Descripción de la traslación vertical de una función potencia

Resumen inicial

La traslación vertical de una función potencia $g(x) = ax^n + k$ desplaza rígidamente la gráfica de $f(x) = ax^n$ en $k$ unidades a lo largo del eje $Y$, ubicando el nuevo vértice o centro en $(0, k)$ y modificando los límites del recorrido.

Explicación en palabras simples

La traslación vertical de una función potencia $g(x) = ax^n + k$ desplaza rígidamente la gráfica de $f(x) = ax^n$ en $k$ unidades a lo largo del eje $Y$, ubicando el nuevo vértice o centro en $(0, k)$ y modificando los límites del recorrido

Cuando sumas o restas un número fuera de la potencia ($ax^n + k$), la gráfica completa sube o baja a lo largo del eje $Y$:

Hacia ARRIBA: Si tienes $x^4 + \mathbf{3}$, todas las alturas suben $3$ unidades (el vértice queda en $(0, 3)$ y el recorrido pasa a ser $[3, +\infty[$).
Hacia ABAJO: Si tienes $x^4 - \mathbf{5}$, todas las alturas bajan $5$ unidades (el vértice queda en $(0, -5)$ y el recorrido pasa a ser $[-5, +\infty[$).
En funciones impares: Si tienes $x^3 + 2$, la curva sube completa y corta al eje $Y$ en $(0, 2)$.

Explicación formal

Sea $f(x) = ax^n$ con $a \in \mathbb{R}^*$ y $n \in \mathbb{Z}^*$. La transformación geométrica de traslación por el vector vertical $\vec{v} = (0, k)$ con $k \in \mathbb{R}$ se define como:
$$\mathcal{T}_{(0, k)}: \operatorname{Gr}(f) \to \operatorname{Gr}(g), \quad (x, y) \mapsto (x, y + k)$$
La ecuación de la función transformada es:
$$g(x) = f(x) + k = ax^n + k$$

Efecto en el conjunto imagen (Recorrido):
- Para $n$ par y $a > 0$: $\operatorname{Rec}(g) = [k, +\infty[$.
- Para $n$ par y $a < 0$: $\operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, k]$.
- Para $n$ impar: $\operatorname{Rec}(g) = \mathbb{R}$ (invariante).

Definiciones clave

Traslación vertical: Desplazamiento rígido paralelo al eje de ordenadas originado por sumar una constante $k$.
Término independiente $k$: Parámetro que determina la cota inferior o superior del recorrido en potencias pares.

Propiedades y relaciones importantes

Intercepto con el eje $Y$: Al evaluar $x = 0$, $g(0) = a(0)^n + k = k$, por lo que el intercepto vertical es siempre $(0, k)$.
Invarianza de simetría axial: El eje de simetría $x = 0$ no cambia en traslaciones verticales puras.

Ejemplo guiado

Ejemplo La traslación vertical de una función potencia $g(x) = ax^n + k$ desplaza rígidamente la gráfica de $f(x) = ax^n$ en $k$ unidades a lo largo del eje $Y$, ubicando el nuevo vértice o centro en $(0, k)$ y modificando los límites del recorrido

Determina el nuevo vértice, el intercepto con el eje $Y$ y el recorrido de:
1) $f(x) = 3x^4 + 7$
2) $g(x) = -x^2 - 9$

Paso 1: Para $f(x) = 3x^4 + 7$: - $k = +7 \implies$ Vértice en **$(0, 7)$**. - Intercepto con el eje $Y$: **$(0, 7)$**. - Recorrido: Como $a = 3 > 0 \implies$ **$\operatorname{Rec}(f) = [7, +\infty[$**.
Paso 2: Para $g(x) = -x^2 - 9$: - $k = -9 \implies$ Vértice en **$(0, -9)$**. - Intercepto con el eje $Y$: **$(0, -9)$**. - Recorrido: Como $a = -1 < 0 \implies$ **$\operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, -9]$**.

Procedimiento

Paso 1: Identificar la constante exterior $k$ sumada o restada a la potencia.
Paso 2: Ubicar el nuevo vértice o punto de inflexión en las coordenadas $(0, k)$.
Paso 3: Si la función es de exponente par, actualizar el recorrido a $[k, +\infty[$ (si $a > 0$) o $]-\infty, k]$ (si $a < 0$).
Paso 4: Trazar la gráfica desplazando rígidamente cada punto $k$ unidades hacia arriba o abajo.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Mantener el recorrido como $[0, +\infty[$ cuando la función tiene un $+ k$ exterior.
Cómo corregirlo: La constante $k$ mueve todo el recorrido: si sumas $k$, el nuevo piso mínimo es $[k, +\infty[$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Pensar que la traslación vertical afecta al dominio."

"La constante exterior k desplaza la gráfica verticalmente a lo largo del eje Y."

"En potencias pares con a > 0, el recorrido se transforma exactamente en [k, +∞[."

"No modificar el recorrido en funciones pares trasladadas verticalmente."

"Confundir la coordenada del vértice (0, k) con (k, 0)."

Al terminar debes poder

Resumen La traslación vertical de una función potencia $g(x) = ax^n + k$ desplaza rígidamente la gráfica de $f(x) = ax^n$ en $k$ unidades a lo largo del eje $Y$, ubicando el nuevo vértice o centro en $(0, k)$ y modificando los límites del recorrido

Describir y graficar la traslación vertical de una función potencia.

Identificando la constante k, ubicando el vértice en (0, k) y actualizando el recorrido a [k, +∞[ o ]-∞, k].

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Qué representa $k$ en $f(x)=a\cdot x^n+k$?
Es el parámetro que traslada la curva a lo largo del eje $y$.

Respuesta: A) El desplazamiento vertical
$f(x)=x^2+6$ tiene su vértice en $(0,6)$.
¿Qué SÍ cambia al aplicar una traslación vertical?
El recorrido se desplaza junto con la curva.

Respuesta: A) El recorrido de la función

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=x^3-4$ pasa por el punto $(0,-4)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Identifica $k$ en $f(x)=x^4+9$.
Se lee directamente de la expresión sumada.

Respuesta: A) 9
¿Dónde se ubica el nuevo vértice de $f(x)=3x^2-7$?
El coeficiente $3$ no afecta la posición vertical del vértice.

Respuesta: A) $(0,-7)$
La traslación vertical afecta el dominio de la función.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al identificar $k$?
Es un error común mezclar ambos tipos de traslación.

Respuesta: A) Confundirlo con el desplazamiento horizontal
$f(x)=x^n+0$ es idéntica a la función básica $x^n$.
¿Cuál es el nuevo vértice de $f(x)=-2x^6+11$?
El signo y magnitud de $a$ no afectan la posición vertical, dada por $k=11$.

Respuesta: A) $(0,11)$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación