Análisis del decrecimiento de la función logarítmica para bases entre cero y uno
Reconocer que $f(x)=\log_b(x)$ es decreciente cuando la base cumple $0<b<1$.
Introducción
Cuando la base de un logaritmo es una fracción entre $0$ y $1$, el comportamiento se invierte respecto del caso $b>1$: a medida que el argumento crece, el valor del logaritmo disminuye.
Explicación
Definición formal
Si $0<b<1$, entonces para todo par $x_1,x_2\in\mathbb{R}^+$ con $x_1<x_2$ se cumple $\log_b(x_1)>\log_b(x_2)$; es decir, $f(x)=\log_b(x)$ es estrictamente decreciente en todo su dominio.
Desarrollo didáctico
Con $b=0{,}5$: $\log_{0{,}5}(1)=0$, $\log_{0{,}5}(2)=-1$, $\log_{0{,}5}(4)=-2$, $\log_{0{,}5}(8)=-3$. Cada vez que $x$ se duplica, $f(x)$ disminuye en $1$ unidad; el valor de la función baja de forma sostenida a medida que el argumento aumenta.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la base $b$ cumple $0<b<1$.
- Paso 2: Evalúa la función en al menos dos valores crecientes de $x$.
- Paso 3: Compara los resultados y confirma que $f(x)$ disminuye cuando $x$ aumenta.
Ejemplos
1 Compara $\log_{0{,}5}(2)$ y $\log_{0{,}5}(8)$ para $f(x)=\log_{0{,}5}(x)$.
- Se calcula $\log_{0{,}5}(2)=-1$ y $\log_{0{,}5}(8)=-3$.
- Como $8>2$ y $-3<-1$, se confirma que la función es decreciente.
2 Determina si $f(x)=\log_{1/3}(x)$ es decreciente evaluando $x=3$ y $x=9$.
- Se calcula $\log_{1/3}(3)=-1$ y $\log_{1/3}(9)=-2$.
- Como $9>3$ y $-2<-1$, la función efectivamente decrece.
3 ¿La función $f(x)=\log_{0{,}2}(x)$ es decreciente en todo su dominio?
- La base $0{,}2$ cumple $0<b<1$, condición suficiente para que la función sea decreciente.
4 ¿Existe alguna base $b$ con $0<b<1$ para la cual $f(x)=\log_b(x)$ sea creciente?
- Toda base que cumple $0<b<1$ produce necesariamente una función decreciente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Suponer que una base fraccionaria hace que la función "crezca menos" en vez de decrecer."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el comportamiento decreciente de $0<b<1$ con el creciente de $b>1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la restricción $b\neq1$ excluye el caso donde la función sería constante."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la regla de decrecimiento sin antes verificar que $0<b<1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $0<b<1$, la función $f(x)=\log_b(x)$ es **estrictamente decreciente**: a mayor $x$, menor es $f(x)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si $0<b<1$, ¿cómo es $f(x)=\log_b(x)$?</p>
Con base entre $0$ y $1$, a mayor $x$, menor es el valor del logaritmo.
Respuesta: A) Estrictamente decreciente
-
$f(x)=\log_{0,5}(x)$ es decreciente en todo su dominio.
La base $0{,}5$ cumple $0<b<1$.</p>
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué signo tiene $\log_{0,5}(x)$ para $x>1$?
Con base entre $0$ y $1$, valores del argumento mayores que $1$ producen resultados negativos.
Respuesta: A) Negativo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=\log_{0,2}(x)$ toma valores menores a medida que $x$ aumenta.
Cumple el comportamiento decreciente propio de $0<b<1$.</p>
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Compara $\log_{0,5}(2)$ y $\log_{0,5}(8)$.
$\log_{0,5}(2)=-1$ y $\log_{0,5}(8)=-3$, confirmando el decrecimiento.
Respuesta: A) $\log_{0,5}(8)<\log_{0,5}(2)$
-
¿Cuál base garantiza que $f(x)=\log_b(x)$ sea decreciente?
Es la única opción que cumple $0<b<1$.</p>
Respuesta: A) $b=0{,}25$
-
Para verificar que $f(x)=\log_b(x)$ es decreciente basta con comprobar que $0<b<1$.</p>
Esa condición sobre la base es suficiente para garantizar el decrecimiento.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al analizar bases entre $0$ y $1$?
Es un error común no invertir el comportamiento al cambiar de $b>1$ a $0<b<1$.</p>
Respuesta: A) Suponer que la función sigue siendo creciente
-
Existe alguna base $b$ con $0<b<1$ para la cual $f(x)=\log_b(x)$ sea creciente.</p>
Toda base que cumple $0<b<1$ produce necesariamente una función decreciente.</p>
Respuesta: Falso
-
¿Qué relación de orden se cumple si $x_1<x_2$ y $0<b<1$ en $f(x)=\log_b(x)$?</p>
Es la definición misma de función estrictamente decreciente.
Respuesta: A) $f(x_1)>f(x_2)$