Concepto de función tangente como extensión de las funciones trigonométricas básicas
Definir $\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ y reconocer su relación con el seno y el coseno.
Introducción
Además del seno y el coseno, existe una tercera función trigonométrica fundamental que se construye como el cociente entre ambas.
Explicación
Definición formal
Para todo ángulo $\theta$ tal que $\cos(\theta)\neq0$, se define $\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$. Geométricamente, representa la razón entre la coordenada $y$ y la coordenada $x$ del punto asociado a $\theta$ en el círculo unitario.
Desarrollo didáctico
$\tan(\pi/4)=\dfrac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)}=\dfrac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1$. $\tan(0)=\dfrac{0}{1}=0$. $\tan(\pi/2)$ no está definida, porque $\cos(\pi/2)=0$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$ para el ángulo dado.
- Paso 2: Verifica que $\cos(\theta)\neq0$.
- Paso 3: Divide $\sin(\theta)$ por $\cos(\theta)$ para obtener $\tan(\theta)$.
Ejemplos
1 Calcula $\tan(\pi/3)$.
- Se calcula $\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2$ y $\cos(\pi/3)=1/2$.
- Se divide: $\tan(\pi/3)=\sqrt{3}$.
2 ¿Está definida $\tan(3\pi/2)$?
- Se verifica $\cos(3\pi/2)=0$.
- No está definida, ya que se produciría una división por cero.
3 ¿La función tangente está definida para cualquier ángulo real, sin excepciones?
- Se excluyen los ángulos donde $\cos(\theta)=0$, es decir, $\theta=\pi/2+n\pi$.
4 ¿El valor de $\tan(0)$ es igual a $0$?
- $\sin(0)=0$ y $\cos(0)=1$, así que $\tan(0)=0/1=0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar verificar que $\cos(\theta)\neq0$ antes de calcular la tangente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la tangente con el cociente inverso, $\cos(\theta)/\sin(\theta)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que la tangente está acotada, como el seno y el coseno."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular mal la división entre seno y coseno, cometiendo errores aritméticos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La **función tangente** se define como $\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$, siempre que $\cos(\theta)\neq0$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cómo se define $\tan(\theta)$?
Es la definición estándar de la tangente.
Respuesta: A) $\sin(\theta)/\cos(\theta)$
-
$\tan(0)=0$.
$\sin(0)/\cos(0)=0/1=0$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué no está definida $\tan(\pi/2)$?
Produciría una división por cero.
Respuesta: A) Porque $\cos(\pi/2)=0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$\tan(\pi/4)=1$.
$\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2$, así que su cociente es $1$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Calcula $\tan(\pi/6)$.
$\sin(\pi/6)/\cos(\pi/6)=(1/2)/(\sqrt{3}/2)=1/\sqrt{3}=\sqrt{3}/3$.
Respuesta: A) $\sqrt{3}/3$
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¿Está definida $\tan(\pi)$?
$\sin(\pi)=0$ y $\cos(\pi)=-1$, así que $\tan(\pi)=0/(-1)=0$.
Respuesta: A) Sí, y vale $0$
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La tangente está acotada entre $-1$ y $1$, como el seno.
La tangente no está acotada; puede tomar cualquier valor real.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$\tan(\theta)$ representa la razón entre la coordenada $y$ y la coordenada $x$ del punto en el círculo unitario.
Es la interpretación geométrica de la tangente.
Respuesta: Verdadero
-
Calcula $\tan(2\pi/3)$.
$\sin(2\pi/3)=\sqrt{3}/2$ y $\cos(2\pi/3)=-1/2$, así que $\tan(2\pi/3)=-\sqrt{3}$.
Respuesta: A) $-\sqrt{3}$
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¿Cuál es el error frecuente respecto a la tangente?
Es un paso de control necesario antes de calcular.
Respuesta: A) Olvidar verificar que el coseno no sea cero