Interpretación de relaciones inversas mediante funciones potencia de exponente negativo

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

La interpretación de relaciones inversas mediante funciones potencia de exponente negativo $f(x) = k \cdot x^{-m} = \frac{k}{x^m}$ ($m > 0$) describe fenómenos de disipación o atenuación donde multiplicar la entrada por $c$ divide la salida por $c^m$, provocando un decaimiento asintótico hacia cero.

Explicación en palabras simples

La interpretación de relaciones inversas mediante funciones potencia de exponente negativo $f(x) = k \cdot x^{-m} = \frac{k}{x^m}$ ($m > 0$) describe fenómenos de disipación o atenuación donde multiplicar la entrada por $c$ divide la salida por $c^m$, provocando un decaimiento asintótico hacia cero

En las leyes físicas de disipación (como la luz, el sonido, la fuerza de gravedad o la presión de un gas), a mayor distancia o volumen, menor es la intensidad:

  • ¿Cómo opera el divisor de escala $c^m$?
  • En la proporcionalidad inversa simple ($m = 1$, Ley de Boyle $P = k/V$):
    • Si duplicas el volumen ($c = 2$), la presión se reduce a la mitad ($1/2$).
  • En la ley del inverso al cuadrado ($m = 2$, luz, sonido, gravedad $F = k/d^2$):
    • Si te alejas al doble de distancia ($c = 2$), la fuerza o luz se divide por $2^2 = \mathbf{4}$ (recibes solo el $25\%$).
    • Si te alejas al triple de distancia ($c = 3$), se divide por $3^2 = \mathbf{9}$ (recibes solo el $11\%$).
  • Asíntota: Por muy lejos que te vayas, la intensidad nunca es cero absoluta ni negativa: tiende asintóticamente a $y = 0$.

Explicación formal

Sea $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ definida por $f(x) = kx^{-m} = \frac{k}{x^m}$ con $k > 0$ y $m \in \mathbb{R}^+$.
Al escalar la variable independiente por $c > 1$:
$$f(c \cdot x) = \frac{k}{(cx)^m} = \frac{k}{c^m \cdot x^m} = \frac{1}{c^m} \cdot \frac{k}{x^m} = \frac{1}{c^m} \cdot f(x)$$

Comportamiento asintótico disipativo:
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{k}{x^m} = 0^+$$
La función es estrictamente decreciente ($f'(x) = -m k x^{-(m+1)} < 0$) y estrictamente convexa ($f''(x) = m(m+1)k x^{-(m+2)} > 0$), garantizando un decaimiento asintótico sin cortes de eje.

Comprueba tu avance Si la fuerza de atracción entre dos imanes sigue la ley $F = k / d²$ y la distancia se triplica, ¿qué ocurre con la fuerza?

Definiciones clave

  • Ley del inverso al cuadrado: Principio físico donde la densidad de flujo de radiación decrece con $1/d^2$.
  • Factor de atenuación: Fracción $1/c^m$ que cuantifica la reducción de intensidad al aumentar la distancia por $c$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Conservación de energía en esferas: Al expandirse el frente de onda esférico en área $A = 4\pi d^2$, la intensidad $I = P/A$ decae necesariamente proporcional a $d^{-2}$.

Ejemplo guiado

Ejemplo La interpretación de relaciones inversas mediante funciones potencia de exponente negativo $f(x) = k \cdot x^{-m} = \frac{k}{x^m}$ ($m > 0$) describe fenómenos de disipación o atenuación donde multiplicar la entrada por $c$ divide la salida por $c^m$, provocando un decaimiento asintótico hacia cero

Aplica el factor de atenuación $1/c^m$ para resolver:
1) La intensidad del sonido de un altavoz es $I(d) = \frac{100}{d^2}$. Si una persona retrocede del punto $d = 2\text{ m}$ al punto $d = 6\text{ m}$ ($c = 3$), ¿a qué fracción se reduce la intensidad?
2) Un gas ideal a temperatura constante cumple $P(V) = \frac{24}{V}$. Si el gas se expande cuadruplicando su volumen ($c = 4$), ¿cuál es la nueva presión?

  • Paso 1: Para $I(d) = 100 d^{-2}$: El exponente es $m = 2$ y el factor de distancia es $c = 6/2 = 3$. Factor de atenuación: $\frac{1}{c^m} = \frac{1}{3^2} = \mathbf{\frac{1}{9}}$. **La intensidad se reduce a la novena parte ($11{,}1\%$)**.
  • Paso 2: Para $P(V) = 24 V^{-1}$: El exponente es $m = 1$ y $c = 4$. Factor: $\frac{1}{4^1} = \mathbf{\frac{1}{4}}$. **La nueva presión es $24 / 4 = \mathbf{6\text{ atm}}$**.
Comprueba tu avance En un modelo de iluminación $E(d) = k · d⁻²$, ¿cuánto vale el límite de la iluminación cuando la distancia d tiende a infinito?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el exponente negativo $-m$ en el modelo $f(x) = k x^{-m} = k / x^m$.
  • Paso 2: Determinar el factor de incremento de la variable de entrada $c = x_2 / x_1$.
  • Paso 3: Calcular el factor de atenuación $1/c^m$.
  • Paso 4: Multiplicar la salida inicial por $1/c^m$ (o dividirla por $c^m$) para hallar el valor atenuado.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Creer que a gran distancia la magnitud se hace negativa.
  • Cómo corregirlo: Las funciones con potencias negativas $k/x^m$ NUNCA dan valores negativos si $k > 0$: se acercan infinitesimalmente a cero asintóticamente.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si te alejas a 4 veces la distancia de una bombilla, la iluminación se divide por:
2 A una altura de 3 radios terrestres ($d = 3R$), la gravedad se reduce a:
3 Si un gas se comprime a 1/10 de su volumen, su presión $P \propto 1/V$ se multiplica por:
4 En todo modelo de decaimiento inverso $y = k/x^2$, la asíntota horizontal es:

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Confundir la proporcionalidad inversa simple (1/x) con la inversa cuadrática (1/x²)."
"Asumir que las fuerzas atenuadas se anulan a distancia finita."
"Olvidar elevar al cuadrado el factor de distancia en leyes cuadráticas inversas."
"En un modelo de potencia negativo, al multiplicar la entrada por c la salida se divide por cᵐ."
"Las relaciones inversas modelan disipación de energía y convergen asintóticamente a cero en el infinito."

Al terminar debes poder

Resumen La interpretación de relaciones inversas mediante funciones potencia de exponente negativo $f(x) = k \cdot x^{-m} = \frac{k}{x^m}$ ($m > 0$) describe fenómenos de disipación o atenuación donde multiplicar la entrada por $c$ divide la salida por $c^m$, provocando un decaimiento asintótico hacia cero

🎯 QUÉ Objetivo

Interpretar y aplicar relaciones inversas modeladas por potencias de exponente negativo.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Calculando el factor de atenuación 1/cᵐ y analizando el comportamiento asintótico hacia cero.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra y Funciones / Modelamiento de Funciones Potencia

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. En un modelo $y=a\cdot x^{-n}$, ¿qué ocurre al aumentar $x$?

  2. En $I(d)=100/d^2$, duplicar $d$ reduce $I$ a un cuarto.

  3. ¿Qué factor divide el resultado si $x$ se triplica en un modelo con $n=2$?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. En $P(t)=50/t$, la presión para $t=10$ es $5$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un modelo de decrecimiento inverso puede alcanzar exactamente el valor $0$ para algún $x$ finito.

  2. Con $I(d)=200/d^2$, calcula $I(2)$.

  3. Si $I(d)=k/d^2$ y $d$ pasa de $2$ a $4$, ¿en qué factor disminuye $I$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. En un modelo con $n=3$, triplicar $x$ divide el resultado por $27$.

  2. ¿Cuál es el error frecuente al interpretar el decrecimiento inverso?

  3. Con $F(r)=k/r^2$, ¿en qué factor cambia $F$ si $r$ se multiplica por $5$?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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