Identificación de máximos y mínimos de la función coseno base
Determinar los valores de $x$ donde $f(x)=\cos(x)$ alcanza sus máximos y mínimos absolutos.
Introducción
A diferencia del seno, el coseno alcanza su primer máximo exactamente en $x=0$, sin necesidad de avanzar ningún ángulo.
Explicación
Definición formal
El máximo de $\cos(x)$ ocurre cuando el punto asociado es $(1,0)$, es decir, cuando $x=2n\pi$. El mínimo ocurre cuando el punto asociado es $(-1,0)$, es decir, cuando $x=\pi+2n\pi$.
Desarrollo didáctico
Dentro de un período, el máximo se alcanza en $x=0$ y el mínimo en $x=\pi$. Sumando múltiplos de $2\pi$ se obtienen todos los demás máximos y mínimos: $x=2\pi$ también es un máximo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el primer máximo dentro de un período, en $x=0$.
- Paso 2: Suma múltiplos de $2\pi$ para encontrar todos los demás máximos.
- Paso 3: Repite el proceso con $x=\pi$ para encontrar todos los mínimos.
Ejemplos
1 ¿Es $x=4\pi$ un máximo de $f(x)=\cos(x)$?
- Se verifica: $4\pi=2\cdot2\pi$.
- Sí, es un máximo, ya que corresponde a dos períodos completos después de $0$.
2 ¿Es $x=-\pi$ un mínimo de $f(x)=\cos(x)$?
- Se calcula $\cos(-\pi)=-1$.
- Sí, es un mínimo de la función.
3 ¿La distancia entre dos máximos consecutivos de $f(x)=\cos(x)$ es igual al periodo $2\pi$?
- Al repetirse el patrón cada $2\pi$, los máximos también se repiten con esa misma separación.
4 ¿El máximo de $f(x)=\cos(x)$ ocurre en el mismo valor de $x$ que el máximo de $g(x)=\sin(x)$?
- El máximo del coseno ocurre en $x=0$; el del seno, en $x=\pi/2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la posición del máximo con la del mínimo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar sumar múltiplos de $2\pi$ para encontrar todos los máximos y mínimos posibles."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir estos valores con los ceros de la función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la fórmula del coseno a la función seno, donde las posiciones son distintas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La función $f(x)=\cos(x)$ alcanza su **máximo** ($y=1$) en $x=2n\pi$, y su **mínimo** ($y=-1$) en $x=\pi+2n\pi$, para cualquier entero $n$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿En qué valor de $x$ está el primer máximo de $f(x)=\cos(x)$?
Es donde $\cos(x)$ alcanza el valor $1$, desde el inicio.
Respuesta: A) $0$
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El mínimo de $f(x)=\cos(x)$ en $[0,2\pi]$ está en $x=\pi$.
Es donde $\cos(x)=-1$.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es la fórmula general de los máximos de $f(x)=\cos(x)$?
Es la fórmula general para todos los máximos del coseno.
Respuesta: A) $x=2n\pi$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x=4\pi$ es un máximo de $f(x)=\cos(x)$.
$4\pi=2\cdot2\pi$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál es la fórmula general de los mínimos de $f(x)=\cos(x)$?
Es la fórmula general para todos los mínimos del coseno.
Respuesta: A) $x=\pi+2n\pi$
-
¿Es $x=-\pi$ un mínimo de $f(x)=\cos(x)$?
$-\pi=\pi+2n\pi$ con $n=-1$.
Respuesta: A) Sí
-
El máximo del coseno ocurre exactamente donde ocurre el máximo del seno.
El máximo del coseno está en $x=0$; el del seno, en $x=\pi/2$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Los máximos consecutivos del coseno están separados por un período completo.
Es consecuencia de la periodicidad.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál de estos valores es un mínimo de $f(x)=\cos(x)$?
$3\pi=\pi+2\pi$, un mínimo.
Respuesta: A) $3\pi$
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar máximos y mínimos del coseno?
Es un error frecuente al mezclar ambas funciones.
Respuesta: A) Confundir con las posiciones del seno