Cálculo del intercepto de la función logarítmica con el eje X
Determinar que toda función $f(x)=\log_b(x)$ corta el eje $x$ en el punto $(1,0)$.
Introducción
Sin importar qué base uses, elevar cualquier número a la potencia $0$ siempre da $1$. Esa propiedad fija un punto que todas las funciones logarítmicas comparten.
Explicación
Definición formal
Para toda función $f(x)=\log_b(x)$ con $b>0$ y $b\neq1$, se cumple $f(1)=\log_b(1)=0$, puesto que $b^0=1$ para cualquier base. Por lo tanto, el punto $(1,0)$ pertenece siempre a la gráfica y es su único intercepto con el eje $x$.
Desarrollo didáctico
Comprueba con distintas bases: $\log_2(1)=0$ porque $2^0=1$; $\log_{10}(1)=0$ porque $10^0=1$; $\log_{0{,}5}(1)=0$ porque $0{,}5^0=1$. El resultado es siempre $0$ cuando el argumento es $1$, así que la curva siempre atraviesa el eje $x$ en ese único punto.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Reconoce que $b^0=1$ se cumple para cualquier base $b>0$, $b\neq1$.
- Paso 2: Evalúa $f(1)=\log_b(1)$ y concluye que su valor es $0$.
- Paso 3: Ubica el punto $(1,0)$ como el intercepto de la gráfica con el eje $x$.
Ejemplos
1 Determina el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_3(x)$.
- Se evalúa $f(1)=\log_3(1)$.
- Como $3^0=1$, entonces $\log_3(1)=0$, por lo que el intercepto es $(1,0)$.
2 Verifica que $(1,0)$ pertenece a la gráfica de $f(x)=\log_{0{,}25}(x)$.
- {'Se reemplaza $x=1$ en la función': '$f(1)=\\log_{0{,}25}(1)$.'}
- Como $0{,}25^0=1$, se cumple $f(1)=0$, así que $(1,0)$ pertenece a la gráfica.
3 ¿El punto $(1,0)$ pertenece a la gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ para cualquier base válida $b$?
- $b^0=1$ se cumple para cualquier base $b>0$, $b\neq1$, así que $\log_b(1)=0$ siempre.
4 ¿Puede $f(x)=\log_b(x)$ cortar el eje $x$ en más de un punto?
- La función logarítmica es estrictamente creciente o decreciente, así que $f(x)=0$ tiene una sola solución.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que el intercepto en $x$ depende del valor de la base $b$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el intercepto en $x$ de la logarítmica con el intercepto en $y$ de la exponencial."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular mal $b^0$ y suponer que el resultado varía según la base."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Ubicar el punto en $(0,1)$ en lugar de $(1,0)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La gráfica de $f(x)=\log_b(x)$ tiene un único **intercepto en el eje $x$** en el punto $(1,0)$, porque $\log_b(1)=0$ para cualquier base válida $b$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_b(x)$?
Como $\log_b(1)=0$ para cualquier base, la curva siempre pasa por $(1,0)$.
Respuesta: A) $(1,0)$
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El intercepto en $x$ de una función logarítmica depende de la base $b$.
El punto $(1,0)$ se cumple para toda base válida.
Respuesta: Falso
-
¿Por qué $f(1)=0$ para cualquier función logarítmica $f(x)=\log_b(x)$?
Esa igualdad se cumple sin importar el valor de $b$.
Respuesta: A) Porque $b^0=1$ para cualquier base
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$(1,0)$ pertenece a la gráfica de $f(x)=\log_{7}(x)$.
$\log_7(1)=0$, por lo que el punto pertenece a la curva.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Determina el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_3(x-2)$.
Se exige $x-2=1$, obteniendo $x=3$.
Respuesta: A) $(3,0)$
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Determina el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_2(x)+3$.
Se resuelve $\log_2(x)+3=0$, es decir $\log_2(x)=-3$, luego $x=2^{-3}=1/8$.
Respuesta: A) $(1/8,0)$
-
Una función logarítmica siempre tiene exactamente un intercepto con el eje $x$.
Al ser estrictamente monótona, $f(x)=0$ tiene una única solución.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al calcular el intercepto en $x$?
Es un error común confundir el orden de las coordenadas del punto fijo.
Respuesta: A) Ubicarlo en $(0,1)$ en lugar de $(1,0)$
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El intercepto en $x$ de $f(x)=\log_b(x-c)$ se traslada junto con el desplazamiento horizontal.
El intercepto ocurre donde el argumento vale $1$, que se traslada según $c$.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el intercepto en $x$ de $f(x)=\log_4(x+3)$?
Se exige $x+3=1$, obteniendo $x=-2$.
Respuesta: A) $(-2,0)$