Identificación del seno como coordenada y en el círculo unitario
Definir $\sin(\theta)$ como la coordenada $y$ del punto donde el lado terminal de $\theta$ corta al círculo unitario.
Introducción
De forma simétrica al coseno, el seno se define usando la otra coordenada del punto asociado al ángulo en el círculo unitario.
Explicación
Definición formal
Si el lado terminal del ángulo $\theta$ corta al círculo unitario en el punto $(x,y)$, entonces $\sin(\theta)=y$. Al igual que el coseno, esta definición extiende el seno a cualquier ángulo real.
Desarrollo didáctico
Para $\theta=0°$, el punto asociado es $(1,0)$, así que $\sin(0°)=0$. Para $\theta=90°$, el punto es $(0,1)$, así que $\sin(90°)=1$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Ubica el punto $(x,y)$ donde el lado terminal de $\theta$ corta al círculo unitario.
- Paso 2: Identifica la coordenada $y$ de ese punto.
- Paso 3: Esa coordenada $y$ es el valor de $\sin(\theta)$.
Ejemplos
1 Calcula $\sin(180°)$.
- El punto asociado a $180°$ es $(-1,0)$.
- Se obtiene $\sin(180°)=0$.
2 Calcula $\sin(270°)$.
- El punto asociado a $270°$ es $(0,-1)$.
- Se obtiene $\sin(270°)=-1$.
3 ¿Puede $\sin(\theta)$ tomar un valor menor que $-1$?
- Como $(x,y)$ pertenece al círculo unitario, $y$ nunca puede ser menor que $-1$.
4 ¿$\sin(0°)$ y $\cos(90°)$ tienen el mismo valor?
- Ambos valen $0$, aunque provienen de coordenadas distintas en puntos distintos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el seno con la coordenada $x$, que corresponde al coseno."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que el seno puede tomar cualquier valor real, sin restricción."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar que el punto usado realmente pertenezca al círculo unitario."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta definición general con la limitada al triángulo rectángulo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para un ángulo $\theta$ en posición estándar, $\sin(\theta)$ se define como la **coordenada $y$** del punto donde el lado terminal corta al círculo unitario.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿A qué coordenada corresponde $\sin(\theta)$ en el círculo unitario?
Es la definición del seno en el círculo unitario.
Respuesta: A) La coordenada $y$
-
$\sin(90°)=1$.
El punto asociado a $90°$ es $(0,1)$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el rango de valores posibles de $\sin(\theta)$?
Como $y$ pertenece al círculo unitario, está acotada entre $-1$ y $1$.
Respuesta: A) $[-1,1]$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\sin(0°)=0$.
El punto asociado a $0°$ es $(1,0)$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
$\sin(\theta)$ puede valer $-2$ para algún ángulo $\theta$.
El seno nunca es menor que $-1$.
Respuesta: Falso
-
Si el punto asociado a $\theta$ es $(0{,}6,0{,}8)$, ¿cuál es $\sin(\theta)$?
Es la coordenada $y$ del punto.
Respuesta: A) 0{,}8
-
Determina $\sin(270°)$.
El punto asociado a $270°$ es $(0,-1)$.
Respuesta: A) -1
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$\sin(0°)$ y $\sin(180°)$ tienen el mismo valor.
Ambos valen $0$.
Respuesta: Verdadero
-
Si $\sin(\theta)=1$, ¿cuál es el punto asociado?
Es el único punto del círculo unitario con coordenada $y=1$.
Respuesta: A) $(0,1)$
-
¿Cuál es el error frecuente respecto al seno?
Esa coordenada corresponde al coseno.
Respuesta: A) Confundirlo con la coordenada $x$