Restricción x ≠ 0 en funciones potencia con exponente entero negativo
Determinar que el dominio de $f(x)=a\cdot x^{-n}$ (con $n$ entero positivo) excluye $x=0$.
Introducción
Al reescribir un exponente negativo como fracción, aparece una división que obliga a excluir el valor que anularía el denominador.
Explicación
Definición formal
Como $x^{-n}=1/x^n$, la expresión requiere $x^n\neq0$, lo que ocurre exactamente cuando $x\neq0$. Por lo tanto, el dominio de $f(x)=a\cdot x^{-n}$ es $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, sin ninguna otra restricción.
Desarrollo didáctico
$f(x)=x^{-3}$ puede evaluarse en cualquier número salvo $0$: $f(2)=1/8$, $f(-5)=-1/125$, pero $f(0)$ no está definido, porque implicaría dividir por $0$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Reescribe $x^{-n}$ como $1/x^n$ si aún no está en esa forma.
- Paso 2: Identifica el valor que anula el denominador.
- Paso 3: Excluye ese valor del dominio, dejando el resto de $\mathbb{R}$.
Ejemplos
1 Determina el dominio de $f(x)=x^{-2}$.
- Se reescribe como $f(x)=1/x^2$.
- El dominio es $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
2 Determina el dominio de $f(x)=5x^{-4}$.
- El coeficiente $5$ no afecta el dominio; solo importa el exponente negativo.
- El dominio es $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
3 ¿El valor $x=0$ pertenece al dominio de $f(x)=x^{-1}$?
- Produciría una división por cero al reescribir como $1/x$.
4 ¿El dominio de $f(x)=x^{-2}$ excluye algún número negativo, además de $x=0$?
- Solo se excluye $x=0$; cualquier otro número real, positivo o negativo, pertenece al dominio.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Suponer que el dominio excluye también los valores negativos, confundiéndolo con el de raíces."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar excluir $x=0$ al no reescribir primero la expresión como fracción."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta restricción con la del recorrido, que es un análisis distinto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar el dominio antes de evaluar la función en un valor específico."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Cuando $n$ es un entero positivo, el dominio de $f(x)=a\cdot x^{-n}$ es $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, excluyendo únicamente el valor $x=0$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el dominio de $f(x)=x^{-n}$ con $n$ entero positivo?
Se excluye únicamente $x=0$.
Respuesta: A) $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
-
$x=-5$ pertenece al dominio de $f(x)=x^{-2}$.
Solo se excluye $x=0$, no los negativos.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué se excluye $x=0$ del dominio de $f(x)=x^{-3}$?
Al reescribir como $1/x^3$, $x=0$ anularía el denominador.
Respuesta: A) Porque produciría una división por cero
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El dominio de $f(x)=x^{-5}$ excluye solo el valor $0$.
Cualquier otro real, positivo o negativo, pertenece al dominio.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Determina el dominio de $f(x)=4x^{-2}$.
El coeficiente no afecta el dominio; solo importa el exponente negativo.
Respuesta: A) $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
-
Determina el dominio de $f(x)=(x-3)^{-2}$.
Se excluye el valor que anula el argumento $x-3$.
Respuesta: A) $\mathbb{R}\setminus\{3\}$
-
El dominio de una función con exponente negativo depende de qué expresión ocupe la base.
Si la base es $x-c$, se excluye $x=c$ en vez de $x=0$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto al dominio con exponente negativo?
Solo se excluye el valor que anula la base, no todos los negativos.
Respuesta: A) Restringir el dominio a solo los valores positivos
-
El dominio de $f(x)=x^{-4}$ y $g(x)=x^{-5}$ es el mismo conjunto.
Ambos excluyen únicamente $x=0$, sin importar la paridad del exponente.
Respuesta: Verdadero
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Determina el dominio de $f(x)=(2x+6)^{-1}$.
Se excluye el valor que anula $2x+6$, es decir $x=-3$.
Respuesta: A) $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$