Análisis de la dilatación vertical cuando |a| > 1
Reconocer que un coeficiente $|a|>1$ produce una dilatación vertical (compresión hacia el eje $y$) de la gráfica básica.
Introducción
Multiplicar la función por un número mayor que $1$ en valor absoluto "estira" la curva, haciéndola crecer más rápido en cada dirección.
Explicación
Definición formal
Para $f(x)=a\cdot g(x)$ con $|a|>1$, cada punto $(x_0,y_0)$ de $g$ se transforma en $(x_0,a\cdot y_0)$, con $|a\cdot y_0|>|y_0|$. Visualmente, la curva se "estira" alejándose del eje $x$ más rápido que la curva original.
Desarrollo didáctico
Comparando $g(x)=x^2$ con $f(x)=4x^2$: en $x=2$, $g(2)=4$ pero $f(2)=16$. La curva de $f$ alcanza valores mucho mayores para el mismo $x$, dando la apariencia de estar más "angosta" o dilatada verticalmente.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Compara el valor absoluto del coeficiente $a$ con $1$.
- Paso 2: Si $|a|>1$, reconoce que la curva se dilata verticalmente respecto a $x^n$.
- Paso 3: Calcula puntos específicos para confirmar el crecimiento más rápido.
Ejemplos
1 ¿Es $f(x)=6x^2$ una dilatación vertical de $g(x)=x^2$?
- Se compara $|6|>1$.
- Sí, es una dilatación vertical.
2 Compara $f(3)$ con $g(3)$ para $f(x)=5x^2$ y $g(x)=x^2$.
- Se calcula $g(3)=9$ y $f(3)=45$.
- $f(3)$ es $5$ veces mayor que $g(3)$, confirmando la dilatación.
3 ¿Una dilatación vertical desplaza la posición del vértice de la curva básica $x^2$?
- El vértice permanece en el origen; solo cambia qué tan rápido crece la curva.
4 ¿Una dilatación vertical siempre corresponde a $|a|>1$?
- Es la condición que distingue la dilatación de la contracción vertical, donde $0<|a|<1$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir dilatación con contracción, invirtiendo la condición sobre $|a|$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que la dilatación vertical desplaza el vértice de la curva."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No comparar el valor absoluto de $a$, sino solo su signo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta transformación con una traslación vertical."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dada $g(x)=x^n$, la función $f(x)=a\cdot x^n$ con $|a|>1$ es una **dilatación vertical**: cada valor de $g$ se multiplica por $|a|$, produciendo una curva que crece más rápido.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué condición sobre $a$ produce una dilatación vertical?
Un coeficiente mayor que $1$ en valor absoluto estira la curva.
Respuesta: A) $|a|>1$
-
$f(x)=7x^2$ es una dilatación vertical de $g(x)=x^2$.
$|7|>1$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué le ocurre visualmente a la curva al aplicar una dilatación vertical?
Es el efecto visual de multiplicar por un valor mayor que $1$.
Respuesta: A) Se estira, alejándose del eje $x$ más rápido
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=10x^4$ crece más rápido que $g(x)=x^4$.
El coeficiente $10>1$ produce dilatación.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Compara $f(2)$ y $g(2)$ para $f(x)=3x^2$ y $g(x)=x^2$.
$3\cdot4=12$ y $1\cdot4=4$.
Respuesta: A) $f(2)=12$ y $g(2)=4$
-
¿Cuál de estas funciones es una dilatación vertical de $x^3$?
Es la única con $|a|>1$.
Respuesta: A) $f(x)=8x^3$
-
Una dilatación vertical cambia la posición del vértice de la curva básica.
El vértice permanece en el origen; solo cambia la rapidez de crecimiento.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al identificar una dilatación vertical?
El criterio depende del valor absoluto, no del signo.
Respuesta: A) Comparar solo el signo de $a$ en vez de su valor absoluto
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$f(x)=-4x^2$ presenta dilatación vertical y reflexión simultáneamente.
$|-4|>1$ produce dilatación, y el signo negativo produce reflexión.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál función crece más rápido: $f(x)=2x^4$ o $g(x)=9x^4$?
Tiene el mayor valor absoluto del coeficiente.
Respuesta: A) $g(x)=9x^4$