Análisis del decrecimiento de la función logarítmica para bases entre cero y uno

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

El decrecimiento logarítmico ocurre cuando la base satisface $0 < b < 1$, haciendo que la gráfica baje desde $+\infty$ cerca del eje $y$ y descienda hacia $-\infty$ a la derecha.

Explicación en palabras simples

Cuando la base de una función logarítmica es una fracción comprimida entre 0 y 1 (como $b = 0.5$ o $b = 0.1$), la curva de la función va bajando de izquierda a derecha. Cerca del eje vertical $y$ (para valores de $x$ muy pequeños cercanos a cero), la curva proviene de alturas gigantescas positivas ($+\infty$). Tras cruzar el eje horizontal en el punto $(1, 0)$, la curva continúa cayendo hacia abajo en los números negativos.

Explicación formal

Definición formal

Para una función logarítmica mónica $f(x) = \log_b(x)$, la condición de la base $0 < b < 1$ define un modelo estrictamente decreciente en todo su dominio $]0, +\infty[$ caracterizado por:
$$\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}^+, \quad x_1 < x_2 \implies \log_b(x_1) > \log_b(x_2)$$
con derivada primera estrictamente negativa:
$$f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)} < 0 \quad (\text{dado que } x > 0 \text{ y } \ln(b) < 0 \text{ para } 0 < b < 1)$$

Desglose simbólico

  • Comportamiento asintótico a la izquierda: $\lim_{x \to 0^+} \log_b(x) = +\infty$. La recta $x = 0$ es asíntota vertical por la derecha.
  • Comportamiento divergente a la derecha: $\lim_{x \to +\infty} \log_b(x) = -\infty$.
  • Concavidad permanente (Cóncava hacia arriba): La derivada segunda $f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln(b)} > 0$ es estrictamente positiva en todo $]0, +\infty[$, mostrando que la curva se suaviza a medida que cae a la derecha.

Síntesis didáctica

Relación de reflexión con la base mayor a 1: La gráfica de decaimiento logarítmico $f(x) = \log_{0.5}(x)$ es exactamente la gráfica de crecimiento logarítmico $g(x) = \log_2(x)$ reflejada patas arriba (reflejada respecto al eje $x$).

Comprueba tu avance ¿Qué sucede con los valores de salida de la función logarítmica $f(x) = \log_{0.2}(x)$ a medida que $x$ se aproxima al origen por la derecha ($x \to 0^+$)?

Definiciones clave

  • Decrecimiento logarítmico ($0 < b < 1$): Descenso monótono continuo de la gráfica a medida que aumenta la variable $x$.
  • Concavidad hacia arriba ($f''(x) > 0$): Curvatura gráfica con forma de copa que desacelera la caída.
  • Divergencia asintótica a $+\infty$: Elevación ilimitada de la curva al aproximarse a la asíntota $x = 0$ por la derecha.

Propiedades y relaciones importantes

  • Identidad de base recíproca: $\log_{1/b}(x) = -\log_b(x)$. Multiplicar por $-1$ invierte el sentido de variación de creciente a decreciente.
  • Invariancia del corte $x$: A pesar de ser decreciente, la curva sigue cruzando el eje $x$ en el punto $(1, 0)$.

Ejemplo guiado

Dada la función logarítmica de decaimiento $f(x) = \log_{0.5}(x)$, evalúa los puntos $x = 0.25, 0.5, 1, 2, 4$ y describe el comportamiento de su gráfica.

  • Paso 1: Evaluamos $f(0.25) = \log_{0.5}((0.5)^2) = 2$. Punto: $(0.25, 2)$.
  • Paso 2: Evaluamos $f(0.5) = \log_{0.5}(0.5) = 1$. Punto: $(0.5, 1)$.
  • Paso 3: Evaluamos $f(1) = \log_{0.5}(1) = 0$. Punto: $(1, 0)$.
  • Paso 4: Evaluamos $f(2) = \log_{0.5}(2^1) = \log_{0.5}((0.5)^{-1}) = -1$. Punto: $(2, -1)$.
  • Paso 5: Evaluamos $f(4) = \log_{0.5}((0.5)^{-2}) = -2$. Punto: $(4, -2)$. La gráfica desciende de forma continua.
Comprueba tu avance ¿Para qué intervalo de la variable $x$ la función de decaimiento logarítmico $f(x) = \log_{0.5}(x)$ arroja valores de salida positivos ($y > 0$)?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar que la base $b$ satisface $0 < b < 1$.
  • Paso 2: Declarar la función logarítmica como estrictamente decreciente.
  • Paso 3: Trazar la asíntota vertical $x = 0$ elevándose a $+\infty$ al acercarse a cero por la derecha.
  • Paso 4: Trazar la curva descendiendo a través de $(1, 0)$ y cayendo suavemente hacia $-\infty$ a la derecha.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Confundir la asíntota de decaimiento logarítmico con la de decaimiento exponencial. Cómo corregirlo: En el decaimiento logarítmico, la asíntota es vertical en $x = 0$ y sube a $+\infty$. En el decaimiento exponencial, la asíntota es horizontal en $y = 0$ a la derecha.
  • Error 2: Creer que una función logarítmica decreciente no puede tomar valores negativos. Cómo corregirlo: Su recorrido es todo $\mathbb{R}$. Para $x > 1$, las salidas de $\log_b(x)$ con $0 < b < 1$ son estrictamente negativas.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿La función $f(x) = \log_{1/4}(x)$ es estrictamente decreciente?
2 Para $f(x) = \log_{0.5}(x)$, ¿evaluar $x = 8$ resulta en $-3$?
3 ¿La gráfica de decaimiento logarítmico $y = \log_{0.2}(x)$ es cóncava hacia arriba?
4 ¿La función $f(x) = -\log_5(x)$ se comporta exactamente como una función logarítmica de decaimiento?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Para $0 < b < 1$, la función logarítmica $f(x) = \log_b(x)$ es estrictamente decreciente y cóncava hacia arriba en todo su dominio $]0, +\infty[$."
"Una función logarítmica con base $0 < b < 1$ no está definida para argumentos mayores que 1."
"La gráfica de decaimiento logarítmico proviene de $+\infty$ en la asíntota vertical $x = 0$, cruza el eje $x$ en $(1, 0)$ y desciende de forma ilimitada hacia $-\infty$ a la derecha."
"La gráfica de la función de decaimiento logarítmico $f(x) = \log_{0.5}(x)$ cruza el eje $x$ en el punto $(0, 1)$."
"La concavidad de la función logarítmica decreciente es cóncava hacia abajo."
"Al acercarse a $x = 0$ por la derecha, la función logarítmica decreciente se aproxima a $-\infty$ e invierte el sentido de los valores."
"Las funciones de decaimiento logarítmico poseen un recorrido restringido a los números reales positivos."

Al terminar debes poder

🎯 QUÉ Objetivo

Analizar el comportamiento decreciente de la función logarítmica cuando $0 < b < 1$.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Comprobar que a mayores valores del argumento $x_2 > x_1 > 0$ se obtienen menores valores de la ordenada $f(x_2) < f(x_1)$, identificando su monotonía, concavidad y asíntota.

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si $0<b<1$, ¿cómo es $f(x)=\log_b(x)$?</p>

  2. $f(x)=\log_{0,5}(x)$ es decreciente en todo su dominio.

  3. ¿Qué signo tiene $\log_{0,5}(x)$ para $x>1$?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. $f(x)=\log_{0,2}(x)$ toma valores menores a medida que $x$ aumenta.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Compara $\log_{0,5}(2)$ y $\log_{0,5}(8)$.

  2. ¿Cuál base garantiza que $f(x)=\log_b(x)$ sea decreciente?

  3. Para verificar que $f(x)=\log_b(x)$ es decreciente basta con comprobar que $0<b<1$.</p>

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al analizar bases entre $0$ y $1$?

  2. Existe alguna base $b$ con $0<b<1$ para la cual $f(x)=\log_b(x)$ sea creciente.</p>

  3. ¿Qué relación de orden se cumple si $x_1<x_2$ y $0<b<1$ en $f(x)=\log_b(x)$?</p>

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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