Análisis de traslaciones horizontales y verticales combinadas

Resumen inicial

El análisis de traslaciones combinadas en funciones potencia $g(x) = a(x - h)^n + k$ aplica el vector de traslación $\vec{v} = (h, k)$ sobre la curva base $f(x) = ax^n$, situando el nuevo vértice o centro de simetría exactamente en el punto cartesiano $(h, k)$.

Explicación en palabras simples

$El análisis de traslaciones combinadas en funciones potencia $g(x) = a(x - h)^n + k$ aplica el vector de traslación $\vec{v} = (h, k)$ sobre la curva base $f(x) = ax^n$, situando el nuevo vértice o centro de simetría exactamente en el punto cartesiano $(h, k)$$

Cuando combinas traslación horizontal y vertical al mismo tiempo, la función tiene la forma completa canónica:

$$g(x) = a(x - \mathbf{h})^n + \mathbf{k} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{\text{Nuevo Centro / Vértice} = (h, k)}$$

¿Cómo encontrar el vértice al instante?
El número de adentro con el signo cambiado te da la coordenada $X$: $h$.
El número de afuera con su mismo signo te da la coordenada $Y$: $k$.
Ejemplo clave: Si tienes $f(x) = 2(x - 3)^4 + 5$:
El vértice está en $(3, 5)$.
El eje de simetría es la recta $x = 3$.
El recorrido es $[5, +\infty[$.

Explicación formal

Sea $f(x) = ax^n$ con $a \in \mathbb{R}^*$ y $n \in \mathbb{Z}^*$. La composición de las traslaciones $\mathcal{T}_{(h, 0)}$ y $\mathcal{T}_{(0, k)}$ define la traslación bidimensional por el vector $\vec{v} = (h, k) \in \mathbb{R}^2$:
$$\mathcal{T}_{(h, k)}: \operatorname{Gr}(f) \to \operatorname{Gr}(g), \quad (x, y) \mapsto (x + h, y + k)$$
La ecuación de la función transformada resultante es:
$$g(x) = a(x - h)^n + k$$

Elementos geométricos característicos transformados:
1. Centro canónico: $(0, 0) \mapsto (h, k)$.
2. Eje de simetría (en $n$ par): $x = h$.
3. Recorrido (en $n$ par):
$$\operatorname{Rec}(g) = \begin{cases} [k, +\infty[ & \text{si } a > 0 \\ ]-\infty, k] & \text{si } a < 0 \end{cases}$$
4. Monotonía por intervalos (en $n$ par con $a > 0$): Estrictamente decreciente en $]-\infty, h]$ y estrictamente creciente en $[h, +\infty[$.

Definiciones clave

Forma canónica trasladada: Estructura $a(x - h)^n + k$ que explicita las coordenadas del punto de referencia $(h, k)$.
Vector de traslación: Vector $\vec{v} = (h, k)$ que define la traslación rígida en el plano.

Propiedades y relaciones importantes

Puntos simétricos: En pares, $g(h - d) = g(h + d)$ para cualquier distancia $d > 0$.
Cálculo del intercepto en $Y$: $g(0) = a(-h)^n + k$, el cual difiere de $k$ cuando $h \neq 0$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El análisis de traslaciones combinadas en funciones potencia $g(x) = a(x - h)^n + k$ aplica el vector de traslación $\vec{v} = (h, k)$ sobre la curva base $f(x) = ax^n$, situando el nuevo vértice o centro de simetría exactamente en el punto cartesiano $(h, k)$$

Analiza exhaustivamente la función $f(x) = -3(x + 2)^4 + 8$:
1) Halla el vértice y el eje de simetría.
2) Determina el dominio y recorrido.
3) Calcula el punto de corte con el eje $Y$.

Paso 1: Identificar parámetros: $a = -3$, $h = -2$, $k = 8$, $n = 4$ (par). - Vértice: **$V(-2, 8)$**. - Eje de simetría: Recta vertical **$x = -2$**.
Paso 2: Dominio y recorrido: - **$\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}$**. - Como $a = -3 < 0$, las ramas abren hacia abajo $\implies$ **$\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 8]$**.
Paso 3: Intercepto con el eje $Y$ ($x = 0$): - $f(0) = -3(0 + 2)^4 + 8 = -3(16) + 8 = -48 + 8 = \mathbf{-40} \implies (0, -40)$.

Procedimiento

Paso 1: Extraer $h$ cambiando el signo del interior del binomio: $(x - h) \implies h$.
Paso 2: Extraer $k$ conservando el signo exterior: $+ k \implies k$.
Paso 3: Ubicar el vértice o punto de inflexión en las coordenadas $(h, k)$.
Paso 4: Trazar el eje de simetría $x = h$ y definir el recorrido acotado por $k$ si la función es par.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Creer que el corte con el eje $Y$ siempre es igual a $k$.
Cómo corregirlo: El corte con el eje $Y$ es $k$ SOLO si $h = 0$. Si la función está trasladada horizontalmente, debes evaluar $f(0) = a(-h)^n + k$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"En la forma canónica g(x) = a(x - h)ⁿ + k, el vértice o centro se ubica en el punto (h, k)."

"Invertir los signos de h y k."

"Olvidar que el eje de simetría se desplaza a x = h."

"Confundir el vértice (h, k) con el intercepto en Y."

"El eje de simetría en funciones potencia pares se traslada a la recta vertical x = h."

Al terminar debes poder

$Resumen El análisis de traslaciones combinadas en funciones potencia $g(x) = a(x - h)^n + k$ aplica el vector de traslación $\vec{v} = (h, k)$ sobre la curva base $f(x) = ax^n$, situando el nuevo vértice o centro de simetría exactamente en el punto cartesiano $(h, k)$$

Analizar y graficar funciones potencia con traslaciones combinadas g(x) = a(x - h)ⁿ + k.

Identificando el vector (h, k), ubicando el centro transformado y calculando dominio, recorrido y cortes cartesianos.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

$f(x)=(x-2)^2+3$ tiene vértice en $(2,3)$.
¿Cuál es el nuevo punto de referencia en $f(x)=a(x-h)^n+k$?
Combina el desplazamiento horizontal $h$ y el vertical $k$.

Respuesta: A) $(h,k)$
¿Cómo se verifica el vértice de una traslación compuesta?
Es el método directo de verificación algebraica.

Respuesta: A) Evaluando $f(h)$ y comprobando que da $k$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=(x+1)^2-5$ tiene vértice en $(-1,-5)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Identifica el punto de referencia de $f(x)=(x-4)^3+2$.
Se identifican $h=4$ y $k=2$.

Respuesta: A) $(4,2)$
Verifica que $(3,-1)$ es el vértice de $f(x)=(x-3)^2-1$.
Se evalúa la función en $x=h$ y se obtiene $k$.

Respuesta: A) $f(3)=(3-3)^2-1=-1$, confirmando el vértice
El orden de aplicar la traslación horizontal y vertical no afecta el resultado final.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al identificar el punto de referencia?
Es un error común de notación.

Respuesta: A) Invertir el orden, escribiendo $(k,h)$ en vez de $(h,k)$
$f(x)=(x-0)^n+0$ es idéntica a la función básica $x^n$.
¿Cuál es el punto de referencia de $f(x)=-(x+6)^4-2$?
Se identifican $h=-6$ y $k=-2$.

Respuesta: A) $(-6,-2)$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación