Descripción de la traslación vertical de una función potencia
Reconocer el efecto de $f(x)=a\cdot x^n+k$ como un desplazamiento vertical de la gráfica básica.
Introducción
Sumar una constante fuera de la potencia mueve toda la curva hacia arriba o hacia abajo, sin alterar su forma horizontal.
Explicación
Definición formal
Dada $g(x)=a\cdot x^n$, la función $f(x)=g(x)+k=a\cdot x^n+k$ tiene la misma forma que $g$, pero cada punto $(x_0,y_0)$ de $g$ se traslada al punto $(x_0,y_0+k)$ en $f$. El valor de referencia, antes en $y=0$, pasa a estar en $y=k$.
Desarrollo didáctico
$f(x)=x^2+3$ tiene la misma forma de copa que $x^2$, pero su vértice está en $(0,3)$ en vez de $(0,0)$. Evaluar $f(0)=3$ confirma el desplazamiento vertical.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el valor de $k$ sumado fuera de la potencia.
- Paso 2: Reconoce que el valor de referencia se traslada a $y=k$.
- Paso 3: Traza la gráfica básica y desplázala verticalmente según el valor de $k$.
Ejemplos
1 ¿Cuál es el desplazamiento vertical de $f(x)=x^2+5$?
- Se identifica $k=5$.
- La gráfica se desplaza $5$ unidades hacia arriba respecto a $x^2$.
2 ¿En qué punto se ubica el vértice de $f(x)=x^4-2$?
- Se identifica $k=-2$.
- El vértice se ubica en $(0,-2)$.
3 ¿Una traslación vertical afecta el dominio de una función potencia?
- Solo afecta la posición vertical y el recorrido; el dominio permanece igual.
4 ¿Una traslación vertical modifica el recorrido de la función?
- Todo el recorrido se desplaza $k$ unidades en la misma dirección que la traslación.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la traslación vertical con la horizontal, aplicándola sobre $x$ en vez de sobre $y$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que la traslación vertical afecta el dominio de la función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No identificar correctamente el valor de $k$ cuando aparece con signo negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar actualizar el recorrido tras aplicar el desplazamiento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La función $f(x)=a\cdot x^n+k$ corresponde a la gráfica de $g(x)=a\cdot x^n$ **desplazada verticalmente** $k$ unidades.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué representa $k$ en $f(x)=a\cdot x^n+k$?
Es el parámetro que traslada la curva a lo largo del eje $y$.
Respuesta: A) El desplazamiento vertical
-
$f(x)=x^2+6$ tiene su vértice en $(0,6)$.
El vértice se traslada al valor de $k$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué SÍ cambia al aplicar una traslación vertical?
El recorrido se desplaza junto con la curva.
Respuesta: A) El recorrido de la función
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=x^3-4$ pasa por el punto $(0,-4)$.
Es el nuevo punto de paso trasladado.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Identifica $k$ en $f(x)=x^4+9$.
Se lee directamente de la expresión sumada.
Respuesta: A) 9
-
¿Dónde se ubica el nuevo vértice de $f(x)=3x^2-7$?
El coeficiente $3$ no afecta la posición vertical del vértice.
Respuesta: A) $(0,-7)$
-
La traslación vertical afecta el dominio de la función.
El dominio permanece igual; solo cambia la posición vertical.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al identificar $k$?
Es un error común mezclar ambos tipos de traslación.
Respuesta: A) Confundirlo con el desplazamiento horizontal
-
$f(x)=x^n+0$ es idéntica a la función básica $x^n$.
Con $k=0$ no hay desplazamiento vertical.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el nuevo vértice de $f(x)=-2x^6+11$?
El signo y magnitud de $a$ no afectan la posición vertical, dada por $k=11$.
Respuesta: A) $(0,11)$