Análisis del crecimiento de la función logarítmica para bases mayores que uno
Reconocer que $f(x)=\log_b(x)$ es creciente cuando la base cumple $b>1$.
Introducción
Cuando la base de un logaritmo es mayor que $1$, a medida que el argumento crece, también crece el valor del logaritmo, aunque cada vez más lentamente.
Explicación
Definición formal
Si $b>1$, entonces para todo par $x_1,x_2\in\mathbb{R}^+$ con $x_1<x_2$ se cumple $\log_b(x_1)<\log_b(x_2)$; es decir, $f(x)=\log_b(x)$ es estrictamente creciente en todo su dominio.</p>
Desarrollo didáctico
Con $b=2$: $\log_2(1)=0$, $\log_2(2)=1$, $\log_2(4)=2$, $\log_2(8)=3$. Cada vez que $x$ se duplica, $f(x)$ aumenta en $1$ unidad; el valor de la función crece de forma sostenida, aunque necesita argumentos cada vez más grandes para seguir subiendo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la base $b$ cumple $b>1$.
- Paso 2: Evalúa la función en al menos dos valores crecientes de $x$.
- Paso 3: Compara los resultados y confirma que $f(x)$ aumenta cuando $x$ aumenta.
Ejemplos
1 Compara $\log_{10}(10)$ y $\log_{10}(100)$ para $f(x)=\log_{10}(x)$.
- Se calcula $\log_{10}(10)=1$ y $\log_{10}(100)=2$.
- Como $100>10$ y $2>1$, se confirma que la función es creciente.
2 Determina si $f(x)=\log_3(x)$ es creciente evaluando $x=9$ y $x=27$.
- Se calcula $\log_3(9)=2$ y $\log_3(27)=3$.
- Como $27>9$ y $3>2$, la función efectivamente crece.
3 ¿La función $f(x)=\log_5(x)$ es creciente en todo su dominio?
- La base $5$ cumple $b>1$, condición suficiente para que la función sea creciente.
4 ¿La rapidez con que crece $f(x)=\log_b(x)$ se mantiene constante cuando $b>1$?
- El crecimiento se vuelve cada vez más lento a medida que $x$ aumenta, aunque nunca se detiene.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir "creciente" con "crece rápidamente"; el crecimiento logarítmico es lento pero sostenido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la condición $b>1$ sin verificarla antes de afirmar que la función es creciente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que el crecimiento depende del valor de $x$ en vez de depender de la base $b$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el comportamiento creciente de $b>1$ con el decreciente de $0<b<1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $b>1$, la función $f(x)=\log_b(x)$ es **estrictamente creciente**: a mayor $x$, mayor es $f(x)$, aunque el crecimiento se hace cada vez más lento.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si $b>1$, ¿cómo es $f(x)=\log_b(x)$?
Con base mayor que $1$, a mayor $x$, mayor es el valor del logaritmo.
Respuesta: A) Estrictamente creciente
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$f(x)=\log_{10}(x)$ es creciente en todo su dominio.
La base $10$ cumple $b>1$.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué ocurre con la rapidez de crecimiento de $f(x)=\log_b(x)$ ($b>1$) al aumentar $x$?
Aunque siempre crece, necesita incrementos cada vez mayores de $x$ para seguir subiendo.
Respuesta: A) El crecimiento se hace cada vez más lento
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$f(x)=\log_2(x)$ toma valores mayores a medida que $x$ aumenta.
Cumple el comportamiento creciente propio de $b>1$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Compara $\log_5(5)$ y $\log_5(25)$.
$\log_5(5)=1$ y $\log_5(25)=2$, confirmando el crecimiento.
Respuesta: A) $\log_5(25)>\log_5(5)$
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¿Cuál base garantiza que $f(x)=\log_b(x)$ sea creciente?
Es la única opción que cumple $b>1$.
Respuesta: A) $b=6$
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Para verificar que $f(x)=\log_b(x)$ es creciente basta con comprobar que $b>1$.
Esa condición sobre la base es suficiente para garantizar el crecimiento.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al describir el crecimiento logarítmico?
El crecimiento logarítmico es sostenido pero cada vez más lento, no acelerado.
Respuesta: A) Confundir crecimiento sostenido con crecimiento acelerado
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Si $b>1$, existe algún intervalo del dominio donde $f(x)=\log_b(x)$ deja de crecer.
La función es estrictamente creciente en todo su dominio cuando $b>1$.
Respuesta: Falso
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¿Qué relación de orden se cumple si $x_1<x_2$ y $b>1$ en $f(x)=\log_b(x)$?
Es la definición misma de función estrictamente creciente.
Respuesta: A) $f(x_1)<f(x_2)$