Modelamiento de fenómenos periódicos mediante función seno
Construir un modelo $f(t)=a\sin(b(t-c))+d$ a partir de datos de un fenómeno periódico que comienza en su valor medio y sube.
Introducción
Cuando un fenómeno comienza en su valor promedio y su primer movimiento es de ascenso, conviene usar la función seno como base del modelo.
Explicación
Definición formal
El seno básico comienza en $0$ (su línea media) y sube hacia el máximo. Si el fenómeno tiene ese comportamiento en el instante de referencia, conviene modelarlo con $f(t)=a\sin(b(t-c))+d$, ajustando amplitud, periodo, desfase y línea media según los datos observados.
Desarrollo didáctico
La altura de una rueda de la fortuna, medida desde su centro, comienza en $0$ (a la altura del eje) y sube; esto sugiere un modelo tipo seno: $h(t)=a\sin(bt)+d$, donde $a$ es el radio de la rueda y $d$ la altura del eje respecto al suelo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que el fenómeno comience en su valor medio y con tendencia creciente.
- Paso 2: Calcula la amplitud, el periodo, el desfase y la línea media a partir de los datos.
- Paso 3: Escribe el modelo completo $f(t)=a\sin(b(t-c))+d$.
Ejemplos
1 Una señal comienza en $0$, sube a $5$, vuelve a $0$ en $2$ segundos, baja a $-5$, y vuelve a $0$ en $4$ segundos. Escribe su modelo.
- Amplitud $a=5$; periodo $T=4$, así que $b=2\pi/4=\pi/2$; sin desfase ni desplazamiento vertical.
- El modelo es $f(t)=5\sin(\pi t/2)$.
2 ¿Por qué se usa seno y no coseno para modelar una señal que comienza en su valor medio y sube?
- El seno básico comienza exactamente en $0$ (su línea media) con tendencia creciente.
- Es la elección natural para ese comportamiento inicial.
3 ¿Es posible modelar un fenómeno que comienza en su valor medio usando coseno en vez de seno, con un desfase adecuado?
- Aplicando el desfase correcto, cualquier función coseno puede reescribirse como una función seno equivalente.
4 ¿Un modelo basado en seno siempre tiene el parámetro $c$ igual a cero?
- Si el fenómeno no comienza exactamente en el instante de referencia elegido, se necesita un desfase distinto de cero.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Elegir seno cuando el fenómeno en realidad comienza en su valor máximo (caso más apropiado para coseno)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar la tendencia inicial (creciente o decreciente) antes de elegir el modelo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular mal la amplitud o el periodo a partir de los datos observados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar incluir la línea media si el fenómeno no oscila alrededor de $0$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Se usa un **modelo con seno** cuando el fenómeno comienza en su línea media y su tendencia inicial es creciente, siguiendo la forma $f(t)=a\sin(b(t-c))+d$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuándo conviene usar un modelo basado en seno?
Es el comportamiento característico del seno básico.
Respuesta: A) Cuando el fenómeno comienza en su valor medio y sube
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El seno básico comienza en su línea media.
$\sin(0)=0$.
Respuesta: Verdadero
-
En un modelo $h(t)=a\sin(bt)+d$, ¿qué representa $a$?
Corresponde a la amplitud del modelo.
Respuesta: A) El radio o variación máxima del fenómeno
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Una señal que comienza en $0$ y sube se modela naturalmente con seno.
Coincide con el comportamiento inicial del seno básico.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si una señal tiene amplitud $5$ y periodo $4$, ¿cuál es $b$?
$b=2\pi/4=\pi/2$.
Respuesta: A) $\pi/2$
-
Se puede modelar el mismo fenómeno con coseno usando el desfase adecuado.
Cualquier seno puede reescribirse como coseno desfasado, y viceversa.
Respuesta: Verdadero
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Escribe el modelo de una señal con amplitud $3$, periodo $2\pi$, sin desfase ni desplazamiento vertical.
Con $a=3$, $b=1$, $c=0$, $d=0$.
Respuesta: A) $f(t)=3\sin(t)$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El modelo con seno siempre tiene desfase igual a cero.
Puede tener desfase distinto de cero si el fenómeno no comienza en el instante de referencia elegido.
Respuesta: Falso
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¿Cuál es el error frecuente al elegir el modelo con seno?
En ese caso conviene usar coseno.
Respuesta: A) Usarlo cuando el fenómeno en realidad comienza en su máximo
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Una rueda de la fortuna de radio $10$ m tiene su eje a $12$ m del suelo y comienza a nivel del eje subiendo. Escribe su modelo de altura.
Amplitud $=$ radio $=10$; línea media $=$ altura del eje $=12$; comienza en la línea media subiendo, así que se usa seno.
Respuesta: A) $h(t)=10\sin(bt)+12$