Efecto de las traslaciones en las asíntotas de funciones potencia negativas

Resumen inicial

El efecto de las traslaciones en funciones potencia con exponente negativo $g(x) = \frac{a}{(x - h)^k} + k_v$ desplaza rígidamente el sistema de asíntotas ortogonales a la asíntota vertical $\mathcal{A}_V: x = h$ y a la asíntota horizontal $\mathcal{A}_H: y = k_v$, actualizando el dominio a $\operatorname{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{h\}$.

Explicación en palabras simples

$El efecto de las traslaciones en funciones potencia con exponente negativo $g(x) = \frac{a}{(x - h)^k} + k_v$ desplaza rígidamente el sistema de asíntotas ortogonales a la asíntota vertical $\mathcal{A}_V: x = h$ y a la asíntota horizontal $\mathcal{A}_H: y = k_v$, actualizando el dominio a $\operatorname{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{h\}$$

Las funciones con exponentes negativos (como $\frac{1}{x}$ o $\frac{1}{x^2}$) tienen originalmente dos asíntotas en los ejes coordenados: vertical en $x = 0$ y horizontal en $y = 0$.

Cuando trasladas la función a $g(x) = \frac{a}{(x - \mathbf{h})^k} + \mathbf{k_v}$:

La Asíntota Vertical SE MUEVE a $x = \mathbf{h}$:
El denominador se anula en $x - h = 0 \implies x = h$.
El dominio queda perforado en $h$: $\operatorname{Dom} = \mathbb{R} \setminus \{h\}$.
La Asíntota Horizontal SE MUEVE a $y = \mathbf{k_v}$:
Cuando $x \to \pm\infty$, la fracción tiende a cero y solo sobrevive $k_v$.
La recta horizontal límite pasa a ser $y = k_v$.
Centro asintótico: La cruz de las dos asíntotas se intersecta en el punto $(h, k_v)$.

Explicación formal

Sea $f(x) = \frac{a}{x^k}$ con $k \in \mathbb{Z}^+$ y $a \in \mathbb{R}^*$, cuyas asíntotas canónicas son $\mathcal{A}_V: x = 0$ y $\mathcal{A}_H: y = 0$.
La aplicación de la traslación $\mathcal{T}_{(h, k_v)}$ genera $g(x) = \frac{a}{(x - h)^k} + k_v$.

Análisis de los nuevos límites asintóticos:
1. Asíntota vertical:
$$\lim_{x \to h^\pm} g(x) = \lim_{x \to h^\pm} \left(\frac{a}{(x - h)^k} + k_v\right) = \pm\infty \implies \mathcal{A}_V: x = h$$
Imponiendo $\operatorname{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{h\}$.
2. Asíntota horizontal:
$$\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a}{(x - h)^k} + k_v = 0 + k_v = k_v \implies \mathcal{A}_H: y = k_v$$
3. Recorrido trasladado:
- Para $k$ impar: $\operatorname{Rec}(g) = \mathbb{R} \setminus \{k_v\}$.
- Para $k$ par con $a > 0$: $\operatorname{Rec}(g) = ]k_v, +\infty[$.
- Para $k$ par con $a < 0$: $\operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, k_v[$.

Definiciones clave

Centro asintótico: Punto de intersección $(h, k_v)$ entre las rectas asíntotas $\mathcal{A}_V$ y $\mathcal{A}_H$.
Dominio y recorrido desplazados: Exclusión de $x = h$ en el dominio e inalcanzabilidad de $y = k_v$ en el recorrido.

Propiedades y relaciones importantes

Isometría del sistema asintótico: El ángulo recto de 90° entre la asíntota vertical y horizontal se conserva rígidamente en $(h, k_v)$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El efecto de las traslaciones en funciones potencia con exponente negativo $g(x) = \frac{a}{(x - h)^k} + k_v$ desplaza rígidamente el sistema de asíntotas ortogonales a la asíntota vertical $\mathcal{A}_V: x = h$ y a la asíntota horizontal $\mathcal{A}_H: y = k_v$, actualizando el dominio a $\operatorname{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{h\}$$

Determina las ecuaciones de las asíntotas, el centro asintótico, el dominio y el recorrido de:
1) $f(x) = \frac{4}{x - 3} + 5$
2) $g(x) = \frac{1}{(x + 2)^2} - 1$

Paso 1: Para $f(x) = \frac{4}{x - 3} + 5$ (impar): - Asíntota vertical: $x - 3 = 0 \implies$ **$\mathcal{A}_V: x = 3$**. - Asíntota horizontal: **$\mathcal{A}_H: y = 5$**. - Centro asintótico: **$(3, 5)$**. - **$\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{3\}$** y **$\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} \setminus \{5\}$**.
Paso 2: Para $g(x) = \frac{1}{(x + 2)^2} - 1$ (par): - Asíntota vertical: $x + 2 = 0 \implies$ **$\mathcal{A}_V: x = -2$**. - Asíntota horizontal: **$\mathcal{A}_H: y = -1$**. - Centro asintótico: **$(-2, -1)$**. - **$\operatorname{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$** y **$\operatorname{Rec}(g) = ]-1, +\infty[$**.

Procedimiento

Paso 1: Igualar a cero el binomio del denominador $x - h = 0$ para obtener la asíntota vertical $\mathcal{A}_V: x = h$.
Paso 2: Identificar la constante exterior $k_v$ para obtener la asíntota horizontal $\mathcal{A}_H: y = k_v$.
Paso 3: Excluir $x = h$ del dominio: $\operatorname{Dom} = \mathbb{R} \setminus \{h\}$.
Paso 4: Trazar las ramas de la hipérbola o volcán tomando como nuevo origen de referencia el punto $(h, k_v)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Mantener la asíntota vertical en $x = 0$ cuando la función está trasladada a $\frac{1}{x - 3}$.
Cómo corregirlo: La asíntota vertical se mueve junto con el denominador: en $\frac{1}{x - 3}$, la nueva asíntota vertical es $x = 3$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"No trasladar la asíntota vertical x = h."

"Olvidar ajustar el dominio y recorrido excluyendo los valores asintóticos."

"El dominio de la función potencia negativa trasladada es ℝ \ {h}."

"Las traslaciones desplazan las asíntotas a las rectas x = h e y = kv."

"Confundir la ecuación de la asíntota vertical con la horizontal."

Al terminar debes poder

$Resumen El efecto de las traslaciones en funciones potencia con exponente negativo $g(x) = \frac{a}{(x - h)^k} + k_v$ desplaza rígidamente el sistema de asíntotas ortogonales a la asíntota vertical $\mathcal{A}_V: x = h$ y a la asíntota horizontal $\mathcal{A}_H: y = k_v$, actualizando el dominio a $\operatorname{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{h\}$$

Determinar el efecto de las traslaciones en las asíntotas de potencias negativas.

Formulando las nuevas asíntotas x = h e y = kv y actualizando Dom(g) = ℝ \ {h}.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Cuál es la asíntota vertical de $f(x)=\dfrac{1}{x-4}$?
Se traslada desde $x=0$ hasta $x=h=4$.

Respuesta: A) $x=4$
La asíntota horizontal de $f(x)=\dfrac{1}{x}+5$ es $y=5$.
¿Dónde se cruzan las asíntotas de $f(x)=\dfrac{2}{x-3}+7$?
Corresponde al punto $(h,k)$.

Respuesta: A) En el punto $(3,7)$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

La asíntota vertical de $f(x)=\dfrac{3}{x+2}$ es $x=-2$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Determina ambas asíntotas de $f(x)=\dfrac{-4}{(x+1)^2}+2$.
Se identifican $h=-1$ y $k=2$.

Respuesta: A) $x=-1$ y $y=2$
Determina la asíntota horizontal de $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-9$.
Se traslada desde $y=0$ hasta $y=k=-9$.

Respuesta: A) $y=-9$
El coeficiente $a$ de la función no afecta la posición de las asíntotas.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Las asíntotas trasladadas siempre se cruzan en el punto $(h,k)$.
Determina las asíntotas de $f(x)=\dfrac{5}{(x-10)^3}-1$.
Se identifican $h=10$ y $k=-1$.

Respuesta: A) $x=10$ y $y=-1$
¿Cuál es el error frecuente al determinar asíntotas trasladadas?
Es un error común intercambiar $h$ y $k$.

Respuesta: A) Confundir cuál parámetro corresponde a cada asíntota

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación