Representación de un punto del círculo unitario mediante coordenadas cartesianas
Resumen inicial
Representación de cualquier punto $(x,y)$ sobre el círculo unitario mediante coordenadas cartesianas y su relación trigonométrica.
Explicación en palabras simples
Cada punto $P(x,y)$ dibujado sobre la circunferencia del círculo unitario tiene dos coordenadas: una abscisa $x$ que indica cuánto se avanza a la izquierda o derecha, y una ordenada $y$ que indica cuánto se sube o baja. Si conectamos el origen $(0,0)$ con ese punto mediante una línea recta de longitud 1, el ángulo $\theta$ formado con el eje positivo de las $x$ determina de forma única la posición del punto. Por esta razón, la abscisa $x$ coincide exactamente con el coseno del ángulo ($\cos \theta$) y la ordenada $y$ con el seno ($\sin \theta$).
Explicación formal
Definición formal
Todo punto $P(x,y)$ perteneciente al círculo unitario $\mathcal{C}$ en posición estándar asociada al ángulo orientado $\theta$ se representa biunívocamente en forma cartesiana y trigonométrica como:
$$P(x,y) = (\cos \theta, \sin \theta)$$
cumpliendo para todo $\theta \in \mathbb{R}$ la identidad pitagórica:
$$x^2 + y^2 = (\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 = 1$$
Desglose simbólico
- $\theta$: Ángulo de rotación medido desde el semieje positivo $X$.
- $x = \cos \theta$: Proyección horizontal del segmento del radio unitario sobre el eje $X$.
- $y = \sin \theta$: Proyección vertical del segmento del radio unitario sobre el eje $Y$.
- $P(x,y)$: Par ordenado de números reales acotados por $-1 \le x \le 1$ y $-1 \le y \le 1$.
Síntesis didáctica
La representación $P(x,y) = (\cos \theta, \sin \theta)$ convierte las coordenadas del plano cartesiano en valores funcionales trigonométricos. Permite hallar el seno o el coseno observando directamente la ordenada o la abscisa del punto sobre la circunferencia unitaria.
La alternativa correcta es '$x = \cos \theta$ e $y = \sin \theta$'. Por definición goniométrica, la abscisa es el coseno y la ordenada es el seno.
Definiciones clave
- Coordenadas trigonométricas: Expresión de un punto sobre el círculo unitario como $P(\cos \theta, \sin \theta)$.
- Proyección cartesiana: Longitud con signo del cateto horizontal ($x$) o vertical ($y$) del triángulo rectángulo de hipotenusa $1$.
- Cotas de coordenadas: Restricción $[-1, 1]$ que limita los valores posibles de $x$ e $y$ en el círculo unitario.
Propiedades y relaciones importantes
- Signos por cuadrante:
- Cuadrante I: $x > 0$, $y > 0 \implies \cos \theta > 0$, $\sin \theta > 0$.
- Cuadrante II: $x < 0$, $y > 0 \implies \cos \theta < 0$, $\sin \theta > 0$.
- Cuadrante III: $x < 0$, $y < 0 \implies \cos \theta < 0$, $\sin \theta < 0$.
- Cuadrante IV: $x > 0$, $y < 0 \implies \cos \theta > 0$, $\sin \theta < 0$.
Ejemplo guiado
Dado el ángulo $\theta = 120^\circ$ ubicado en el II cuadrante, sabiendo que $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$ y $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, escribe las coordenadas del punto $P$ en el círculo unitario y verifica la condición de radio.
- Paso 1: Asignar la abscisa $x = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$ y la ordenada $y = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Paso 2: Escribir el par ordenado: $P\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
- Paso 3: Elevar al cuadrado ambas coordenadas: $x^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ e $y^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$.
- Paso 4: Sumar los resultados: $x^2 + y^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$. Se confirma que $P$ es un punto válido del círculo unitario.
La alternativa correcta es '$-\frac{\sqrt{2}}{2}$'. El coseno corresponde directamente a la coordenada horizontal $x$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el ángulo $\theta$ en posición estándar.
- Paso 2: Calcular o consultar el valor del coseno ($\cos \theta$) y del seno ($\sin \theta$).
- Paso 3: Asignar la abscisa $x = \cos \theta$ y la ordenada $y = \sin \theta$.
- Paso 4: Formar el par ordenado cartesiano $P(x,y) = (\cos \theta, \sin \theta)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Invertir los roles asignando $x = \sin \theta$ e $y = \cos \theta$. Cómo corregirlo: La proyección horizontal adyacente corresponde siempre al coseno ($x = \cos \theta$) y la proyección vertical opuesta corresponde al seno ($y = \sin \theta$).
- Error 2: Asignar coordenadas mayores a $1$ o menores a $-1$ a un punto sobre el círculo unitario. Cómo corregirlo: Al ser el radio constante $r = 1$, las coordenadas están acotadas dentro del intervalo $[-1, 1]$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Para $\theta = 0^\circ$, $\cos(0^\circ) = 1$ y $\sin(0^\circ) = 0$.
- El par ordenado es $(\cos 0^\circ, \sin 0^\circ) = (1, 0)$.
- Evaluamos $\cos(90^\circ) = 0$ y $\sin(90^\circ) = 1$.
- El punto resulta $(\cos 90^\circ, \sin 90^\circ) = (0, 1)$.
- Sí, en el IV cuadrante las ordenadas se ubican por debajo del eje X, por lo que $y < 0$.
- Sí, en el II cuadrante las abscisas se ubican a la izquierda del eje Y, resultando $x < 0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Representar e interpretar cualquier punto del círculo unitario mediante sus componentes trigonométricas $(\cos \theta, \sin \theta)$.
Asociar la abscisa $x$ al coseno y la ordenada $y$ al seno del ángulo en posición estándar.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Cada ángulo determina un único punto sobre el círculo unitario.
Es la correspondencia base de la trigonometría del círculo unitario.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el punto asociado a $\theta=0°$ en el círculo unitario?
Es el punto donde coinciden lado inicial y terminal.
Respuesta: A) $(1,0)$
-
¿Cuál es el punto asociado a $\theta=90°$?
El lado terminal apunta hacia el semieje positivo $y$.
Respuesta: A) $(0,1)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El punto asociado a $\theta=180°$ es $(-1,0)$.
El lado terminal apunta hacia el semieje negativo $x$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es el punto asociado a $\theta=270°$?
El lado terminal apunta hacia el semieje negativo $y$.
Respuesta: A) $(0,-1)$
-
Ángulos coterminales comparten el mismo punto en el círculo unitario.
Al tener el mismo lado terminal, corresponden al mismo punto.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué condición deben cumplir las coordenadas del punto asociado a un ángulo?
Deben pertenecer al círculo unitario.
Respuesta: A) $x^2+y^2=1$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar el punto de un ángulo?
Es un paso de control necesario.
Respuesta: A) No verificar que las coordenadas cumplan la ecuación del círculo
-
Dos ángulos distintos, no coterminales, siempre corresponden a puntos distintos en el círculo.
Solo ángulos coterminales comparten el mismo punto.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el punto asociado a $\theta=360°$?
$360°$ es coterminal con $0°$.
Respuesta: A) $(1,0)$, igual que $\theta=0°$