Análisis de la dilatación vertical cuando |a| > 1

Resumen inicial

La dilatación o estiramiento vertical de una función potencia $f(x) = a x^n$ ocurre cuando la magnitud del coeficiente satisface $|a| > 1$, provocando que la gráfica se cierre y crezca más empinada.

Explicación en palabras simples

La dilatación vertical equivale a agarrar la gráfica de la función potencia de sus extremos superior e inferior y tirarla con fuerza hacia arriba y hacia abajo para estirarla. Cuando el número que multiplica a la potencia es mayor que 1 en valor absoluto (por ejemplo $a = 4$ o $a = -5$), cada altura $y$ se multiplica por ese número grande. Como consecuencia, las ramas de la gráfica se vuelven mucho más delgadas, estrechas y empinadas, pegándose más rápido al eje vertical $y$.

Explicación formal

Definición formal

La dilatación o alargamiento vertical de la función potencia $f(x) = a x^n$ por un factor de escala $c > 1$ se define por la transformación analítica:
$$g(x) = c \cdot f(x) = (c \cdot a) x^n \implies |c \cdot a| > 1$$

Mapeo de pares ordenados y cambio de velocidad

Para todo punto $(x_0, y_0) \in \operatorname{Graf}(f)$, el punto dilatado correspondiente es $(x_0, c \cdot y_0) \in \operatorname{Graf}(g)$.
Aceleración de Pendiente: La derivada primera se multiplica por la constante $c > 1$: $g'(x) = c \cdot f'(x)$. Esto implica que para cualquier abscisa $x \neq 0$, la velocidad de variación de la gráfica es estrictamente mayor.

Síntesis didáctica

Efecto visual de la dilatación ($|a| > 1$):
- La gráfica se alarga verticalmente y se estrecha horizontalmente.
- Las ramas de la gráfica se cierran comprimiéndose hacia el eje de las ordenadas $y$.

Definiciones clave

Dilatación vertical $|a| > 1$: Deformación escalar donde las ordenadas de la curva se multiplican por un factor de magnitud mayor a la unidad.
Alargamiento o estiramiento: Efecto visual por el cual la gráfica crece a mayor velocidad ganando altura más rápido.
Estrechamiento de ramas: Cierre progresivo de la curva hacia la recta vertical $x = 0$.

Propiedades y relaciones importantes

Conservación del Vértice: El origen $(0, 0)$ permanece invariante pues $|a| \cdot 0^n = 0$.
Invariancia del Dominio y Recorrido: No altera la estructura del conjunto dominio ni la cota cero del conjunto recorrido.

Ejemplo guiado

Compara la gráfica de la función potencia base $f(x) = x^2$ con su versión dilatada verticalmente $g(x) = 5x^2$, evaluando los puntos en $x = 1$ y $x = 2$, e interpretando el cambio de apertura.

Paso 1: Para $f(x) = x^2$: $f(1) = 1$ y $f(2) = 4$. Puntos: $(1, 1)$ y $(2, 4)$.
Paso 2: Para $g(x) = 5x^2$: $g(1) = 5(1) = 5$ y $g(2) = 5(4) = 20$. Puntos: $(1, 5)$ y $(2, 20)$.
Paso 3: Observamos que las alturas $y$ de $g(x)$ son exactamente 5 veces mayores que las de $f(x)$ para las mismas abscisas.
Paso 4: Conclusión: Como $|a| = 5 > 1$, la gráfica de $g(x)$ está dilatada verticalmente, siendo más estrecha y verticalizada que $f(x)$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar el coeficiente multiplicativo $a$ en la función potencia $f(x) = a x^n$.
Paso 2: Calcular el valor absoluto o magnitud del coeficiente $|a|$.
Paso 3: Comprobar que $|a| > 1$.
Paso 4: Declarar que la función presenta una dilatación o estiramiento vertical por un factor de $|a|$, cerrando sus ramas hacia el eje $y$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Creer que un coeficiente negativo como $a = -3$ produce contracción por ser un número menor que 1 ($-3 < 1$). Cómo corregirlo: La dilatación/contracción depende del valor absoluto $|a|$. Como $|-3| = 3 > 1$, la función sufre una dilatación vertical (reflejada hacia abajo).
Error 2: Confundir la dilatación vertical con una traslación vertical. Cómo corregirlo: La dilatación es una multiplicación por $a$ que cambia la inclinación de las ramas sin mover el vértice $(0, 0)$. La traslación es una suma que mueve el vértice a $(0, k)$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Una dilatación vertical desplaza el vértice de la función fuera del origen $(0, 0)$."

"Al dilatar verticalmente una función potencia, sus ramas se abren ensanchándose hacia los lados."

"Las dilataciones verticales alteran el dominio real de las funciones potencia."

"Geométricamente, la dilatación vertical alarga la curva y estrecha sus ramas comprimiéndolas hacia el eje de las ordenadas $y$."

"La función potencia $f(x) = -4x^2$ sufre una contracción vertical porque $-4 < 1$."

"La dilatación vertical de una función potencia ocurre cuando la magnitud de su coeficiente satisface $|a| > 1$, multiplicando las alturas de la gráfica por un factor $|a|$."

"El coeficiente $a = 2$ en $f(x) = 2x^3$ suma 2 unidades a todas las ordenadas de la curva."

Al terminar debes poder

Determinar la dilatación o estiramiento vertical en la función potencia cuando $|a| > 1$.

Comprobar que las ordenadas se multiplican por un factor de escala mayor a 1, estrechando la curva respecto a su eje de simetría.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Qué condición sobre $a$ produce una dilatación vertical?
Un coeficiente mayor que $1$ en valor absoluto estira la curva.

Respuesta: A) $|a|>1$
$f(x)=7x^2$ es una dilatación vertical de $g(x)=x^2$.
¿Qué le ocurre visualmente a la curva al aplicar una dilatación vertical?
Es el efecto visual de multiplicar por un valor mayor que $1$.

Respuesta: A) Se estira, alejándose del eje $x$ más rápido

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=10x^4$ crece más rápido que $g(x)=x^4$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Compara $f(2)$ y $g(2)$ para $f(x)=3x^2$ y $g(x)=x^2$.
$3\cdot4=12$ y $1\cdot4=4$.

Respuesta: A) $f(2)=12$ y $g(2)=4$
¿Cuál de estas funciones es una dilatación vertical de $x^3$?
Es la única con $|a|>1$.

Respuesta: A) $f(x)=8x^3$
Una dilatación vertical cambia la posición del vértice de la curva básica.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al identificar una dilatación vertical?
El criterio depende del valor absoluto, no del signo.

Respuesta: A) Comparar solo el signo de $a$ en vez de su valor absoluto
$f(x)=-4x^2$ presenta dilatación vertical y reflexión simultáneamente.
¿Cuál función crece más rápido: $f(x)=2x^4$ o $g(x)=9x^4$?
Tiene el mayor valor absoluto del coeficiente.

Respuesta: A) $g(x)=9x^4$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación