Interpretación del signo de h en una función potencia trasladada horizontalmente

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

En la expresión de una función potencia trasladada $g(x) = a (x - h)^n$, un signo negativo $(x - c)$ desplaza la gráfica hacia la derecha, y un signo positivo $(x + c)$ la desplaza hacia la izquierda.

Explicación en palabras simples

El signo dentro del paréntesis de una función potencia trasladada horizontalmente funciona de forma opuesta a la intuición visual inicial. Cuando vemos $(x - 3)^n$, el signo menos significa que el parámetro es $h = +3$, por lo que la gráfica se desplaza 3 unidades hacia la derecha (dirección positiva del eje $x$). En cambio, cuando vemos $(x + 3)^n$, significa que es $(x - (-3))^n$ con $h = -3$, por lo que la gráfica se desplaza 3 unidades hacia la izquierda (dirección negativa).

Explicación formal

Definición formal

La regla de los signos para la traslación horizontal en la familia de funciones potencia $g(x) = a (x - h)^n$ con $h \in \mathbb{R}$ se rige analíticamente por la posición del cero del binomio $(x - h) = 0 \implies x = h$:

  1. Desplazamiento a la Derecha ($h > 0$):
  2. Estructura algebraica: $g(x) = a (x - c)^n$ con $c > 0$.

  3. Regla geométrica: La gráfica se desplaza $c$ unidades hacia la derecha ($+x$). El vértice pasa a $(c, 0)$.

  4. Desplazamiento a la Izquierda ($h < 0$):

  5. Estructura algebraica: $g(x) = a (x + c)^n$ con $c > 0$ (puesto que $x - (-c) = x + c$).
  6. Regla geométrica: La gráfica se desplaza $c$ unidades hacia la izquierda ($-x$). El vértice pasa a $(-c, 0)$.

Síntesis didáctica

Identificación rápida por anulación del paréntesis: Para saber hacia dónde y cuánto se desplazó el vértice u origen de la función potencia, basta con igualar el interior del paréntesis a cero:
$$(x - h) = 0 \implies x = h$$
Si $h$ resulta positivo $\implies$ traslación a la derecha. Si $h$ resulta negativo $\implies$ traslación a la izquierda.

Comprueba tu avance ¿Hacia qué dirección y en cuántas unidades se desplaza la gráfica de la función potencia $f(x) = (x + 4)^3$ respecto a la función base $y = x^3$?

Definiciones clave

  • Forma resta $(x - c)$: Representación de una traslación horizontal hacia la derecha ($h = c > 0$).
  • Forma suma $(x + c)$: Representación de una traslación horizontal hacia la izquierda ($h = -c < 0$).
  • Raíz del paréntesis $x = h$: Valor de abscisa que anula el argumento del binomio determinando la nueva posición del vértice.

Propiedades y relaciones importantes

  • Preservación del signo del coeficiente $a$: El signo dentro del paréntesis $(x \mp c)$ controla exclusivamente la posición horizontal y no altera la apertura ni la concavidad regidas por $a$.
  • Relación con asíntotas verticales: En potencias de exponente negativo $a(x - h)^{-m}$, la asíntota vertical se desplaza a la recta $x = h$.

Ejemplo guiado

Determina la dirección, la cantidad de unidades de traslación y las coordenadas del nuevo vértice para las siguientes funciones potencia: A) $f(x) = 2(x - 5)^4$, B) $g(x) = -3(x + 2)^3$.

  • Paso 1: Para $f(x) = 2(x - 5)^4$, igualamos el paréntesis a cero: $x - 5 = 0 \implies x = 5$.
  • Paso 2: Como $h = 5 > 0$, la gráfica se desplaza **5 unidades hacia la derecha**. El nuevo vértice se ubica en $(5, 0)$.
  • Paso 3: Para $g(x) = -3(x + 2)^3$, igualamos el paréntesis a cero: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
  • Paso 4: Como $h = -2 < 0$, la gráfica se desplaza **2 unidades hacia la izquierda**. El nuevo punto de inflexión se ubica en $(-2, 0)$.
Comprueba tu avance Dada la función potencia $f(x) = -2(x - 7)^2$, ¿cuál es la abscisa del vértice de su parábola?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar la expresión dentro de la potencia en la función $f(x) = a (x - h)^n$.
  • Paso 2: Igualar el binomio a cero: $x - h = 0 \implies x = h$.
  • Paso 3: Si $h > 0$ (aparece como $-h$ en el paréntesis), declarar traslación hacia la **derecha**.
  • Paso 4: Si $h < 0$ (aparece como $+c$ en el paréntesis), declarar traslación hacia la **izquierda**.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Interpretar $(x - 4)^n$ como una traslación hacia la izquierda por ver el signo menos. Cómo corregirlo: La fórmula estándar es $(x - h)$. Por ello, $(x - 4)$ significa $h = +4$, desplazando la curva hacia la derecha.
  • Error 2: Interpretar $(x + 4)^n$ como una traslación hacia la derecha por ver el signo más. Cómo corregirlo: $(x + 4)$ es idéntico a $(x - (-4))$, lo que indica que $h = -4$ desplaza la curva hacia la izquierda.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿La gráfica de $f(x) = (x - 6)^2$ se desplaza 6 unidades a la derecha?
2 ¿La gráfica de $g(x) = (x + 3)^4$ tiene su vértice en $(-3, 0)$?
3 ¿La asíntota vertical de $h(x) = \frac{1}{(x - 2)^2}$ se desplaza a $x = 2$?
4 ¿El signo $+c$ dentro del paréntesis indica que $h$ es negativo?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La función $f(x) = (x + 2)^2$ tiene su vértice ubicado en el punto $(2, 0)$."
"La abscisa del punto de referencia o vértice de la función potencia trasladada se obtiene resolviendo la ecuación $x - h = 0 \implies x = h$."
"Un desplazamiento hacia la izquierda requiere que la fórmula lleve un signo negativo explícito."
"Igualar el binomio interno a cero no permite hallar la posición horizontal del vértice."
"El signo positivo dentro del paréntesis $(x + 4)$ desplaza la gráfica en dirección $+x$."
"La función $f(x) = (x - 5)^3$ representa un desplazamiento de 5 unidades hacia la izquierda."
"En la función potencia $f(x) = a (x - h)^n$, la resta $(x - c)$ desplaza la gráfica $c$ unidades a la derecha ($h > 0$), mientras que la suma $(x + c)$ la desplaza $c$ unidades a la izquierda ($h < 0$)."

Al terminar debes poder

🎯 QUÉ Objetivo

Interpretar el sentido geométrico del parámetro $h$ en $(x - h)^n$.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Asociar la expresión $(x - 3)^n$ con un desplazamiento a la derecha y $(x + 3)^n$ con un desplazamiento a la izquierda.

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. $f(x)=(x+3)^2$ se desplaza hacia la izquierda respecto a $x^2$.

  2. ¿Cómo se reescribe $(x+7)^n$ para identificar $h$?

  3. Si $h>0$ en $f(x)=a(x-h)^n$, ¿hacia dónde se desplaza la curva?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. $f(x)=(x-8)^3$ se desplaza hacia la derecha.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Hacia dónde se desplaza $f(x)=(x-10)^2$?

  2. ¿Hacia dónde se desplaza $f(x)=(x+5)^4$?

  3. El signo dentro del paréntesis es contrario a la dirección visual del desplazamiento.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente respecto al signo de $h$?

  2. $f(x)=(x-(-2))^2$ y $f(x)=(x+2)^2$ representan la misma función.

  3. ¿Hacia dónde se desplaza $f(x)=(x-0{,}5)^3$?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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