Descripción de la traslación horizontal de una función potencia
Reconocer el efecto de $f(x)=a(x-h)^n$ como un desplazamiento horizontal de la gráfica básica.
Introducción
Reemplazar $x$ por $x-h$ dentro de la función desplaza toda la curva a lo largo del eje horizontal, sin cambiar su forma.
Explicación
Definición formal
Dada $g(x)=a\cdot x^n$, la función $f(x)=g(x-h)=a(x-h)^n$ tiene la misma forma que $g$, pero cada punto $(x_0,y_0)$ de $g$ se traslada al punto $(x_0+h,y_0)$ en $f$. El nuevo "centro" de la curva, antes en $x=0$, pasa a estar en $x=h$.
Desarrollo didáctico
$f(x)=(x-3)^2$ tiene la misma forma de copa que $x^2$, pero su vértice está en $x=3$ en vez de $x=0$. Evaluar $f(3)=0$ confirma que el vértice se movió exactamente a esa posición.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el valor de $h$ dentro de la expresión $(x-h)^n$.
- Paso 2: Reconoce que el "centro" de la curva se traslada a $x=h$.
- Paso 3: Traza la gráfica básica y desplázala horizontalmente según el valor de $h$.
Ejemplos
1 ¿Cuál es el desplazamiento horizontal de $f(x)=(x-5)^2$?
- Se identifica $h=5$ en la expresión $(x-h)^2$.
- La gráfica se desplaza $5$ unidades hacia la derecha respecto a $x^2$.
2 ¿En qué valor de $x$ se ubica el nuevo vértice de $f(x)=(x-4)^4$?
- Se identifica $h=4$.
- El vértice se ubica en $x=4$, donde $f(4)=0$.
3 ¿Al trasladar horizontalmente una función potencia, cambia su forma general (copa, s, etc.)?
- Solo cambia la posición de la curva, no su forma ni su tipo.
4 ¿Una traslación horizontal modifica el recorrido de la función?
- Solo afecta el dominio (si corresponde) y la posición en el eje $x$; el recorrido permanece igual.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la dirección del desplazamiento (derecha vs. izquierda) según el signo de $h$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que la traslación horizontal también desplaza verticalmente la curva."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No identificar correctamente el valor de $h$ cuando la expresión no está en la forma estándar $(x-h)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que la traslación cambia el tipo de curva (de copa a s, por ejemplo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La función $f(x)=a(x-h)^n$ corresponde a la gráfica de $g(x)=a\cdot x^n$ **desplazada horizontalmente** $h$ unidades.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
$f(x)=(x-5)^2$ tiene su vértice en $x=5$.
El vértice se traslada al valor de $h$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué NO cambia al aplicar una traslación horizontal?
La forma (copa, s, etc.) se conserva; solo cambia la posición.
Respuesta: A) La forma general de la curva
-
¿Qué representa $h$ en $f(x)=a(x-h)^n$?
Es el parámetro que traslada la curva a lo largo del eje $x$.
Respuesta: A) El desplazamiento horizontal
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=(x-2)^3$ pasa por el punto $(2,0)$.
Es el nuevo punto de paso trasladado.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Identifica $h$ en $f(x)=(x-7)^4$.
Se lee directamente de la forma $(x-h)^n$.
Respuesta: A) 7
-
¿Dónde se ubica el nuevo centro de $f(x)=2(x-1)^2$?
El coeficiente $2$ no afecta la posición horizontal.
Respuesta: A) $x=1$
-
La traslación horizontal afecta el recorrido de la función.
El recorrido depende de la traslación vertical y del coeficiente, no de la horizontal.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al identificar $h$?
Es el error más común al leer la forma $(x-h)$.
Respuesta: A) Confundir el signo de $h$
-
$f(x)=(x-0)^n$ es idéntica a la función básica $x^n$.
Con $h=0$ no hay desplazamiento horizontal.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el nuevo centro de $f(x)=-3(x-9)^5$?
El signo y magnitud de $a$ no afectan la posición horizontal, dada por $h=9$.
Respuesta: A) $x=9$