Descripción de la traslación horizontal de una función potencia

Resumen inicial

La traslación horizontal de una función potencia $f(x) = a x^n$ por $|h|$ unidades desplaza la gráfica paralelamente al eje de las abscisas, adoptando la forma $g(x) = a (x - h)^n$.

Explicación en palabras simples

La traslación horizontal consiste en mover toda la gráfica de una función potencia hacia la izquierda o hacia la derecha sin deformar su tamaño ni su curvatura. Para lograr este desplazamiento horizontal, reemplazamos la variable $x$ por la expresión $(x - h)$ dentro de la potencia. El punto central o vértice de la curva pasa de estar en el origen $(0, 0)$ a ubicarse en la nueva abscisa $(h, 0)$.

Explicación formal

Definición formal

La traslación horizontal de la función potencia $f(x) = a x^n$ mediante el vector de desplazamiento horizontal $\vec{v} = (h, 0)$ es la transformación geométrica descrita por la función:
$$g(x) = f(x - h) = a (x - h)^n$$

Mapeo de pares ordenados

Para todo punto de la curva canónica $(x_0, y_0) \in \operatorname{Graf}(f)$, el punto transformado correspondiente es $(x_0 + h, y_0) \in \operatorname{Graf}(g)$.
Invariancia de Ordenadas: Las alturas verticales $y$ se conservan idénticas, pero ocurren $h$ unidades desplazadas en el eje horizontal $x$.

Síntesis didáctica

Traslación del punto de inflexión o vértice: El centro de simetría u origen $(0, 0)$ de la función potencia canónica se desplaza exactamente al punto cartesiano $(h, 0)$.

Definiciones clave

Traslación horizontal $g(x) = f(x - h)$: Transformación isométrica que desplaza la curva paralelamente al eje $x$.
Parámetro de desplazamiento horizontal $h$: Valor que determina la cantidad de unidades de desplazamiento horizontal.
Vértice trasladado $(h, 0)$: Nueva posición del punto clave de referencia cartesiano.

Propiedades y relaciones importantes

Conservación del Recorrido: La traslación horizontal no altera el conjunto recorrido ni las cotas verticales de la función potencia.
Isometría rígida: No modifica la apertura ni la concavidad de la gráfica original.

Ejemplo guiado

Aplica una traslación horizontal de $h = 3$ unidades hacia la derecha a la función potencia $f(x) = 2x^4$, escribe la fórmula resultante $g(x)$ y determina las nuevas coordenadas del vértice y del punto evaluado originalmente en $x = 1$.

Paso 1: Para traslación horizontal de $h = 3$, sustituimos $x$ por $(x - 3)$ en la potencia. Fórmula: $g(x) = 2(x - 3)^4$.
Paso 2: El vértice de $f(x)$ que estaba en $(0, 0)$ se traslada a la nueva abscisa $x = 3 \implies (3, 0)$.
Paso 3: El punto original en $x = 1$ tenía coordenadas $(1, f(1)) = (1, 2)$.
Paso 4: En $g(x)$, esa misma altura $y = 2$ se alcanza en la abscisa $x = 1 + 3 = 4$, ya que $g(4) = 2(4 - 3)^4 = 2(1)^4 = 2$. Punto trasladado: $(4, 2)$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar la función potencia base $f(x) = a x^n$ y la cantidad de unidades de traslación $h$.
Paso 2: Reemplazar cada ocurrencia de la variable $x$ por el binomio $(x - h)$.
Paso 3: Escribir la nueva función en forma canónica $g(x) = a (x - h)^n$.
Paso 4: Actualizar las coordenadas de los puntos clave trasladando sus abscisas $x_0 \to x_0 + h$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Sumar la constante $h$ por fuera de la potencia (ej: escribir $a x^n - h$). Cómo corregirlo: Restar por fuera de la potencia produce una traslación vertical. La traslación horizontal exige que la resta $h$ ocurra directamente sobre la variable $x$ dentro del paréntesis de la potencia: $a(x - h)^n$.
Error 2: Alterar el exponente $n$ al realizar la traslación. Cómo corregirlo: La traslación es una isometría rígida que conserva intacto el exponente $n$ y el coeficiente $a$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Reemplazar $x$ por $(x - h)$ dentro de la potencia cambia el exponente de la función."

"Un desplazamiento horizontal altera el conjunto recorrido de una función potencia de exponente par."

"La traslación horizontal de $f(x) = x^4$ por $h = 3$ unidades equivale a $g(x) = x^4 - 3$."

"La traslación horizontal de una función potencia $f(x) = a x^n$ sustituye a la variable independiente por $(x - h)$, resultando en la función $g(x) = a (x - h)^n$."

"El vértice de la función $f(x) = (x - 2)^3$ permanece en el punto $(0, 0)$."

"La traslación horizontal modifica la concavidad de la parábola."

"Las traslaciones horizontales trasladan las abscisas de todos los puntos de la gráfica por $x \to x + h$ manteniendo inalteradas las ordenadas $y$ y el conjunto recorrido."

Al terminar debes poder

Identificar y aplicar traslaciones horizontales en la función potencia $f(x) = a(x - h)^n$.

Reconocer que reemplazar $x$ por $(x - h)$ desplaza la curva $|h|$ unidades a la derecha ($h > 0$) o a la izquierda ($h < 0$).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

$f(x)=(x-5)^2$ tiene su vértice en $x=5$.
¿Qué NO cambia al aplicar una traslación horizontal?
La forma (copa, s, etc.) se conserva; solo cambia la posición.

Respuesta: A) La forma general de la curva
¿Qué representa $h$ en $f(x)=a(x-h)^n$?
Es el parámetro que traslada la curva a lo largo del eje $x$.

Respuesta: A) El desplazamiento horizontal

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=(x-2)^3$ pasa por el punto $(2,0)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Identifica $h$ en $f(x)=(x-7)^4$.
Se lee directamente de la forma $(x-h)^n$.

Respuesta: A) 7
¿Dónde se ubica el nuevo centro de $f(x)=2(x-1)^2$?
El coeficiente $2$ no afecta la posición horizontal.

Respuesta: A) $x=1$
La traslación horizontal afecta el recorrido de la función.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al identificar $h$?
Es el error más común al leer la forma $(x-h)$.

Respuesta: A) Confundir el signo de $h$
$f(x)=(x-0)^n$ es idéntica a la función básica $x^n$.
¿Cuál es el nuevo centro de $f(x)=-3(x-9)^5$?
El signo y magnitud de $a$ no afectan la posición horizontal, dada por $h=9$.

Respuesta: A) $x=9$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación