Análisis del decrecimiento de la función logarítmica para bases entre cero y uno
Resumen inicial
El análisis del decrecimiento de la función logarítmica para bases entre cero y uno ($0 < b < 1$) establece que $f(x) = \log_b(x)$ es estrictamente decreciente en todo su dominio $]0, +\infty[$, siendo positiva en $]0, 1[$, nula en $(1, 0)$ y negativa en $]1, +\infty[$.
Explicación en palabras simples
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Cuando la base es una fracción propia o decimal entre 0 y 1 ($0 < b < 1$, como $1/2, 0,2, 1/3$):
$$\mathbf{0 < b < 1} \quad \implies \quad f(x) = \log_b(x) \quad \text{es } \mathbf{\text{ESTRICTAMENTE DECRECIENTE (\searrow)}}$$
- El comportamiento de la curva invertida:
- En $]0, 1[$ (valores pequeños): La curva proviene desde lo más alto ($+\infty$) con valores positivos pegada a la asíntota $x = 0$.
- En $x = 1$: Cruza el eje horizontal en el punto canónico $(1, 0)$.
- En $]1, +\infty[$ (valores grandes): Se vuelve negativa y sigue cayendo hacia $-\infty$.
- El truco de la reflexión: $\log_{1/b}(x) = -\log_b(x)$. Por ejemplo, $\log_{1/2}(x) = -\log_2(x)$, ¡es el reflejo de cabeza de la base 2!
Explicación formal
Sea $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ con $f(x) = \log_b(x)$ y $0 < b < 1$.
Propiedades diferenciales y de monotonía:
1. Derivada estrictamente negativa: Como $0 < b < 1 \implies \ln(b) < 0$. Para todo $x > 0$:
$$f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)} < 0$$
Por el criterio de monotonía, $f$ es estrictamente decreciente en $]0, +\infty[$.
2. Convexidad: La segunda derivada es estrictamente positiva:
$$f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln(b)} > 0$$
Por tanto, la función es convexa hacia arriba.
3. Signos de la función:
- $x \in ]0, 1[ \implies f(x) > 0$.
- $x = 1 \implies f(1) = 0$.
- $x \in ]1, +\infty[ \implies f(x) < 0$.
La alternativa correcta es 'Negativo (la curva está por debajo del eje X)'. Para bases entre 0 y 1 con argumentos mayores que 1, el resultado del logaritmo es negativo.
Definiciones clave
- Monotonía decreciente: Condición $x_1 < x_2 \implies \log_b(x_1) > \log_b(x_2)$ para $0 < b < 1$.
- Identidad de base recíproca: $\log_{1/b}(x) = -\log_b(x)$, que representa una reflexión geométrica respecto al eje $X$.
Propiedades y relaciones importantes
- Comportamiento asintótico: $\lim_{x \to 0^+} \log_b(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to +\infty} \log_b(x) = -\infty$.
- Simetría especular con base inversa: La gráfica de $\log_{1/2}(x)$ es idéntica a la de $\log_2(x)$ reflejada verticalmente.
Ejemplo guiado
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Dada la función $f(x) = \log_{1/3}(x)$:
1) Demuestra su monotonía decreciente.
2) Evalúa $f(1/9)$, $f(1)$ y $f(27)$.
3) Describe su comportamiento en los extremos del dominio.
- Paso 1: Como la base $b = 1/3 \in ]0, 1[$, la función es estrictamente decreciente.
- Paso 2: Evaluaciones puntuales: - $f(1/9) = \log_{1/3}((1/3)^2) = \mathbf{2 > 0}$ (positivo en $]0, 1[$). - $f(1) = \log_{1/3}(1) = \mathbf{0}$ (cero en $x = 1$). - $f(27) = \log_{1/3}((1/3)^{-3}) = \mathbf{-3 < 0}$ (negativo en $]1, +\infty[$).
- Paso 3: Extremos del dominio: - Cuando $x \to 0^+$, $f(x) \to +\infty$ (asciende pegada al eje $Y$). - Cuando $x \to +\infty$, $f(x) \to -\infty$ (desciende sin cota inferior).
La alternativa correcta es '-log₂(x) (la reflexión de log₂(x) respecto al eje X)'. $\log_{1/2}(x) = \log_{2^{-1}}(x) = -\log_2(x)$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar que la base $b$ cumpla la condición $0 < b < 1$.
- Paso 2: Declarar la función como estrictamente decreciente en todo su dominio $]0, +\infty[$.
- Paso 3: Identificar valores positivos en $]0, 1[$, corte en $(1, 0)$ y valores negativos en $]1, +\infty[$.
- Paso 4: Trazar la curva convexa descendiendo desde $+\infty$ hacia $-\infty$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Creer que porque la base es una fracción, la función no puede dar valores positivos.
- Cómo corregirlo: Para $x \in ]0, 1[$, el logaritmo con base fraccionaria es estrictamente POSITIVO: $\log_{1/2}(0,25) = \mathbf{+2}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $0{,}4 \in ]0, 1[ \implies$ estrictamente decreciente.
- Paso 1: $(1/2)^{-4} = 2^4 = 16 \implies -4$.
- Paso 1: $(1/5)^3 = 1/125 \implies 3$.
- Paso 1: La curva diverge hacia $+\infty$ cuando $x \to 0^+$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
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Analizar y fundamentar el decrecimiento de la función logarítmica para bases entre cero y uno.
Utilizando la condición 0 < b < 1 para explicar su monotonía decreciente y su simetría con -log_(1/b)(x).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si $0<b<1$, ¿cómo es $f(x)=\log_b(x)$?</p>
Con base entre $0$ y $1$, a mayor $x$, menor es el valor del logaritmo.
Respuesta: A) Estrictamente decreciente
-
$f(x)=\log_{0,5}(x)$ es decreciente en todo su dominio.
La base $0{,}5$ cumple $0<b<1$.</p>
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué signo tiene $\log_{0,5}(x)$ para $x>1$?
Con base entre $0$ y $1$, valores del argumento mayores que $1$ producen resultados negativos.
Respuesta: A) Negativo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=\log_{0,2}(x)$ toma valores menores a medida que $x$ aumenta.
Cumple el comportamiento decreciente propio de $0<b<1$.</p>
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Compara $\log_{0,5}(2)$ y $\log_{0,5}(8)$.
$\log_{0,5}(2)=-1$ y $\log_{0,5}(8)=-3$, confirmando el decrecimiento.
Respuesta: A) $\log_{0,5}(8)<\log_{0,5}(2)$
-
¿Cuál base garantiza que $f(x)=\log_b(x)$ sea decreciente?
Es la única opción que cumple $0<b<1$.</p>
Respuesta: A) $b=0{,}25$
-
Para verificar que $f(x)=\log_b(x)$ es decreciente basta con comprobar que $0<b<1$.</p>
Esa condición sobre la base es suficiente para garantizar el decrecimiento.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al analizar bases entre $0$ y $1$?
Es un error común no invertir el comportamiento al cambiar de $b>1$ a $0<b<1$.</p>
Respuesta: A) Suponer que la función sigue siendo creciente
-
Existe alguna base $b$ con $0<b<1$ para la cual $f(x)=\log_b(x)$ sea creciente.</p>
Toda base que cumple $0<b<1$ produce necesariamente una función decreciente.</p>
Respuesta: Falso
-
¿Qué relación de orden se cumple si $x_1<x_2$ y $0<b<1$ en $f(x)=\log_b(x)$?</p>
Es la definición misma de función estrictamente decreciente.
Respuesta: A) $f(x_1)>f(x_2)$