Descripción de la traslación horizontal de una función potencia

Resumen inicial

La traslación horizontal de una función potencia $g(x) = a(x - h)^n$ desplaza rígidamente la gráfica de $f(x) = ax^n$ en $h$ unidades a lo largo del eje $X$, moviendo el centro o vértice desde $(0, 0)$ hasta $(h, 0)$.

Explicación en palabras simples

La traslación horizontal de una función potencia $g(x) = a(x - h)^n$ desplaza rígidamente la gráfica de $f(x) = ax^n$ en $h$ unidades a lo largo del eje $X$, moviendo el centro o vértice desde $(0, 0)$ hasta $(h, 0)$

Cuando modificas directamente la $x$ dentro del paréntesis $(x - h)^n$, la gráfica completa se desliza hacia los lados a lo largo del eje $X$ sin cambiar su forma ni su tamaño:

Hacia la DERECHA: Si tienes $(x - \mathbf{3})^n$, la curva se mueve $3$ unidades a la derecha (su centro queda en $x = +3$).
Hacia la IZQUIERDA: Si tienes $(x + \mathbf{4})^n$, la curva se mueve $4$ unidades a la izquierda (su centro queda en $x = -4$).
Punto de referencia: Si era una función par ($x^4$), el vértice se traslada de $(0, 0)$ a $(h, 0)$. Si era impar ($x^3$), el punto de inflexión se mueve a $(h, 0)$.

Explicación formal

Sea $f(x) = ax^n$ con $a \in \mathbb{R}^*$ y $n \in \mathbb{Z}^*$. La transformación geométrica de traslación por el vector $\vec{v} = (h, 0)$ se define como la aplicación:
$$\mathcal{T}_{(h, 0)}: \operatorname{Gr}(f) \to \operatorname{Gr}(g), \quad (x, y) \mapsto (x + h, y)$$
La ecuación cartesiana de la curva transformada satisface:
$$y = g(x) = f(x - h) = a(x - h)^n$$

Eje de simetría y centro invariante:
- Para $n$ par: El eje de simetría axial se traslada desde $x = 0$ a la recta vertical $x = h$.
- Para $n$ impar: El centro de simetría puntual se traslada desde $(0, 0)$ al punto $(h, 0)$.

Definiciones clave

Traslación horizontal: Isometría rígida paralela al eje de abscisas descrita por $f(x - h)$.
Argumento desplazado: Sustitución de la variable $x$ por el binomio $(x - h)$.

Propiedades y relaciones importantes

Invarianza de forma: La apertura, concavidad y derivadas de orden superior se conservan idénticas salvo un cambio de origen.
Conservación de recorrido: En potencias pares con $a > 0$, $\operatorname{Rec}(g) = [0, +\infty[$ se mantiene inalterado.

Ejemplo guiado

Ejemplo La traslación horizontal de una función potencia $g(x) = a(x - h)^n$ desplaza rígidamente la gráfica de $f(x) = ax^n$ en $h$ unidades a lo largo del eje $X$, moviendo el centro o vértice desde $(0, 0)$ hasta $(h, 0)$

Describe la traslación y halla las coordenadas del nuevo vértice / centro para:
1) $f(x) = (x - 6)^4$
2) $g(x) = -2(x + 3)^3$

Paso 1: Para $f(x) = (x - 6)^4$: Se tiene $h = 6 > 0$. Desplazamiento de **6 unidades a la derecha** $\implies$ Vértice trasladado a **$(6, 0)$**.
Paso 2: Para $g(x) = -2(x + 3)^3$: Escribir como $(x - (-3))^3 \implies h = -3 < 0$. Desplazamiento de **3 unidades a la izquierda** $\implies$ Punto de inflexión en **$(-3, 0)$**.

Procedimiento

Paso 1: Identificar el binomio $(x - h)$ dentro de la potencia.
Paso 2: Igualar el binomio a cero para resolver la coordenada horizontal del centro: $x - h = 0 \implies x = h$.
Paso 3: Si $h > 0$, trasladar la gráfica $h$ unidades a la derecha; si $h < 0$, trasladar $|h|$ unidades a la izquierda.
Paso 4: Trazar la misma forma geométrica original con su centro ubicado en $(h, 0)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Mover la gráfica a la izquierda cuando ven $(x - 5)^4$.
Cómo corregirlo: En el eje X los signos actúan de manera contra-intuitiva: $(x - h)$ con signo menos MUEVE A LA DERECHA ($x = +h$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Asumir que la traslación horizontal altera el recorrido."

"El vértice o centro de simetría se traslada exactamente a las coordenadas (h, 0)."

"La transformación f(x - h) desplaza rígidamente la gráfica en h unidades sobre el eje X."

"Confundir el sentido de desplazamiento invirtiendo izquierda y derecha."

"Olvidar trasladar el eje de simetría."

Al terminar debes poder

Resumen La traslación horizontal de una función potencia $g(x) = a(x - h)^n$ desplaza rígidamente la gráfica de $f(x) = ax^n$ en $h$ unidades a lo largo del eje $X$, moviendo el centro o vértice desde $(0, 0)$ hasta $(h, 0)$

Describir y graficar la traslación horizontal de una función potencia.

Identificando el valor de h en a(x - h)ⁿ y trasladando el vértice o inflexión a (h, 0).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

$f(x)=(x-5)^2$ tiene su vértice en $x=5$.
¿Qué NO cambia al aplicar una traslación horizontal?
La forma (copa, s, etc.) se conserva; solo cambia la posición.

Respuesta: A) La forma general de la curva
¿Qué representa $h$ en $f(x)=a(x-h)^n$?
Es el parámetro que traslada la curva a lo largo del eje $x$.

Respuesta: A) El desplazamiento horizontal

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=(x-2)^3$ pasa por el punto $(2,0)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Identifica $h$ en $f(x)=(x-7)^4$.
Se lee directamente de la forma $(x-h)^n$.

Respuesta: A) 7
¿Dónde se ubica el nuevo centro de $f(x)=2(x-1)^2$?
El coeficiente $2$ no afecta la posición horizontal.

Respuesta: A) $x=1$
La traslación horizontal afecta el recorrido de la función.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al identificar $h$?
Es el error más común al leer la forma $(x-h)$.

Respuesta: A) Confundir el signo de $h$
$f(x)=(x-0)^n$ es idéntica a la función básica $x^n$.
¿Cuál es el nuevo centro de $f(x)=-3(x-9)^5$?
El signo y magnitud de $a$ no afectan la posición horizontal, dada por $h=9$.

Respuesta: A) $x=9$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación