Identificación del coseno como coordenada x en el círculo unitario
Definir $\cos(\theta)$ como la coordenada $x$ del punto donde el lado terminal de $\theta$ corta al círculo unitario.
Introducción
En vez de memorizar razones entre lados de un triángulo, el círculo unitario permite definir el coseno directamente a partir de la posición de un punto.
Explicación
Definición formal
Si el lado terminal del ángulo $\theta$ corta al círculo unitario en el punto $(x,y)$, entonces $\cos(\theta)=x$. Esta definición extiende el coseno a cualquier ángulo, no solo a los agudos de un triángulo rectángulo.
Desarrollo didáctico
Para $\theta=0°$, el punto asociado es $(1,0)$, así que $\cos(0°)=1$. Para $\theta=90°$, el punto es $(0,1)$, así que $\cos(90°)=0$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Ubica el punto $(x,y)$ donde el lado terminal de $\theta$ corta al círculo unitario.
- Paso 2: Identifica la coordenada $x$ de ese punto.
- Paso 3: Esa coordenada $x$ es el valor de $\cos(\theta)$.
Ejemplos
1 Calcula $\cos(180°)$.
- El punto asociado a $180°$ es $(-1,0)$.
- Se obtiene $\cos(180°)=-1$.
2 Calcula $\cos(270°)$.
- El punto asociado a $270°$ es $(0,-1)$.
- Se obtiene $\cos(270°)=0$.
3 ¿Puede $\cos(\theta)$ tomar un valor mayor que $1$?
- Como $(x,y)$ pertenece al círculo unitario, $x$ nunca puede superar $1$ en valor absoluto.
4 ¿El coseno de cualquier ángulo cuadrantal es siempre $0$, $1$ o $-1$?
- Los puntos cuadrantales tienen coordenada $x$ igual a $0$, $1$ o $-1$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el coseno con la coordenada $y$, que corresponde al seno."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que el coseno puede tomar cualquier valor real, sin restricción."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar que el punto usado realmente pertenezca al círculo unitario."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta definición general con la limitada al triángulo rectángulo (solo ángulos agudos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para un ángulo $\theta$ en posición estándar, $\cos(\theta)$ se define como la **coordenada $x$** del punto donde el lado terminal corta al círculo unitario.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿A qué coordenada corresponde $\cos(\theta)$ en el círculo unitario?
Es la definición del coseno en el círculo unitario.
Respuesta: A) La coordenada $x$
-
$\cos(0°)=1$.
El punto asociado a $0°$ es $(1,0)$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el rango de valores posibles de $\cos(\theta)$?
Como $x$ pertenece al círculo unitario, está acotada entre $-1$ y $1$.
Respuesta: A) $[-1,1]$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\cos(90°)=0$.
El punto asociado a $90°$ es $(0,1)$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina $\cos(180°)$.
El punto asociado a $180°$ es $(-1,0)$.
Respuesta: A) -1
-
Si el punto asociado a $\theta$ es $(0{,}6,0{,}8)$, ¿cuál es $\cos(\theta)$?
Es la coordenada $x$ del punto.
Respuesta: A) 0{,}6
-
$\cos(\theta)$ puede valer $1{,}5$ para algún ángulo $\theta$.
El coseno nunca supera $1$ en valor absoluto.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto al coseno?
Esa coordenada corresponde al seno.
Respuesta: A) Confundirlo con la coordenada $y$
-
La definición del coseno mediante el círculo unitario aplica a cualquier ángulo real, no solo a los agudos.
Es la ventaja de esta definición sobre la del triángulo rectángulo.
Respuesta: Verdadero
-
Si $\cos(\theta)=-1$, ¿cuál es el punto asociado?
Es el único punto del círculo unitario con coordenada $x=-1$.
Respuesta: A) $(-1,0)$