Identificación de la amplitud de la función seno base
Resumen inicial
Identificación de la amplitud $A = 1$ de la función seno base y su significado como semidistancia entre el valor máximo y el mínimo.
Explicación en palabras simples
La amplitud de una onda mide la altura máxima que alcanza la curva medida desde su línea media (el eje horizontal central). En la función seno base $y = \sin(x)$, la línea media está en $y = 0$, la cresta más alta sube hasta $1$ y el valle más bajo cae hasta $-1$. Por lo tanto, la distancia desde el centro hasta la punta es exactamente de 1 unidad. En funciones transformadas del tipo $y = A\sin(x)$, la amplitud es el valor absoluto $|A|$.
Explicación formal
Definición formal
La amplitud de una función oscilatoria continua se define como la mitad de la diferencia (distancia vertical) entre su valor máximo absoluto $y_{\max}$ y su valor mínimo absoluto $y_{\min}$:
$$\text{Amplitud} = \frac{y_{\max} - y_{\min}}{2}$$
Para la función seno base $f(x) = \sin(x)$, donde $y_{\max} = 1$ e $y_{\min} = -1$:
$$\text{Amplitud} = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
Para la función general $f(x) = A\sin(Bx + C) + D$, la amplitud se calcula mediante el valor absoluto:
$$\text{Amplitud} = |A|$$
Desglose simbólico
- $|A|$: Magnitud escalar no negativa que mide el estiramiento o compresión vertical de la onda.
- Línea media de equilibrio: Recta horizontal $y = D$.
- Distancia de cresta a línea media: $y_{\max} - D = (D + |A|) - D = |A|$.
Síntesis didáctica
La amplitud siempre es un número positivo o nulo (es una distancia). Modificar el parámetro $A$ estira o aplasta verticalmente la curva sin cambiar los puntos donde la gráfica cruza la línea central de equilibrio.
La alternativa correcta es 'Exactamente $1$'. La distancia desde la línea media $y = 0$ hasta la cresta $y = 1$ es $1$.
Definiciones clave
- Amplitud: Semidistancia vertical comprendida entre el pico máximo y el pico mínimo de la oscilación.
- Línea de equilibrio / Línea media: Recta horizontal equidistante del valor máximo y del mínimo.
- Factor de escala vertical ($A$): Coeficiente que multiplica a la expresión sinusoidal.
Propiedades y relaciones importantes
- Positividad estricta de la amplitud: Aunque el coeficiente $A$ sea negativo (como $-4\sin x$), la amplitud es una distancia no negativa y vale $|-4| = 4$.
- Independencia del período: Cambiar la amplitud no afecta el período $T$ ni la frecuencia de la función.
Ejemplo guiado
Calcula la amplitud y la línea media de la función sinusoidal $f(x) = -6\sin(3x + \pi) + 2$.
- Paso 1: Identificar el coeficiente multiplicativo del seno: $A = -6$.
- Paso 2: Calcular la amplitud tomando su valor absoluto: $\text{Amplitud} = |A| = |-6| = 6$.
- Paso 3: Identificar la constante de desplazamiento vertical: $D = 2$. La línea media es la recta $y = 2$.
- Paso 4: Comprobar el rango: $y_{\max} = 2 + 6 = 8$ e $y_{\min} = 2 - 6 = -4$. Semidistancia: $\frac{8 - (-4)}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
La alternativa correcta es '$5$'. La amplitud es el valor absoluto del coeficiente: $|-5| = 5$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el coeficiente $A$ que multiplica a la función seno.
- Paso 2: Aplicar la función valor absoluto $|A|$.
- Paso 3: O bien, restar el valor máximo menos el mínimo y dividir por 2 ($\frac{y_{\max} - y_{\min}}{2}$).
- Paso 4: Expresar la amplitud como un número real positivo o nulo.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Afirmar que la amplitud de $-3\sin(x)$ es $-3$. Cómo corregirlo: La amplitud mide una distancia geométrica de oscilación, por lo que siempre es un número positivo no negativo ($|-3| = 3$).
- Error 2: Confundir la amplitud con la distancia total de cresta a valle ($y_{\max} - y_{\min}$). Cómo corregirlo: La distancia total de pico a pico es el doble de la amplitud; la amplitud es la mitad de esa distancia total.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- El coeficiente $A = 0.5$.
- La amplitud es $|0.5| = 0.5$.
- El desplazamiento desplaza toda la gráfica hacia arriba.
- La semidistancia desde la línea media $y = 10$ a la cresta $y = 11$ sigue midiendo $1$.
- Sí, al ser definida mediante el valor absoluto $|A|$, nunca puede ser negativa.
- Sí, pues la distancia pico a pico es $2 \times \text{Amplitud} = 2 \times 4 = 8$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Identificar y calcular la amplitud de la función seno base y de sus transformaciones.
Obtener el valor absoluto $|A|$ del coeficiente multiplicativo o calcular la semidistancia $\frac{y_{\max} - y_{\min}}{2}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es la amplitud de $f(x)=\sin(x)$?
Es la mitad de la distancia entre máximo y mínimo.
Respuesta: A) 1
-
La amplitud se calcula como (máximo-mínimo)/2.
Es la fórmula general de amplitud.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué representa geométricamente la amplitud?
Es la interpretación gráfica de la amplitud.
Respuesta: A) La distancia vertical desde la línea media hasta el máximo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La amplitud nunca puede ser un valor negativo.
Se define como una distancia, siempre no negativa.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Calcula la amplitud sabiendo que el máximo es $1$ y el mínimo es $-1$.
$(1-(-1))/2=1$.
Respuesta: A) 1
-
¿La amplitud de $f(x)=\sin(x)$ es igual a la de $g(x)=\cos(x)$?
Ambas funciones oscilan entre $-1$ y $1$.
Respuesta: A) Sí, ambas valen 1
-
La amplitud es lo mismo que el valor máximo de la función.
La amplitud es la mitad de la distancia entre máximo y mínimo, no el máximo directamente.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular la amplitud?
Es un error de cálculo muy común.
Respuesta: A) Olvidar dividir por 2
-
La amplitud de la función seno básica coincide con su valor máximo, ya que la línea media es el eje $x$.
Coincidencia particular de la función básica, no general para todas las transformaciones.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué distancia total recorre verticalmente la curva del seno en un período?
Sube $2$ unidades (de $-1$ a $1$) y baja $2$ unidades en cada período.
Respuesta: A) 4 (dos amplitudes de ida y vuelta)