Efecto de las traslaciones en las asíntotas de funciones potencia negativas
Determinar cómo se trasladan las asíntotas de $f(x)=a(x-h)^{-n}+k$ respecto a las de la función básica.
Introducción
Cuando una función con exponente negativo se traslada, sus asíntotas se mueven exactamente igual que el resto de la curva.
Explicación
Definición formal
La función básica $g(x)=a\cdot x^{-n}$ tiene asíntotas $x=0$ e $y=0$. Al aplicar $f(x)=g(x-h)+k$, cada asíntota se traslada junto con la curva: la vertical pasa de $x=0$ a $x=h$, y la horizontal pasa de $y=0$ a $y=k$.
Desarrollo didáctico
$f(x)=\dfrac{1}{x-3}+2$: la asíntota vertical, antes en $x=0$, ahora está en $x=3$ (donde el denominador original se anulaba); la asíntota horizontal, antes en $y=0$, ahora está en $y=2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los valores de $h$ y $k$ en la expresión trasladada.
- Paso 2: Traslada la asíntota vertical de $x=0$ a $x=h$.
- Paso 3: Traslada la asíntota horizontal de $y=0$ a $y=k$.
Ejemplos
1 ¿Cuáles son las asíntotas de $f(x)=\dfrac{2}{x+1}-4$?
- Se identifica $h=-1$ y $k=-4$.
- La asíntota vertical es $x=-1$ y la horizontal es $y=-4$.
2 ¿Cuál es la asíntota vertical de $f(x)=\dfrac{5}{x-6}+1$?
- Se identifica $h=6$.
- La asíntota vertical es $x=6$.
3 ¿Las asíntotas vertical y horizontal trasladadas siguen siendo perpendiculares entre sí?
- Una sigue siendo vertical y la otra horizontal, por lo que siguen siendo perpendiculares.
4 ¿El punto donde se cruzan las asíntotas trasladadas es siempre $(h,k)$?
- La asíntota vertical $x=h$ y la horizontal $y=k$ se cruzan exactamente en el punto $(h,k)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Trasladar la asíntota vertical usando el valor de $k$ en vez de $h$, o viceversa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que ambas asíntotas se trasladan simultáneamente cuando la función combina ambos parámetros."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el signo de $h$ al identificar la nueva posición de la asíntota vertical."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar el punto de intersección de las asíntotas como referencia del centro de la curva."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para $f(x)=a(x-h)^{-n}+k$, la **asíntota vertical** se traslada a $x=h$ y la **asíntota horizontal** se traslada a $y=k$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la asíntota vertical de $f(x)=\dfrac{1}{x-4}$?
Se traslada desde $x=0$ hasta $x=h=4$.
Respuesta: A) $x=4$
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La asíntota horizontal de $f(x)=\dfrac{1}{x}+5$ es $y=5$.
Se traslada desde $y=0$ hasta $y=k=5$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Dónde se cruzan las asíntotas de $f(x)=\dfrac{2}{x-3}+7$?
Corresponde al punto $(h,k)$.
Respuesta: A) En el punto $(3,7)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La asíntota vertical de $f(x)=\dfrac{3}{x+2}$ es $x=-2$.
Se traslada desde $x=0$ hasta $x=-2$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Determina ambas asíntotas de $f(x)=\dfrac{-4}{(x+1)^2}+2$.
Se identifican $h=-1$ y $k=2$.
Respuesta: A) $x=-1$ y $y=2$
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El coeficiente $a$ de la función no afecta la posición de las asíntotas.
Solo $h$ y $k$ determinan la posición de las asíntotas trasladadas.
Respuesta: Verdadero
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Determina la asíntota horizontal de $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-9$.
Se traslada desde $y=0$ hasta $y=k=-9$.
Respuesta: A) $y=-9$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Las asíntotas trasladadas siempre se cruzan en el punto $(h,k)$.
Es el punto de referencia central de la función trasladada.
Respuesta: Verdadero
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Determina las asíntotas de $f(x)=\dfrac{5}{(x-10)^3}-1$.
Se identifican $h=10$ y $k=-1$.
Respuesta: A) $x=10$ y $y=-1$
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¿Cuál es el error frecuente al determinar asíntotas trasladadas?
Es un error común intercambiar $h$ y $k$.
Respuesta: A) Confundir cuál parámetro corresponde a cada asíntota