Cálculo del período según el coeficiente B
Aplicar la fórmula $T=\dfrac{2\pi}{|b|}$ para calcular el periodo de $f(x)=\sin(bx)$ o $f(x)=\cos(bx)$.
Introducción
El coeficiente que multiplica a la variable dentro del seno o coseno controla qué tan rápido se completa cada ciclo de la oscilación.
Explicación
Definición formal
Para que $f(x+T)=f(x)$, se necesita que $b(x+T)=bx+2\pi$ (una vuelta completa adicional), lo que da $bT=2\pi$, y despejando, $T=\dfrac{2\pi}{|b|}$. Si $b=1$, se recupera el periodo básico $2\pi$.
Desarrollo didáctico
$f(x)=\sin(2x)$ tiene periodo $T=2\pi/2=\pi$: completa un ciclo el doble de rápido que $\sin(x)$. $f(x)=\cos(x/2)$ tiene periodo $T=2\pi/(1/2)=4\pi$: completa un ciclo el doble de lento.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el coeficiente $b$ que multiplica a $x$ dentro de la función.
- Paso 2: Aplica la fórmula $T=2\pi/|b|$.
- Paso 3: Simplifica el resultado si es posible.
Ejemplos
1 Calcula el periodo de $f(x)=\sin(4x)$.
- Se identifica $b=4$.
- Se aplica la fórmula: $T=2\pi/4=\pi/2$.
2 Calcula el periodo de $f(x)=\cos(x/3)$.
- Se identifica $b=1/3$.
- Se aplica la fórmula: $T=2\pi/(1/3)=6\pi$.
3 ¿Un mayor valor de $|b|$ produce un periodo más corto en la función trigonométrica?
- Como el periodo es $2\pi/|b|$, un $|b|$ mayor produce un cociente menor.
4 ¿Se debe usar $|b|$ en vez de $b$ directamente al calcular el periodo?
- El periodo siempre es positivo, así que se usa el valor absoluto de $b$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar aplicar el valor absoluto a $b$ al calcular el periodo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la fórmula con $T=2\pi\cdot b$ en vez de $T=2\pi/|b|$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No simplificar correctamente la fracción resultante."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el efecto de $b$ sobre el periodo con el efecto de $a$ sobre la amplitud."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En $f(x)=\sin(bx)$ o $f(x)=\cos(bx)$, el **periodo** es $T=\dfrac{2\pi}{|b|}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es la fórmula del periodo de $f(x)=\sin(bx)$?
Es la fórmula estándar del periodo.
Respuesta: A) $T=2\pi/|b|$
-
El periodo de $f(x)=\sin(2x)$ es $\pi$.
$2\pi/2=\pi$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el periodo de $f(x)=\cos(x/2)$?
$2\pi/(1/2)=4\pi$.
Respuesta: A) $4\pi$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El periodo de $f(x)=\sin(4x)$ es $\pi/2$.
$2\pi/4=\pi/2$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Calcula el periodo de $f(x)=\cos(3x)$.
$2\pi/3$.
Respuesta: A) $2\pi/3$
-
¿Cuál es el periodo de $f(x)=\sin(x/4)$?
$2\pi/(1/4)=8\pi$.
Respuesta: A) $8\pi$
-
Un mayor valor de $|b|$ produce un periodo más corto.
Es consecuencia de la fórmula inversa.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular el periodo?
El periodo siempre debe ser positivo.
Respuesta: A) Olvidar el valor absoluto de $b$
-
El periodo de $f(x)=\sin(-2x)$ es igual al de $g(x)=\sin(2x)$.
Ambos tienen $|b|=2$, así que el mismo periodo $\pi$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el periodo de $f(x)=\cos(5x)$?
$2\pi/5$.
Respuesta: A) $2\pi/5$