Interpretación del signo de h en una función potencia trasladada horizontalmente
Resumen inicial
La interpretación del signo de $h$ en una función potencia $f(x) = a(x - h)^n$ establece que un binomio $(x - h)$ con $h > 0$ genera un desplazamiento hacia las abscisas positivas (derecha), mientras que $(x + c)$ con $c > 0$ genera un desplazamiento hacia las abscisas negativas (izquierda, $h = -c$).
Explicación en palabras simples
¿Por qué $(x - 3)$ mueve la gráfica hacia la DERECHA ($+3$) y $(x + 3)$ la mueve hacia la IZQUIERDA ($-3$)?
- El secreto de la compensación:
- En la función base $y = x^4$, el punto más bajo está en $x = 0$ porque $0^4 = 0$.
- Para que $(x - 3)^4$ valga cero, necesitas que $x - 3 = 0 \implies x = +3$. ¡Tuviste que avanzar hasta $+3$ para lograr lo que antes ocurría en $0$!
- Para que $(x + 5)^4$ valga cero, necesitas que $x + 5 = 0 \implies x = -5$.
- Regla mnemotécnica: La nueva posición del centro es siempre la solución de la ecuación $x - h = 0$.
Explicación formal
Sea $f(x) = x^n$ y $g(x) = f(x - h) = (x - h)^n$. La preimagen que produce el valor crítico $f(0) = 0$ satisface:
$$x - h = 0 \Longleftrightarrow x = h$$
Por lo tanto:
1. Si $h > 0$: El argumento $(x - h)$ exige que la variable aumente en $h$ para evaluar las mismas imágenes de $f$, desplazando el conjunto de puntos en el sentido del vector positivo $\vec{v} = (+h, 0)$.
2. Si $h = -c < 0$ ($c > 0$): El argumento $(x - (-c)) = (x + c)$ exige que la variable disminuya en $c$, desplazando los puntos en el sentido del vector negativo $\vec{v} = (-c, 0)$.
La alternativa correcta es 'h = -10 (desplazamiento a la izquierda)'. En la forma canónica $a(x - h)^n$, $(x + 10) = (x - (-10))$, luego $h = -10$.
Definiciones clave
- Ecuación de anulación de argumento: Condición $x - h = 0$ que localiza la coordenada $x$ del centro transformado.
- Compensación de preimagen: Mecanismo algebraico donde un retraso en el argumento requiere mayores valores de $x$.
Propiedades y relaciones importantes
- Dualidad signo-sentido: Binomio negativo $(x - h) \iff$ desplazamiento a la derecha $+h$; binomio positivo $(x + h) \iff$ desplazamiento a la izquierda $-h$.
Ejemplo guiado
Resuelve la ecuación de anulación e interpreta el sentido del desplazamiento para:
1) $f(x) = (x - 12)^6$
2) $g(x) = (x + 8)^5$
- Paso 1: Para $f(x) = (x - 12)^6$: - Resolver: $x - 12 = 0 \implies \mathbf{x = +12}$. - Conclusión: Desplazamiento de **12 unidades hacia la DERECHA** ($h = +12$).
- Paso 2: Para $g(x) = (x + 8)^5$: - Resolver: $x + 8 = 0 \implies \mathbf{x = -8}$. - Conclusión: Desplazamiento de **8 unidades hacia la IZQUIERDA** ($h = -8$).
La alternativa correcta es 'En x = 4'. El mínimo ocurre cuando el binomio se hace cero: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.
Procedimiento
- Paso 1: Observar el binomio elevado a la potencia $(x \pm c)$.
- Paso 2: Igualar el interior del paréntesis a cero: $x \pm c = 0$.
- Paso 3: Despejar $x$ para obtener el valor con signo de $h$.
- Paso 4: Asignar la dirección: si $x = +c \implies$ Derecha; si $x = -c \implies$ Izquierda.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Pensar que $h$ es simplemente el número que se ve escrito sin cambiar de signo.
- Cómo corregirlo: La forma estándar tiene un signo menos obligatorio $a(x - \mathbf{h})^n$. Por eso, si ves $(x + 4)$, debes descomponerlo como $(x - (\mathbf{-4}))$, concluyendo que $h = -4$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $x - 15 = 0 \implies h = 15$.
- Paso 1: $x + 6 = 0 \implies h = -6$.
- Paso 1: $h = -2{,}5 \implies$ hacia la izquierda.
- Paso 1: $x - 100 = 0 \implies x = 100$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Interpretar rigurosamente el signo de h en una función potencia trasladada horizontalmente.
Resolviendo la ecuación x - h = 0 para deducir la posición y dirección exacta del centro sobre el eje X.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si $h>0$ en $f(x)=a(x-h)^n$, ¿hacia dónde se desplaza la curva?
Es la convención estándar de la forma $(x-h)$.
Respuesta: A) Hacia la derecha
-
$f(x)=(x+3)^2$ se desplaza hacia la izquierda respecto a $x^2$.
Equivale a $h=-3<0$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cómo se reescribe $(x+7)^n$ para identificar $h$?
Se identifica el valor de $h$ como el opuesto del término sumado.
Respuesta: A) $(x-(-7))^n$, con $h=-7$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=(x-8)^3$ se desplaza hacia la derecha.
Con $h=8>0$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Hacia dónde se desplaza $f(x)=(x-10)^2$?
$h=10>0$.
Respuesta: A) Hacia la derecha
-
¿Hacia dónde se desplaza $f(x)=(x+5)^4$?
Equivale a $h=-5<0$.
Respuesta: A) Hacia la izquierda
-
El signo dentro del paréntesis es contrario a la dirección visual del desplazamiento.
Un signo negativo en $(x-h)$ produce desplazamiento a la derecha cuando $h>0$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto al signo de $h$?
Es el error más común en este tema.
Respuesta: A) Invertir la dirección del desplazamiento
-
$f(x)=(x-(-2))^2$ y $f(x)=(x+2)^2$ representan la misma función.
Son formas equivalentes de escribir la misma traslación.
Respuesta: Verdadero
-
¿Hacia dónde se desplaza $f(x)=(x-0{,}5)^3$?
$h=0{,}5>0$.
Respuesta: A) Hacia la derecha