Análisis del crecimiento de la función logarítmica para bases mayores que uno
Resumen inicial
El análisis del crecimiento de la función logarítmica para bases mayores que uno ($b > 1$) establece que $f(x) = \log_b(x)$ es estrictamente creciente en todo su dominio $]0, +\infty[$, siendo negativa en $]0, 1[$, nula en $(1, 0)$ y positiva en $]1, +\infty[$.
Explicación en palabras simples
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Cuando la base es mayor que 1 ($b > 1$, como $2, 3, 10, e$):
$$\mathbf{b > 1} \quad \implies \quad f(x) = \log_b(x) \quad \text{es } \mathbf{\text{ESTRICTAMENTE CRECIENTE (\nearrow)}}$$
- El viaje de la curva de izquierda a derecha:
- En $]0, 1[$ (valores pequeños): La curva sube desde el fondo del abismo ($-\infty$) con valores negativos.
- En $x = 1$: Cruza el eje horizontal en el punto $(1, 0)$.
- En $]1, +\infty[$ (valores grandes): Se vuelve positiva y sigue creciendo hacia $+\infty$ (crece despacio, pero nunca se detiene).
- Comparación entre bases: Una base más pequeña (ej: base 2) crece más empinada que una base grande (ej: base 10).
Explicación formal
Sea $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \log_b(x)$ con $b > 1$.
Propiedades diferenciales y de monotonía:
1. Derivada estrictamente positiva: Como $b > 1 \implies \ln(b) > 0$. Para todo $x > 0$:
$$f'(x) = \frac{1}{x \ln(b)} > 0$$
Por el criterio de la primera derivada, $f$ es estrictamente creciente en $]0, +\infty[$.
2. Concavidad: La segunda derivada es estrictamente negativa:
$$f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln(b)} < 0$$
Por tanto, la función es cóncava hacia abajo (crecimiento sublineal desacelerado).
3. Signos de la función:
- $x \in ]0, 1[ \implies f(x) < 0$.
- $x = 1 \implies f(1) = 0$.
- $x \in ]1, +\infty[ \implies f(x) > 0$.
La alternativa correcta es 'Negativo (la curva está por debajo del eje X)'. Para argumentos entre 0 y 1 con base $b > 1$, el logaritmo toma valores negativos.
Definiciones clave
- Monotonía creciente: Condición $x_1 < x_2 \implies \log_b(x_1) < \log_b(x_2)$ para $b > 1$.
- Crecimiento sublineal: Tasa de crecimiento donde la pendiente disminuye monótonamente hacia cero sin acotarse superiormente.
Propiedades y relaciones importantes
- Comportamiento asintótico: $\lim_{x \to 0^+} \log_b(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to +\infty} \log_b(x) = +\infty$.
- Jerarquía de crecimiento: Para $x > 1$, si $1 < b_1 < b_2 \implies \log_{b_1}(x) > \log_{b_2}(x)$.
Ejemplo guiado
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Dada la función $f(x) = \log_2(x)$:
1) Justifica por qué es estrictamente creciente.
2) Determina el signo de $f(0{,}25)$, $f(1)$ y $f(8)$.
3) Compara $f(16)$ con $g(16)$ donde $g(x) = \log_4(x)$.
- Paso 1: Como la base $b = 2 > 1$, la función es estrictamente creciente en $]0, +\infty[$.
- Paso 2: Signos de la función: - $f(0{,}25) = \log_2(1/4) = -2 < 0$ (negativo en $]0, 1[$). - $f(1) = \log_2(1) = 0$ (cero en $x = 1$). - $f(8) = \log_2(8) = 3 > 0$ (positivo en $]1, +\infty[$).
- Paso 3: Comparación de bases en $x = 16$: - $f(16) = \log_2(16) = 4$. - $g(16) = \log_4(16) = 2$. - **$f(16) > g(16)$** (la base menor $2 < 4$ alcanza mayor altura para $x > 1$).
La alternativa correcta es 'f(x) = log₂(x)'. Para bases mayores que 1, la base menor crece con mayor pendiente (ej: $\log_2(100) \approx 6{,}64$ vs $\log_{10}(100) = 2$).
Procedimiento
- Paso 1: Verificar que la base $b$ sea estrictamente mayor que uno ($b > 1$).
- Paso 2: Declarar la función como estrictamente creciente en todo su dominio $]0, +\infty[$.
- Paso 3: Identificar que toma valores negativos en $]0, 1[$, se anula en $x = 1$ y es positiva en $]1, +\infty[$.
- Paso 4: Trazar la curva cóncava hacia abajo emergiendo desde $-\infty$ y divergiendo a $+\infty$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Creer que porque la función crece cada vez más lento, tiene una asíntota horizontal superior.
- Cómo corregirlo: La función logarítmica NO tiene cota superior: sigue creciendo hacia $+\infty$ sin límites.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Como la base $5 > 1$, la función es estrictamente creciente.
- Paso 1: $0{,}03 < 1 \implies$ el logaritmo en base 10 es negativo.
- Paso 1: Por ser creciente: $0{,}5 < 1 < 9 \implies f(0{,}5) < f(1) < f(9)$.
- Paso 1: $\lim_{x \to +\infty} \log_2(x) = +\infty$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
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Analizar y fundamentar el crecimiento de la función logarítmica para bases mayores que uno.
Utilizando la condición b > 1 para describir signos en ]0, 1[ y ]1, +∞[ y su divergencia a ±∞.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si $b>1$, ¿cómo es $f(x)=\log_b(x)$?
Con base mayor que $1$, a mayor $x$, mayor es el valor del logaritmo.
Respuesta: A) Estrictamente creciente
-
$f(x)=\log_{10}(x)$ es creciente en todo su dominio.
La base $10$ cumple $b>1$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué ocurre con la rapidez de crecimiento de $f(x)=\log_b(x)$ ($b>1$) al aumentar $x$?
Aunque siempre crece, necesita incrementos cada vez mayores de $x$ para seguir subiendo.
Respuesta: A) El crecimiento se hace cada vez más lento
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=\log_2(x)$ toma valores mayores a medida que $x$ aumenta.
Cumple el comportamiento creciente propio de $b>1$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál base garantiza que $f(x)=\log_b(x)$ sea creciente?
Es la única opción que cumple $b>1$.
Respuesta: A) $b=6$
-
Para verificar que $f(x)=\log_b(x)$ es creciente basta con comprobar que $b>1$.
Esa condición sobre la base es suficiente para garantizar el crecimiento.
Respuesta: Verdadero
-
Compara $\log_5(5)$ y $\log_5(25)$.
$\log_5(5)=1$ y $\log_5(25)=2$, confirmando el crecimiento.
Respuesta: A) $\log_5(25)>\log_5(5)$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al describir el crecimiento logarítmico?
El crecimiento logarítmico es sostenido pero cada vez más lento, no acelerado.
Respuesta: A) Confundir crecimiento sostenido con crecimiento acelerado
-
Si $b>1$, existe algún intervalo del dominio donde $f(x)=\log_b(x)$ deja de crecer.
La función es estrictamente creciente en todo su dominio cuando $b>1$.
Respuesta: Falso
-
¿Qué relación de orden se cumple si $x_1<x_2$ y $b>1$ en $f(x)=\log_b(x)$?
Es la definición misma de función estrictamente creciente.
Respuesta: A) $f(x_1)<f(x_2)$