Determinación del recorrido de la función coseno

Resumen inicial

Determinación del recorrido (rango) de la función coseno $f(x) = \cos(x)$ acotado estrictamente en el intervalo $[-1, 1]$.

Explicación en palabras simples

El recorrido o rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida ($y$) que la función puede producir. En el círculo unitario, la posición horizontal más a la derecha es $1$ y la posición más a la izquierda es $-1$. Por esta razón, por mucho que cambies el ángulo $x$, la gráfica del coseno jamás subirá más arriba de $1$ ni bajará más abajo de $-1$. El recorrido del coseno base es el intervalo cerrado $[-1, 1]$.

Explicación formal

Definición formal

El recorrido (o conjunto imagen) de la función coseno fundamental $f(x) = \cos(x)$ se define analíticamente como el intervalo cerrado de números reales:
$$\operatorname{Rec}(f) = \operatorname{Im}(f) = \{y \in \mathbb{R} : -1 \le y \le 1\} = [-1, 1]$$
demostrado a partir de la acotación geométrica del círculo unitario $\mathcal{C}: x^2 + y^2 = 1 \implies x^2 = 1 - y^2 \le 1 \implies |x| \le 1$.

Desglose simbólico

Cota inferior (mínimo absoluto): $y_{\min} = -1$, alcanzado en los puntos $x = \pi + 2k\pi$.
Cota superior (máximo absoluto): $y_{\max} = 1$, alcanzado en los puntos $x = 2k\pi$.
Intervalo cerrado: Los extremos $-1$ y $1$ están incluidos en el conjunto imagen.

Síntesis didáctica

El recorrido acota la oscilación de la onda cosenoidal. Si en un problema la función coseno base da como resultado un número fuera del rango $[-1, 1]$ (como $1.5$ o $-2$), significa que se cometió un error algebraico o que la ecuación carece de solución real.

Definiciones clave

Recorrido / Rango ($\operatorname{Rec}$): Conjunto de valores de salida $y$ generados por la función.
Función acotada: Propiedad de una función cuyas salidas están limitadas superior e inferiormente por valores constantes.
Intervalo cerrado $[-1, 1]$: Rango continuo que incluye todas las posiciones horizontales entre $-1$ y $1$ ambos inclusive.

Propiedades y relaciones importantes

Modificación por amplitud: En una función de la forma $f(x) = A\cos(x)$, el recorrido se escala al intervalo $[-|A|, |A|]$.
Modificación por desplazamiento vertical: En $f(x) = \cos(x) + D$, el recorrido se desplaza al intervalo $[-1 + D, 1 + D]$.

Ejemplo guiado

Determina el recorrido de la función transformada $g(x) = 2\cos(x) - 3$ identificando sus cotas mínima y máxima.

Paso 1: Recordar el recorrido de la función coseno base: $-1 \le \cos(x) \le 1$.
Paso 2: Multiplicar la desigualdad por la amplitud $A = 2$: $-2 \le 2\cos(x) \le 2$.
Paso 3: Restar el desplazamiento vertical $D = 3$ a todos los miembros: $-2 - 3 \le 2\cos(x) - 3 \le 2 - 3$.
Paso 4: Resolver las restas: $-5 \le g(x) \le -1$. El recorrido de la función transformada es $\operatorname{Rec}(g) = [-5, -1]$.

Procedimiento

Paso 1: Partir de la restricción base del coseno: $-1 \le \cos(x) \le 1$.
Paso 2: Aplicar la multiplicación de la amplitud $|A|$ a los límites del intervalo.
Paso 3: Sumar o restar el desplazamiento vertical $D$ a ambos extremos.
Paso 4: Escribir el intervalo cerrado resultante $[y_{\min}, y_{\max}]$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Usar un intervalo abierto $]-1, 1[$ pensando que los extremos no se alcanzan. Cómo corregirlo: La función coseno alcanza exactamente los valores de $-1$ y $1$ en los cuadrantales ($0$ y $\pi$), por lo que los corchetes deben ser cerrados.
Error 2: Creer que la función coseno no tiene solución para ecuaciones dentro del recorrido. Cómo corregirlo: Para cualquier valor $k \in [-1, 1]$, la ecuación $\cos x = k$ posee infinitas soluciones reales.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La afirmación de que el recorrido de la función coseno base es el conjunto de todos los números reales $\mathbb{R}$."

"La afirmación de que la ecuación $\cos(x) = 2$ posee solución real."

"La afirmación de que el escalado de la función por una constante negativa convierte el recorrido en números imaginarios."

"La afirmación de que los extremos $-1$ y $1$ están excluidos del recorrido."

"El recorrido o conjunto imagen de la función coseno base $f(x) = \cos(x)$ es el intervalo cerrado $[-1, 1]$."

"La afirmación de que la función coseno no puede tomar valores negativos."

"Toda ecuación de la forma $\cos(x) = c$ carece de soluciones en los números reales si $|c| > 1$."

Al terminar debes poder

Determinar y calcular el recorrido de la función coseno base y de sus transformaciones lineales.

Escalar e intervenir el intervalo acotado $[-1, 1]$ mediante la amplitud $|A|$ y el desplazamiento vertical $D$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Cuál es el recorrido de $f(x)=\cos(x)$?
Es el intervalo de valores que puede tomar la coordenada $x$.

Respuesta: A) $[-1,1]$
$\cos(x)$ puede valer exactamente $-1$.
¿Pertenece $-1{,}3$ al recorrido de $f(x)=\cos(x)$?
El recorrido está acotado entre $-1$ y $1$.

Respuesta: A) No

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$\cos(x)$ puede valer exactamente $1$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿Pertenece $0$ al recorrido de $f(x)=\cos(x)$?
Se alcanza en $x=\pi/2+n\pi$.

Respuesta: A) Sí
¿Cuál es el valor máximo posible de $f(x)=\cos(x)$?
Es el límite superior del recorrido.

Respuesta: A) 1
El recorrido de la función coseno depende del dominio considerado.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el valor mínimo posible de $f(x)=\cos(x)$?
Es el límite inferior del recorrido.

Respuesta: A) -1
Los valores extremos del recorrido, $-1$ y $1$, sí pertenecen al recorrido.
¿Cuál es el error frecuente respecto al recorrido del coseno?
Son dos conceptos distintos que suelen confundirse.

Respuesta: A) Confundirlo con el dominio

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación