Análisis de la contracción vertical cuando 0 < |a| < 1

Resumen inicial

La contracción o compresión vertical de una función potencia $f(x) = a x^n$ ocurre cuando la magnitud del coeficiente cumple $0 < |a| < 1$, provocando que la gráfica se achate y sus ramas se abran.

Explicación en palabras simples

La contracción vertical equivale a presionar o aplastar la gráfica de una función potencia desde arriba y desde abajo hacia el suelo (el eje horizontal $x$). Ocurre cuando el número que multiplica a la potencia es una fracción decimal pequeña en valor absoluto (por ejemplo $a = 0.5$, $a = \frac{1}{3}$ o $a = -0.2$). Cada altura $y$ se reduce a una fracción de su valor original, haciendo que las ramas se vuelvan mucho más anchas, abiertas y aplanadas cerca del eje $x$.

Explicación formal

Definición formal

La contracción o compresión vertical de la función potencia $f(x) = a x^n$ por un factor de escala fraccionario $0 < c < 1$ se define por la transformación analítica:
$$g(x) = c \cdot f(x) = (c \cdot a) x^n \implies 0 < |c \cdot a| < 1$$

Mapeo de pares ordenados y cambio de velocidad

Para todo punto $(x_0, y_0) \in \operatorname{Graf}(f)$, el punto contraído correspondiente es $(x_0, c \cdot y_0) \in \operatorname{Graf}(g)$.
Desaceleración de Pendiente: La derivada primera se multiplica por el factor $0 < c < 1$: $g'(x) = c \cdot f'(x)$. Esto implica que para cualquier abscisa $x \neq 0$, la velocidad de elevación o caída de la curva disminuye, volviéndose más horizontal.

Síntesis didáctica

Efecto visual de la contracción ($0 < |a| < 1$):
- La gráfica se aplasta verticalmente y se ensancha horizontalmente.
- Las ramas de la gráfica se abren alejándose del eje de las ordenadas $y$.

Definiciones clave

Contracción vertical $0 < |a| < 1$: Deformación escalar donde las ordenadas de la curva se reducen proporcionalmente a una fracción de su altura original.
Achatamiento o compresión: Efecto visual por el cual la gráfica crece a menor velocidad aplanándose hacia el eje $x$.
Ensanchamiento de ramas: Apertura progresiva de la curva alejándose de la recta vertical $x = 0$.

Propiedades y relaciones importantes

Conservación del Vértice: El origen $(0, 0)$ permanece inalterado pues $|a| \cdot 0^n = 0$.
Invariancia de Cotas: Conserva la cota inferior $y = 0$ (para $a > 0$) o cota superior $y = 0$ (para $a < 0$) en el recorrido.

Ejemplo guiado

Compara la gráfica de la función potencia base $f(x) = x^2$ con su versión contraída verticalmente $g(x) = \frac{1}{4}x^2$, evaluando los puntos en $x = 2$ y $x = 4$, e interpretando el cambio de apertura.

Paso 1: Para $f(x) = x^2$: $f(2) = 4$ y $f(4) = 16$. Puntos: $(2, 4)$ y $(4, 16)$.
Paso 2: Para $g(x) = \frac{1}{4}x^2$: $g(2) = \frac{1}{4}(4) = 1$ y $g(4) = \frac{1}{4}(16) = 4$. Puntos: $(2, 1)$ y $(4, 4)$.
Paso 3: Observamos que las alturas $y$ de $g(x)$ son una cuarta parte de las de $f(x)$ para las mismas abscisas.
Paso 4: Conclusión: Como $|a| = \frac{1}{4} = 0.25$ está entre 0 y 1, la gráfica de $g(x)$ está contraída verticalmente, siendo más ancha y aplanada que $f(x)$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar el coeficiente multiplicativo $a$ en la función potencia $f(x) = a x^n$.
Paso 2: Calcular el valor absoluto o magnitud del coeficiente $|a|$.
Paso 3: Comprobar que $0 < |a| < 1$.
Paso 4: Declarar que la función presenta una contracción o compresión vertical por un factor de $|a|$, aplanando la curva y ensanchando sus ramas.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Afirmar que $a = 0.5$ produce dilatación por ser un número positivo. Cómo corregirlo: La dilatación requiere $|a| > 1$. Puesto que $|0.5| = 0.5 < 1$, la función sufre una contracción vertical (reducida a la mitad de altura).
Error 2: Creer que las contracciones verticales modifican las raíces o el vértice en el origen. Cómo corregirlo: La contracción multiplica las ordenadas por $a$. Como $a \cdot 0 = 0$, el origen $(0, 0)$ permanece totalmente inalterado.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Una contracción vertical traslada horizontalmente el vértice hacia la derecha."

"La afirmación de que un coeficiente en el rango $0 < |a| < 1$ estira verticalmente la gráfica."

"Un coeficiente decimal en el rango $0 < |a| < 1$ convierte una función continua en una curva discontinua."

"Geométricamente, la contracción vertical aplasta la curva hacia el eje horizontal $x$, ensanchando la abertura de sus ramas."

"La función potencia $f(x) = \frac{1}{2} x^2$ se dilata verticalmente volviéndose más angosta."

"La contracción vertical de una función potencia ocurre cuando la magnitud de su coeficiente satisface $0 < |a| < 1$, reduciendo las ordenadas de la gráfica a una fracción de su altura original."

"La contracción vertical invierte las ramas de la función sin importar el signo de $a$."

Al terminar debes poder

Determinar la contracción o compresión vertical en la función potencia cuando $0 < |a| < 1$.

Comprobar que las ordenadas se reducen proporcionalmente, ensanchando o aplastando la gráfica hacia el eje horizontal.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Qué condición sobre $a$ produce una contracción vertical?
Un coeficiente fraccionario en valor absoluto achata la curva.

Respuesta: A) $0<|a|<1$
$f(x)=0{,}3x^2$ es una contracción vertical de $g(x)=x^2$.
¿Qué le ocurre visualmente a la curva al aplicar una contracción vertical?
Es el efecto visual de multiplicar por un valor entre $0$ y $1$.

Respuesta: A) Se achata, acercándose al eje $x$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=0{,}1x^4$ crece más lento que $g(x)=x^4$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Compara $f(4)$ y $g(4)$ para $f(x)=0{,}25x^2$ y $g(x)=x^2$.
$0{,}25\cdot16=4$ y $1\cdot16=16$.

Respuesta: A) $f(4)=4$ y $g(4)=16$
Una contracción vertical cambia la posición del vértice de la curva básica.
¿Cuál de estas funciones es una contracción vertical de $x^3$?
Es la única con $0<|a|<1$.

Respuesta: A) $f(x)=0{,}2x^3$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

$f(x)=-0{,}5x^2$ presenta contracción vertical y reflexión simultáneamente.
¿Cuál función crece más lento: $f(x)=0{,}4x^4$ o $g(x)=0{,}05x^4$?
Tiene el menor valor absoluto del coeficiente.

Respuesta: A) $g(x)=0{,}05x^4$
¿Cuál es el error frecuente al identificar una contracción vertical?
Ambas condiciones sobre $|a|$ son opuestas y se confunden fácilmente.

Respuesta: A) Confundirla con una dilatación vertical

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación