Interpretación del signo de k en una función potencia trasladada verticalmente
Determinar la dirección del desplazamiento vertical según el signo de $k$ en $f(x)=a\cdot x^n+k$.
Introducción
A diferencia de la traslación horizontal, en este caso el signo de $k$ coincide directamente con la dirección visual del desplazamiento.
Explicación
Definición formal
Para $f(x)=a\cdot x^n+k$, un valor $k>0$ suma directamente al resultado de $a\cdot x^n$, elevando toda la curva. Un valor $k<0$ resta, bajando toda la curva. A diferencia de la traslación horizontal, no hay inversión de signo entre la expresión y la dirección del movimiento.
Desarrollo didáctico
$f(x)=x^3+4$ con $k=4>0$ se desplaza hacia arriba: su punto de paso, antes en $(0,0)$, ahora está en $(0,4)$. $f(x)=x^3-4$ con $k=-4<0$ se desplaza hacia abajo: su punto de paso ahora está en $(0,-4)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el valor de $k$ sumado o restado fuera de la potencia.
- Paso 2: Si $k>0$, desplaza hacia arriba; si $k<0$, desplaza hacia abajo.
- Paso 3: Verifica evaluando $f(0)=k$ para confirmar la nueva posición vertical.
Ejemplos
1 ¿Hacia dónde se desplaza $f(x)=x^2+7$ respecto a $x^2$?
- Se identifica $k=7>0$.
- Se desplaza $7$ unidades hacia arriba.
2 ¿Hacia dónde se desplaza $f(x)=x^4-3$ respecto a $x^4$?
- Se identifica $k=-3<0$.
- Se desplaza $3$ unidades hacia abajo.
3 ¿La función $f(x)=x^2-5$ se desplaza hacia arriba respecto a $x^2$?
- Con $k=-5<0$, el desplazamiento es hacia abajo.
4 ¿El signo de $k$ en $f(x)=a\cdot x^n+k$ coincide directamente con la dirección visual del desplazamiento (a diferencia de la traslación horizontal)?
- A diferencia de $h$ en la traslación horizontal, aquí no hay inversión de signo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aplicar la misma lógica de inversión de signo que en la traslación horizontal, cuando aquí no corresponde."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta traslación con una traslación horizontal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar el signo de $k$ antes de determinar la dirección del desplazamiento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que el desplazamiento vertical también mueve el recorrido de la función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En $f(x)=a\cdot x^n+k$, si $k>0$ la curva se desplaza **hacia arriba**; si $k<0$, se desplaza **hacia abajo**.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si $k>0$ en $f(x)=a\cdot x^n+k$, ¿hacia dónde se desplaza la curva?
El signo de $k$ coincide directamente con la dirección del desplazamiento.
Respuesta: A) Hacia arriba
-
$f(x)=x^2-6$ se desplaza hacia abajo respecto a $x^2$.
Con $k=-6<0$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El signo de $k$ se invierte al leer la traslación, como ocurre con $h$?
A diferencia de $h$, no hay inversión de signo en la traslación vertical.
Respuesta: A) No, coincide directamente con la dirección visual
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=x^3+9$ se desplaza hacia arriba.
Con $k=9>0$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Hacia dónde se desplaza $f(x)=5x^2+1$?
$k=1>0$.
Respuesta: A) Hacia arriba
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$f(x)=x^2+k$ con $k<0$ tiene su vértice por debajo del eje $x$.
El vértice se ubica en $(0,k)$, que queda bajo el eje $x$ si $k<0$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Hacia dónde se desplaza $f(x)=x^4-2$?
$k=-2<0$.
Respuesta: A) Hacia abajo
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$f(x)=x^n+k$ y $f(x)=x^n-(-k)$ representan la misma traslación vertical.
Son formas algebraicamente equivalentes de escribir la misma constante.
Respuesta: Verdadero
-
¿Hacia dónde se desplaza $f(x)=-2x^3-8$?
$k=-8<0$, independiente del coeficiente $a=-2$.
Respuesta: A) Hacia abajo
-
¿Cuál es el error frecuente respecto al signo de $k$?
Es un error común mezclar las reglas de ambos tipos de traslación.
Respuesta: A) Aplicar la misma inversión de signo que en la traslación horizontal