Determinación del recorrido de la función coseno
Determinar que el recorrido de $f(x)=\cos(x)$ es el intervalo $[-1,1]$.
Introducción
Al igual que el seno, el resultado del coseno siempre queda restringido a un rango pequeño y fijo de valores.
Explicación
Definición formal
Como $\cos(x)$ es la coordenada $x$ de un punto sobre el círculo unitario, y todo punto del círculo cumple $-1\leq x\leq1$, se concluye que $-1\leq\cos(x)\leq1$ para todo $x$. Los valores extremos $-1$ y $1$ sí se alcanzan.
Desarrollo didáctico
El máximo $\cos(x)=1$ se alcanza en $x=0$ (y en todos sus coterminales); el mínimo $\cos(x)=-1$ se alcanza en $x=\pi$. Ningún valor de $x$ produce un resultado fuera de $[-1,1]$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Recuerda que $\cos(x)$ representa una coordenada del círculo unitario.
- Paso 2: Verifica que esa coordenada siempre está entre $-1$ y $1$, inclusive.
- Paso 3: Concluye que el recorrido es $[-1,1]$.
Ejemplos
1 ¿Pertenece $0{,}87$ al recorrido de $f(x)=\cos(x)$?
- Se verifica que $-1\leq0{,}87\leq1$.
- Sí, pertenece al recorrido, y de hecho $\cos(\pi/6)\approx0{,}87$.
2 ¿Pertenece $-1{,}2$ al recorrido de $f(x)=\cos(x)$?
- Se verifica que $-1{,}2<-1$.
- No, no existe ningún $x$ tal que $\cos(x)=-1{,}2$.
3 ¿Existe algún valor de $x$ para el cual $\cos(x)=-1$ exactamente?
- Se alcanza en $x=\pi$, y en todos sus ángulos coterminales.
4 ¿El recorrido de $f(x)=\cos(x)$ es el mismo intervalo que el recorrido de $g(x)=\sin(x)$?
- Ambas funciones tienen recorrido $[-1,1]$, aunque alcancen esos valores en distintos puntos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el recorrido con el dominio, que es todo $\mathbb{R}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Excluir los valores extremos $-1$ y $1$, cuando sí se alcanzan."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que el coseno puede tomar valores mayores que $1$ o menores que $-1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No relacionar el recorrido con la definición del coseno como coordenada del círculo unitario."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El recorrido de $f(x)=\cos(x)$ es el intervalo **$[-1,1]$**, ya que el valor del coseno corresponde a una coordenada del círculo unitario, que nunca supera ese rango.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=\cos(x)$?
Es el intervalo de valores que puede tomar la coordenada $x$.
Respuesta: A) $[-1,1]$
-
$\cos(x)$ puede valer exactamente $-1$.
Se alcanza en $x=\pi$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Pertenece $-1{,}3$ al recorrido de $f(x)=\cos(x)$?
El recorrido está acotado entre $-1$ y $1$.
Respuesta: A) No
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\cos(x)$ puede valer exactamente $1$.
Se alcanza en $x=0$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Pertenece $0$ al recorrido de $f(x)=\cos(x)$?
Se alcanza en $x=\pi/2+n\pi$.
Respuesta: A) Sí
-
¿Cuál es el valor máximo posible de $f(x)=\cos(x)$?
Es el límite superior del recorrido.
Respuesta: A) 1
-
El recorrido de la función coseno depende del dominio considerado.
El recorrido $[-1,1]$ es fijo, considerando todo $\mathbb{R}$ como dominio.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el valor mínimo posible de $f(x)=\cos(x)$?
Es el límite inferior del recorrido.
Respuesta: A) -1
-
Los valores extremos del recorrido, $-1$ y $1$, sí pertenecen al recorrido.
El intervalo $[-1,1]$ es cerrado, incluyendo ambos extremos.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el error frecuente respecto al recorrido del coseno?
Son dos conceptos distintos que suelen confundirse.
Respuesta: A) Confundirlo con el dominio