Análisis de la contracción vertical cuando 0 < |a| < 1
Reconocer que un coeficiente $0<|a|<1$ produce una contracción vertical (expansión respecto al eje $y$) de la gráfica básica.
Introducción
Multiplicar la función por una fracción entre $0$ y $1$ en valor absoluto "achata" la curva, haciéndola crecer más lento.
Explicación
Definición formal
Para $f(x)=a\cdot g(x)$ con $0<|a|<1$, cada punto $(x_0,y_0)$ de $g$ se transforma en $(x_0,a\cdot y_0)$, con $|a\cdot y_0|<|y_0|$. Visualmente, la curva se "achata" acercándose al eje $x$ más que la curva original.
Desarrollo didáctico
Comparando $g(x)=x^2$ con $f(x)=0{,}25x^2$: en $x=4$, $g(4)=16$ pero $f(4)=4$. La curva de $f$ alcanza valores mucho menores para el mismo $x$, dando la apariencia de estar más "ancha" o contraída verticalmente.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Compara el valor absoluto del coeficiente $a$ con $1$.
- Paso 2: Si $0<|a|<1$, reconoce que la curva se contrae verticalmente respecto a $x^n$.
- Paso 3: Calcula puntos específicos para confirmar el crecimiento más lento.
Ejemplos
1 ¿Es $f(x)=0{,}2x^3$ una contracción vertical de $g(x)=x^3$?
- Se compara $0<|0{,}2|<1$.
- Sí, es una contracción vertical.
2 Compara $f(4)$ con $g(4)$ para $f(x)=0{,}5x^2$ y $g(x)=x^2$.
- Se calcula $g(4)=16$ y $f(4)=8$.
- $f(4)$ es la mitad de $g(4)$, confirmando la contracción.
3 ¿Una contracción vertical desplaza la posición del vértice de la curva básica $x^2$?
- El vértice permanece en el origen; solo cambia qué tan rápido crece la curva.
4 ¿Una contracción vertical siempre corresponde a $0<|a|<1$?
- Es la condición que distingue la contracción de la dilatación vertical, donde $|a|>1$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir contracción con dilatación, invirtiendo la condición sobre $|a|$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que la contracción vertical desplaza el vértice de la curva."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No comparar el valor absoluto de $a$, sino solo su signo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta transformación con una traslación vertical."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dada $g(x)=x^n$, la función $f(x)=a\cdot x^n$ con $0<|a|<1$ es una **contracción vertical**: cada valor de $g$ se multiplica por $|a|$, produciendo una curva que crece más lento.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué condición sobre $a$ produce una contracción vertical?
Un coeficiente fraccionario en valor absoluto achata la curva.
Respuesta: A) $0<|a|<1$
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$f(x)=0{,}3x^2$ es una contracción vertical de $g(x)=x^2$.
$0<|0{,}3|<1$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué le ocurre visualmente a la curva al aplicar una contracción vertical?
Es el efecto visual de multiplicar por un valor entre $0$ y $1$.
Respuesta: A) Se achata, acercándose al eje $x$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=0{,}1x^4$ crece más lento que $g(x)=x^4$.
El coeficiente $0{,}1<1$ produce contracción.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Compara $f(4)$ y $g(4)$ para $f(x)=0{,}25x^2$ y $g(x)=x^2$.
$0{,}25\cdot16=4$ y $1\cdot16=16$.
Respuesta: A) $f(4)=4$ y $g(4)=16$
-
¿Cuál de estas funciones es una contracción vertical de $x^3$?
Es la única con $0<|a|<1$.
Respuesta: A) $f(x)=0{,}2x^3$
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Una contracción vertical cambia la posición del vértice de la curva básica.
El vértice permanece en el origen; solo cambia la rapidez de crecimiento.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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$f(x)=-0{,}5x^2$ presenta contracción vertical y reflexión simultáneamente.
$0<|-0{,}5|<1$ produce contracción, y el signo negativo produce reflexión.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál función crece más lento: $f(x)=0{,}4x^4$ o $g(x)=0{,}05x^4$?
Tiene el menor valor absoluto del coeficiente.
Respuesta: A) $g(x)=0{,}05x^4$
-
¿Cuál es el error frecuente al identificar una contracción vertical?
Ambas condiciones sobre $|a|$ son opuestas y se confunden fácilmente.
Respuesta: A) Confundirla con una dilatación vertical