Análisis de la dilatación vertical cuando |a| > 1

Resumen inicial

El análisis de la dilatación vertical cuando $|a| > 1$ en $f(x) = ax^n$ describe un estiramiento vertical de factor $|a|$, incrementando la rapidez de cambio de la función y estrechando la abertura de la gráfica hacia el eje de ordenadas.

Explicación en palabras simples

El análisis de la dilatación vertical cuando $|a| > 1$ en $f(x) = ax^n$ describe un estiramiento vertical de factor $|a|$, incrementando la rapidez de cambio de la función y estrechando la abertura de la gráfica hacia el eje de ordenadas

Cuando el número que multiplica a la potencia es mayor que 1 ($a = 2, 3, 5, 10...$), la gráfica experimenta un estiramiento vertical (se vuelve más empinada y cerrada):

¿Qué le pasa a las alturas?
Cada valor de $y$ se multiplica por $a$, haciendo que la curva suba o baje muchísimo más rápido.
Por ejemplo, en $y = x^2$, para $x = 2$ la altura es $4$. Pero en $y = \mathbf{3}x^2$, para $x = 2$ la altura es $12$ (¡el triple!).
Efecto visual: Las ramas de la curva se cierran y se pegan más al eje vertical $Y$ (la curva es más angosta/estrecha).

Explicación formal

Sea $f(x) = x^n$ y $g(x) = ax^n$ con $|a| > 1$. La transformación representa una homotecia vertical de razón $|a|$ con centro en el eje $X$:
$$\mathcal{H}_{(O_y, a)}: (x, y) \mapsto (x, ay)$$

Comportamiento de la tasa de variación y apertura:
1. Tasa de cambio instantánea: $|g'(x)| = |a| \cdot |f'(x)| > |f'(x)|$ para todo $x \neq 0$. El crecimiento es estrictamente más acelerado.
2. Abertura geométrica: Para cualquier altura fija $y_0 > 0$ en funciones pares, la separación horizontal de las ramas en $g(x)$ satisface:
$$\Delta x_g = 2\sqrt[n]{y_0 / a} < 2\sqrt[n]{y_0} = \Delta x_f$$
Demostrando que las ramas de $g(x)$ son estrictamente más estrechas que las de $f(x)$.

Definiciones clave

Dilatación vertical: Estiramiento escalar de ordenadas por un factor $|a| > 1$.
Curva más estrecha: Reducción de la distancia horizontal entre ramas para un mismo nivel de altura $y$.

Propiedades y relaciones importantes

Puntos calibradores: En $x = 1$, la altura es exactamente $g(1) = a$.
Invarianza del vértice: En $x = 0$, $g(0) = a(0)^n = 0$, el origen permanece fijo.

Ejemplo guiado

Ejemplo El análisis de la dilatación vertical cuando $|a| > 1$ en $f(x) = ax^n$ describe un estiramiento vertical de factor $|a|$, incrementando la rapidez de cambio de la función y estrechando la abertura de la gráfica hacia el eje de ordenadas

Compara las ordenadas y la rapidez de crecimiento entre $f(x) = x^4$ y $g(x) = 5x^4$:
1) Evalúa en $x = 1, 2$.
2) Explica por qué $g(x)$ es más estrecha que $f(x)$.

Paso 1: Comparación de tablas de valores: - En $x = 1$: $f(1) = 1^4 = 1$, mientras que $g(1) = 5(1)^4 = \mathbf{5}$ ($5$ veces más alto). - En $x = 2$: $f(2) = 2^4 = 16$, mientras que $g(2) = 5(2)^4 = 5(16) = \mathbf{80}$ ($5$ veces más alto).
Paso 2: Como para cada $x$ las alturas crecen 5 veces más rápido, la gráfica de $g(x)$ sube casi verticalmente, **estrechando sus ramas hacia el eje $Y$**.

Procedimiento

Paso 1: Calcular el valor absoluto del coeficiente principal $|a|$.
Paso 2: Comprobar que $|a| > 1$.
Paso 3: Multiplicar cada altura original $y = x^n$ por $|a|$.
Paso 4: Dibujar las ramas de la gráfica más empinadas y estrechas hacia el eje vertical $Y$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Pensar que $a = -4$ no dilata porque $-4 < 1$.
Cómo corregirlo: La dilatación depende del VALOR ABSOLUTO $|a|$: como $|-4| = 4 > 1$, la gráfica se dilata verticalmente por un factor 4 y se refleja hacia abajo.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Confundir dilatación vertical con traslación vertical."

"Si |a| > 1, la gráfica experimenta una dilatación vertical por un factor |a|."

"A mayor valor absoluto de a, la gráfica es más empinada y estrecha hacia el eje Y."

"Pensar que la dilatación desplaza el vértice del origen."

"Ignorar el valor absoluto en coeficientes negativos."

Al terminar debes poder

Resumen El análisis de la dilatación vertical cuando $|a| > 1$ en $f(x) = ax^n$ describe un estiramiento vertical de factor $|a|$, incrementando la rapidez de cambio de la función y estrechando la abertura de la gráfica hacia el eje de ordenadas

Analizar y graficar la dilatación vertical de funciones potencia con |a| > 1.

Multiplicando las ordenadas por |a| y trazando ramas más estrechas y empinadas.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Qué condición sobre $a$ produce una dilatación vertical?
Un coeficiente mayor que $1$ en valor absoluto estira la curva.

Respuesta: A) $|a|>1$
$f(x)=7x^2$ es una dilatación vertical de $g(x)=x^2$.
¿Qué le ocurre visualmente a la curva al aplicar una dilatación vertical?
Es el efecto visual de multiplicar por un valor mayor que $1$.

Respuesta: A) Se estira, alejándose del eje $x$ más rápido

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=10x^4$ crece más rápido que $g(x)=x^4$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Compara $f(2)$ y $g(2)$ para $f(x)=3x^2$ y $g(x)=x^2$.
$3\cdot4=12$ y $1\cdot4=4$.

Respuesta: A) $f(2)=12$ y $g(2)=4$
¿Cuál de estas funciones es una dilatación vertical de $x^3$?
Es la única con $|a|>1$.

Respuesta: A) $f(x)=8x^3$
Una dilatación vertical cambia la posición del vértice de la curva básica.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al identificar una dilatación vertical?
El criterio depende del valor absoluto, no del signo.

Respuesta: A) Comparar solo el signo de $a$ en vez de su valor absoluto
$f(x)=-4x^2$ presenta dilatación vertical y reflexión simultáneamente.
¿Cuál función crece más rápido: $f(x)=2x^4$ o $g(x)=9x^4$?
Tiene el mayor valor absoluto del coeficiente.

Respuesta: A) $g(x)=9x^4$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación