Construcción de la gráfica de la función tangente
Describir la forma de la gráfica de $f(x)=\tan(x)$, incluyendo su periodo y su comportamiento creciente.
Introducción
A diferencia del seno y el coseno, que son curvas onduladas acotadas, la tangente presenta un patrón muy distinto, con ramas que crecen sin límite.
Explicación
Definición formal
En cada intervalo entre dos asíntotas consecutivas (de longitud $\pi$), la función $f(x)=\tan(x)$ es estrictamente creciente, pasando de $-\infty$ a $+\infty$. El patrón se repite exactamente cada $\pi$ unidades, por lo que el periodo de la tangente es $\pi$, no $2\pi$.
Desarrollo didáctico
En el intervalo $(-\pi/2,\pi/2)$: $\tan(-\pi/4)=-1$, $\tan(0)=0$, $\tan(\pi/4)=1$. La curva pasa por el origen creciendo, y se acerca a $-\infty$ cerca de $-\pi/2$ y a $+\infty$ cerca de $\pi/2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las asíntotas verticales, ubicadas en $x=\pi/2+n\pi$.
- Paso 2: Dentro de cada intervalo entre asíntotas, traza una rama creciente que pasa por un punto de la forma $(n\pi,0)$.
- Paso 3: Repite el patrón en cada intervalo de longitud $\pi$.
Ejemplos
1 Describe el comportamiento de $f(x)=\tan(x)$ en el intervalo $(-\pi/2,\pi/2)$.
- La función es estrictamente creciente en todo el intervalo.
- Pasa por $(0,0)$ y se acerca a $-\infty$ y $+\infty$ en los extremos del intervalo.
2 ¿Cuál es el periodo de $f(x)=\tan(x)$?
- El patrón se repite cada $\pi$ unidades, no cada $2\pi$.
- El periodo es $\pi$.
3 ¿La gráfica de $f(x)=\tan(x)$ está acotada entre un valor máximo y uno mínimo, como el seno y el coseno?
- Cada rama de la tangente crece sin límite, sin un máximo ni un mínimo absoluto.
4 ¿La función tangente es estrictamente creciente dentro de cada intervalo entre dos asíntotas consecutivas?
- Es una propiedad característica de la tangente en toda su gráfica.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el periodo de la tangente ($\pi$) con el del seno o coseno ($2\pi$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que la tangente está acotada como el seno y el coseno."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Trazar la curva sin marcar correctamente las asíntotas verticales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que la tangente decrece en algún tramo de su dominio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La gráfica de $f(x)=\tan(x)$ está formada por **ramas crecientes** separadas por asíntotas verticales, con **periodo $\pi$** (la mitad del periodo del seno y el coseno).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el periodo de $f(x)=\tan(x)$?
Es la mitad del periodo del seno y el coseno.
Respuesta: A) $\pi$
-
La función tangente es creciente en cada intervalo entre asíntotas.
Es una propiedad característica de la tangente.
Respuesta: Verdadero
-
¿Está acotada la gráfica de $f(x)=\tan(x)$?
A diferencia del seno y coseno, no tiene cota.
Respuesta: A) No, cada rama crece sin límite
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La gráfica de la tangente pasa por el origen.
$\tan(0)=0$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
El patrón de la gráfica de la tangente se repite cada $2\pi$, igual que el seno.
Se repite cada $\pi$, la mitad del periodo del seno.
Respuesta: Falso
-
¿En qué intervalo se ubica la rama principal de la tangente?
Es el intervalo central entre dos asíntotas consecutivas.
Respuesta: A) $(-\pi/2,\pi/2)$
-
¿Cómo se comporta $\tan(x)$ cerca de $\pi/2$ por la izquierda?
Es el comportamiento característico cerca de la asíntota.
Respuesta: A) Tiende a $+\infty$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al describir la gráfica de la tangente?
Es un error muy frecuente en este tema.
Respuesta: A) Confundir su periodo con el del seno o coseno
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Cada rama de la tangente pasa por un punto de la forma $(n\pi,0)$.
Son los ceros de la función tangente, coincidentes con los del seno.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué característica comparten todas las ramas de la gráfica de la tangente?
Es la propiedad compartida por cada rama.
Respuesta: A) Todas son estrictamente crecientes