Restricción x ≠ 0 en funciones potencia con exponente entero negativo
Resumen inicial
La restricción $x \neq 0$ en funciones potencia con exponente entero negativo $f(x) = a \cdot x^{-k} = \frac{a}{x^k}$ establece que $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\} = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$, debido a la imposibilidad aritmética de la división por cero.
Explicación en palabras simples
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En cualquier función que tenga un exponente negativo ($x^{-1}, x^{-2}, x^{-3}...$):
$$\mathbf{x \neq 0} \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$
- ¿Por qué está prohibido el cero?
- Porque $x^{-k}$ significa $\frac{1}{x^k}$.
- Si intentas reemplazar $x = 0$, tendrías que calcular $\frac{a}{0}$, ¡lo cual es una división por cero matemáticamente imposible!
- En la gráfica: El eje $X$ queda 'cortado' o perforado exactamente en el cero, dividiendo la curva en dos ramas separadas que nunca se tocan en $x = 0$.
Explicación formal
Sea $f(x) = a \cdot x^{-k} = \frac{a}{x^k}$ con $k \in \mathbb{Z}^+$ y $a \in \mathbb{R}^*$.
Por la definición formal de dominio maximal en funciones racionales:
$$\operatorname{Dom}(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x^k \neq 0\right\}$$
Dado que $x^k = 0 \iff x = 0$ para todo $k \in \mathbb{Z}^+$:
$$\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\} = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$$
Propiedad topológica de disconexión:
El dominio $\operatorname{Dom}(f)$ es un conjunto abierto desconexo formado por la unión disjunta de dos componentes conexas.
La alternativa correcta es 'ℝ \ {0} (todos los reales excepto el cero)'. Como $x^{-6} = 1/x^6$, el denominador se anula en $x = 0$.
Definiciones clave
- Singularidad esencial aislada: Punto $x = 0$ excluido del dominio por anulación del denominador.
- Dominio desconexo: Estructura de dos intervalos abiertos separados por el origen.
Propiedades y relaciones importantes
- Inexistencia de intercepto en $Y$: Como $0 \notin \operatorname{Dom}(f)$, la gráfica nunca intersecta al eje de ordenadas.
- Simetría de dominios: Si $x_0 \in \operatorname{Dom}(f) \implies -x_0 \in \operatorname{Dom}(f)$.
Ejemplo guiado
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Determina y fundamenta el dominio de:
1) $f(x) = -9x^{-4}$
2) $g(x) = \frac{3}{5x^7}$
3) Justifica por qué $f(0)$ no existe.
- Paso 1: Para $f(x) = -9x^{-4} = -9/x^4$: Restricción $x^4 \neq 0 \implies x \neq 0 \implies$ **$\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$**.
- Paso 2: Para $g(x) = \frac{3}{5x^7}$: Restricción $5x^7 \neq 0 \implies x \neq 0 \implies$ **$\operatorname{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$**.
- Paso 3: $f(0) = -9/0^4 = -9/0$, lo cual carece de definición en el cuerpo $\mathbb{R}$, demostrando que **$0 \notin \operatorname{Dom}(f)$**.
La alternativa correcta es 'No, porque x = 0 no pertenece al dominio'. Todo corte con el eje Y requiere evaluar en $x = 0$, lo cual no está definido.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el exponente negativo de la función $f(x) = a x^{-k}$.
- Paso 2: Escribir la función en forma de cociente $f(x) = a / x^k$.
- Paso 3: Igualar el denominador a cero y resolver: $x^k = 0 \implies x = 0$.
- Paso 4: Excluir dicha solución del dominio: $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\} = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Escribir $\operatorname{Dom} = \mathbb{R}$ en funciones con exponente negativo.
- Cómo corregirlo: La variable está en el denominador: el cero DEBE SER EXCLUIDO: $\operatorname{Dom} = \mathbf{\mathbb{R} \setminus \{0\}}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $\mathbb{R} \setminus \{0\} = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$.
- Paso 1: $0 \notin \operatorname{Dom}(g) \implies g(0)$ no existe.
- Paso 1: $x \neq 0$ es la única condición de existencia.
- Paso 1: Al no poder evaluar en $x = 0$, no existe punto $(0, y)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
![Resumen La restricción $x \neq 0$ en funciones potencia con exponente entero negativo $f(x) = a \cdot x^{-k} = \frac{a}{x^k}$ establece que $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\} = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$, debido a la imposibilidad aritmética de la división por cero](/static/img/nodos/restriccion-x-0-en-funciones-potencia-con-exponente-entero-negativo-resumen.svg)
Determinar y justificar la restricción de dominio x ≠ 0 en potencias de exponente negativo.
Argumentando la indeterminación de la división por cero para formular Dom(f) = ℝ \ {0}.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el dominio de $f(x)=x^{-n}$ con $n$ entero positivo?
Se excluye únicamente $x=0$.
Respuesta: A) $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
-
$x=-5$ pertenece al dominio de $f(x)=x^{-2}$.
Solo se excluye $x=0$, no los negativos.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué se excluye $x=0$ del dominio de $f(x)=x^{-3}$?
Al reescribir como $1/x^3$, $x=0$ anularía el denominador.
Respuesta: A) Porque produciría una división por cero
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El dominio de $f(x)=x^{-5}$ excluye solo el valor $0$.
Cualquier otro real, positivo o negativo, pertenece al dominio.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el dominio de $f(x)=4x^{-2}$.
El coeficiente no afecta el dominio; solo importa el exponente negativo.
Respuesta: A) $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
-
Determina el dominio de $f(x)=(x-3)^{-2}$.
Se excluye el valor que anula el argumento $x-3$.
Respuesta: A) $\mathbb{R}\setminus\{3\}$
-
El dominio de una función con exponente negativo depende de qué expresión ocupe la base.
Si la base es $x-c$, se excluye $x=c$ en vez de $x=0$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto al dominio con exponente negativo?
Solo se excluye el valor que anula la base, no todos los negativos.
Respuesta: A) Restringir el dominio a solo los valores positivos
-
El dominio de $f(x)=x^{-4}$ y $g(x)=x^{-5}$ es el mismo conjunto.
Ambos excluyen únicamente $x=0$, sin importar la paridad del exponente.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el dominio de $f(x)=(2x+6)^{-1}$.
Se excluye el valor que anula $2x+6$, es decir $x=-3$.
Respuesta: A) $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$