Identificación de asíntotas verticales en la función tangente
Determinar que las asíntotas verticales de $f(x)=\tan(x)$ ocurren en $x=\pi/2+n\pi$.
Introducción
La tangente no está definida donde el coseno vale $0$, y precisamente ahí es donde aparecen sus asíntotas verticales.
Explicación
Definición formal
Como $\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)$, la función no está definida donde $\cos(x)=0$, es decir, en $x=\pi/2+n\pi$. Cerca de esos valores, $|\tan(x)|\to\infty$, ya que el denominador se acerca a $0$ mientras el numerador no se anula simultáneamente.
Desarrollo didáctico
Cerca de $x=\pi/2$: para $x=1{,}5$ (un poco menor que $\pi/2\approx1{,}5708$), $\tan(1{,}5)\approx14{,}1$; para $x=1{,}57$, $\tan(1{,}57)\approx1255{,}8$. El valor crece sin límite al acercarse a la asíntota.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Recuerda que las asíntotas de la tangente coinciden con los ceros del coseno.
- Paso 2: Identifica esos valores como $x=\pi/2+n\pi$.
- Paso 3: Verifica que la función se acerque a $\pm\infty$ cerca de cada asíntota.
Ejemplos
1 ¿Es $x=3\pi/2$ una asíntota vertical de $f(x)=\tan(x)$?
- Se verifica: $3\pi/2=\pi/2+\pi$, con $n=1$.
- Sí, es una asíntota vertical.
2 ¿Por qué $x=-\pi/2$ es una asíntota de la tangente?
- Se verifica que $\cos(-\pi/2)=0$.
- Como el denominador se anula ahí, la tangente no está definida y presenta una asíntota vertical.
3 ¿Las asíntotas verticales consecutivas de $f(x)=\tan(x)$ están separadas por la misma distancia?
- Están espaciadas exactamente $\pi$ unidades entre sí, coincidiendo con el periodo de la función.
4 ¿El valor $x=0$ corresponde a una asíntota vertical de $f(x)=\tan(x)$?
- $\cos(0)=1\neq0$, así que la tangente está bien definida en $x=0$, con $\tan(0)=0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir las asíntotas de la tangente con los ceros del seno."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que las asíntotas están espaciadas cada $2\pi$ en vez de cada $\pi$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar el valor del coseno antes de afirmar la existencia de una asíntota."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el comportamiento de la tangente cerca de sus asíntotas con el de otras funciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La función $f(x)=\tan(x)$ tiene **asíntotas verticales** en $x=\pi/2+n\pi$, para cualquier entero $n$, que son exactamente los ceros del coseno.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Dónde se ubican las asíntotas verticales de $f(x)=\tan(x)$?
Coinciden con los ceros del coseno.
Respuesta: A) $x=\pi/2+n\pi$
-
Las asíntotas de la tangente coinciden con los ceros del coseno.
Es la razón matemática de su existencia.
Respuesta: Verdadero
-
¿Es $x=3\pi/2$ una asíntota de $f(x)=\tan(x)$?
$3\pi/2=\pi/2+\pi$, con $n=1$.
Respuesta: A) Sí
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x=0$ no es una asíntota vertical de la tangente.
$\cos(0)=1\neq0$, así que la tangente está definida ahí.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Es $x=-\pi/2$ una asíntota de $f(x)=\tan(x)$?
$\cos(-\pi/2)=0$, produciendo la asíntota.
Respuesta: A) Sí
-
¿Cuál es la distancia entre dos asíntotas consecutivas de la tangente?
Coincide con el periodo de la función.
Respuesta: A) $\pi$
-
Las asíntotas de la tangente coinciden con los ceros del seno.
Coinciden con los ceros del coseno, no del seno.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto a las asíntotas de la tangente?
Es un error frecuente mezclar ambas propiedades.
Respuesta: A) Confundirlas con los ceros del seno
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Cerca de una asíntota vertical, $|\tan(x)|$ crece sin límite.
Es el comportamiento característico cerca de las asíntotas de la tangente.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál de estos valores es una asíntota de $f(x)=\tan(x)$?
$5\pi/2=\pi/2+2\pi$, cumpliendo la fórmula general de las asíntotas.
Respuesta: A) $5\pi/2$