Análisis de la contracción vertical cuando 0 < |a| < 1

Resumen inicial

El análisis de la contracción vertical cuando $0 < |a| < 1$ en $f(x) = ax^n$ describe una compresión vertical de factor $|a|$, reduciendo la tasa de crecimiento y ensanchando la abertura de la gráfica hacia el eje de abscisas.

Explicación en palabras simples

El análisis de la contracción vertical cuando $0 < |a| < 1$ en $f(x) = ax^n$ describe una compresión vertical de factor $|a|$, reduciendo la tasa de crecimiento y ensanchando la abertura de la gráfica hacia el eje de abscisas

Cuando el número que multiplica a la potencia es una fracción entre 0 y 1 ($a = \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0{,}2...$), la gráfica sufre una contracción o compresión vertical (se vuelve más ancha y aplanada):

¿Qué le pasa a las alturas?
Cada ordenada se reduce a una fracción de su tamaño original, creciendo mucho más lento.
Por ejemplo, en $y = x^2$, para $x = 2$ la altura es $4$. Pero en $y = \mathbf{\frac{1}{4}}x^2$, para $x = 2$ la altura es solo $1$.
Efecto visual: Las ramas de la curva se abren ampliamente y se aplanan pegándose al eje horizontal $X$.

Explicación formal

Sea $f(x) = x^n$ y $g(x) = ax^n$ con $0 < |a| < 1$. La transformación es una homotecia vertical de razón $|a| \in ]0, 1[$:
$$\mathcal{H}_{(O_y, a)}: (x, y) \mapsto (x, ay)$$

Comportamiento de la tasa de variación y apertura:
1. Reducción de derivada: $|g'(x)| = |a| \cdot |f'(x)| < |f'(x)|$ para todo $x \neq 0$. El crecimiento es estrictamente más amortiguado.
2. Abertura ensanchada: Para cualquier nivel de altura fija $y_0 > 0$ en funciones pares, la distancia horizontal entre ramas satisface:
$$\Delta x_g = 2\sqrt[n]{y_0 / a} > 2\sqrt[n]{y_0} = \Delta x_f$$
Demostrando que la curva $g(x)$ presenta una apertura horizontal estrictamente mayor.

Definiciones clave

Contracción vertical / Compresión: Reducción escalar de ordenadas por un factor fraccionario $0 < |a| < 1$.
Curva más ancha / abierta: Incremento de la distancia horizontal entre ramas para un mismo valor de $y$.

Propiedades y relaciones importantes

Puntos fraccionarios: En $x = 1$, la altura es la fracción $g(1) = a < 1$.
Invarianza del vértice: En $x = 0$, el origen $(0, 0)$ permanece inalterado.

Ejemplo guiado

Ejemplo El análisis de la contracción vertical cuando $0 < |a| < 1$ en $f(x) = ax^n$ describe una compresión vertical de factor $|a|$, reduciendo la tasa de crecimiento y ensanchando la abertura de la gráfica hacia el eje de abscisas

Compara las ordenadas y la abertura entre $f(x) = x^2$ y $g(x) = \frac{1}{3}x^2$:
1) Evalúa en $x = 3, 6$.
2) Explica por qué $g(x)$ es más ancha que $f(x)$.

Paso 1: Comparación numérica: - En $x = 3$: $f(3) = 3^2 = 9$, mientras que $g(3) = \frac{1}{3}(9) = \mathbf{3}$ (un tercio de la altura). - En $x = 6$: $f(6) = 6^2 = 36$, mientras que $g(6) = \frac{1}{3}(36) = \mathbf{12}$.
Paso 2: Como las alturas crecen a un tercio de la velocidad, la curva necesita extenderse mucho más hacia los lados en el eje $X$ para alcanzar la misma altura, resultando en una **gráfica mucho más ancha y abierta**.

Procedimiento

Paso 1: Determinar el valor absoluto del coeficiente $|a|$.
Paso 2: Verificar que satisfaga $0 < |a| < 1$.
Paso 3: Multiplicar las ordenadas de los puntos de referencia por la fracción $|a|$.
Paso 4: Trazar una curva más aplanada y con mayor abertura de ramas alejándose del eje $Y$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Creer que multiplicar por $\frac{1}{2}$ desplaza la gráfica hacia abajo.
Cómo corregirlo: Multiplicar por $\frac{1}{2}$ ESCALA las alturas (contracción vertical), manteniendo el vértice en $(0, 0)$. Para trasladar hacia abajo se debe restar una constante.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Olvidar que el origen (0, 0) sigue siendo el vértice."

"Si 0 < |a| < 1, la gráfica experimenta una contracción vertical por un factor |a|."

"Las ramas de una función contraída verticalmente son más anchas y aplanadas hacia el eje X."

"Confundir contracción vertical con traslación hacia abajo."

"Creer que un coeficiente decimal o fraccionario hace la curva más estrecha."

Al terminar debes poder

Resumen El análisis de la contracción vertical cuando $0 < |a| < 1$ en $f(x) = ax^n$ describe una compresión vertical de factor $|a|$, reduciendo la tasa de crecimiento y ensanchando la abertura de la gráfica hacia el eje de abscisas

Analizar y graficar la contracción vertical de funciones potencia con 0 < |a| < 1.

Calculando el factor de compresión |a| y trazando ramas más abiertas y aplanadas hacia el eje X.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

$f(x)=0{,}3x^2$ es una contracción vertical de $g(x)=x^2$.
¿Qué condición sobre $a$ produce una contracción vertical?
Un coeficiente fraccionario en valor absoluto achata la curva.

Respuesta: A) $0<|a|<1$
¿Qué le ocurre visualmente a la curva al aplicar una contracción vertical?
Es el efecto visual de multiplicar por un valor entre $0$ y $1$.

Respuesta: A) Se achata, acercándose al eje $x$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=0{,}1x^4$ crece más lento que $g(x)=x^4$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Una contracción vertical cambia la posición del vértice de la curva básica.
¿Cuál de estas funciones es una contracción vertical de $x^3$?
Es la única con $0<|a|<1$.

Respuesta: A) $f(x)=0{,}2x^3$
Compara $f(4)$ y $g(4)$ para $f(x)=0{,}25x^2$ y $g(x)=x^2$.
$0{,}25\cdot16=4$ y $1\cdot16=16$.

Respuesta: A) $f(4)=4$ y $g(4)=16$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

$f(x)=-0{,}5x^2$ presenta contracción vertical y reflexión simultáneamente.
¿Cuál es el error frecuente al identificar una contracción vertical?
Ambas condiciones sobre $|a|$ son opuestas y se confunden fácilmente.

Respuesta: A) Confundirla con una dilatación vertical
¿Cuál función crece más lento: $f(x)=0{,}4x^4$ o $g(x)=0{,}05x^4$?
Tiene el menor valor absoluto del coeficiente.

Respuesta: A) $g(x)=0{,}05x^4$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación