0 \implies \log_3(x) = 0 \implies x = 1$, manteniendo $(1, 0)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Calcular las coordenadas del intercepto de la gráfica logarítmica con el eje X.
Igualar la función a cero ($f(x) = 0$) y despejar la abscisa $x = 1$ en la forma básica o el valor equivalente transformado.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_b(x)$?
Como $\log_b(1)=0$ para cualquier base, la curva siempre pasa por $(1,0)$.
Respuesta: A) $(1,0)$
-
El intercepto en $x$ de una función logarítmica depende de la base $b$.
El punto $(1,0)$ se cumple para toda base válida.
Respuesta: Falso
-
¿Por qué $f(1)=0$ para cualquier función logarítmica $f(x)=\log_b(x)$?
Esa igualdad se cumple sin importar el valor de $b$.
Respuesta: A) Porque $b^0=1$ para cualquier base
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$(1,0)$ pertenece a la gráfica de $f(x)=\log_{7}(x)$.
$\log_7(1)=0$, por lo que el punto pertenece a la curva.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_3(x-2)$.
Se exige $x-2=1$, obteniendo $x=3$.
Respuesta: A) $(3,0)$
-
Determina el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_2(x)+3$.
Se resuelve $\log_2(x)+3=0$, es decir $\log_2(x)=-3$, luego $x=2^{-3}=1/8$.
Respuesta: A) $(1/8,0)$
-
Una función logarítmica siempre tiene exactamente un intercepto con el eje $x$.
Al ser estrictamente monótona, $f(x)=0$ tiene una única solución.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular el intercepto en $x$?
Es un error común confundir el orden de las coordenadas del punto fijo.
Respuesta: A) Ubicarlo en $(0,1)$ en lugar de $(1,0)$
-
El intercepto en $x$ de $f(x)=\log_b(x-c)$ se traslada junto con el desplazamiento horizontal.
El intercepto ocurre donde el argumento vale $1$, que se traslada según $c$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_4(x+3)$?
Se exige $x+3=1$, obteniendo $x=-2$.
Respuesta: A) $(-2,0)$