Modelamiento de fenómenos periódicos mediante función coseno

M2 — PAES electiva Avanzada
Objetivo

Construir un modelo $f(t)=a\cos(b(t-c))+d$ a partir de datos de un fenómeno periódico que comienza en su valor máximo.

Introducción

Cuando un fenómeno comienza en su punto más alto (o más bajo) en el instante de referencia, conviene usar la función coseno como base del modelo.

Explicación

Definición formal

El coseno básico comienza en su valor máximo. Si el fenómeno tiene ese comportamiento en el instante de referencia, conviene modelarlo con $f(t)=a\cos(b(t-c))+d$, ajustando amplitud, periodo, desfase y línea media según los datos observados.

Desarrollo didáctico

La temperatura de un lugar, si se mide a partir del mediodía (momento de mayor calor), comienza en su valor máximo; esto sugiere un modelo tipo coseno: $T(t)=a\cos(bt)+d$, donde $a$ es la variación de temperatura y $d$ la temperatura promedio.

Cómo hacerlo paso a paso

  • Paso 1: Verifica que el fenómeno comience en su valor máximo o mínimo.
  • Paso 2: Calcula la amplitud, el periodo, el desfase y la línea media a partir de los datos.
  • Paso 3: Escribe el modelo completo $f(t)=a\cos(b(t-c))+d$, usando $a<0$ si comienza en el mínimo.

Ejemplos

1 Una señal comienza en $10$ (su máximo), baja a $2$ en $3$ segundos (su mínimo), y vuelve a $10$ en $6$ segundos. Escribe su modelo.
2 ¿Por qué se usa coseno y no seno para modelar una señal que comienza en su valor máximo?
3 ¿Es posible usar un modelo de coseno para un fenómeno que comienza en su valor mínimo?
4 ¿Un modelo basado en coseno siempre necesita un desfase $c$ distinto de cero?

Ejemplos Verdadero/Falso

"Elegir coseno cuando el fenómeno en realidad comienza en su valor medio (caso más apropiado para seno)."

¿Es correcta esta afirmación?

"No verificar si el fenómeno comienza en el máximo o en el mínimo antes de fijar el signo de $a$."

¿Es correcta esta afirmación?

"Calcular mal la amplitud o la línea media a partir de los datos observados."

¿Es correcta esta afirmación?

"Confundir el instante de referencia $t=0$ con otro punto del fenómeno."

¿Es correcta esta afirmación?

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.
Resumen

Se usa un **modelo con coseno** cuando el fenómeno comienza en su valor máximo (o mínimo), siguiendo la forma $f(t)=a\cos(b(t-c))+d$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. El coseno básico comienza en su valor máximo.

  2. ¿Qué signo de $a$ se usa si el fenómeno comienza en su mínimo?

  3. ¿Cuándo conviene usar un modelo basado en coseno?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. La temperatura medida desde el mediodía (momento más caluroso) se modela con coseno.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Una señal comienza en $10$ (máximo), amplitud $10$, línea media $0$, periodo $2\pi$. Escribe su modelo.

  2. Una señal comienza en su mínimo de $-5$, línea media $0$. ¿Qué signo de $a$ usarías con coseno?

  3. Es posible modelar el mismo fenómeno con seno usando el desfase adecuado.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al elegir el modelo con coseno?

  2. El modelo con coseno siempre requiere desfase distinto de cero.

  3. La temperatura máxima de $30°$C ocurre al mediodía ($t=0$), la mínima es $10°$C. Escribe el modelo.

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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