Interpretación de una potencia de exponente entero negativo como recíproco
Reescribir $f(x)=x^{-n}$ (con $n$ entero positivo) como $f(x)=1/x^n$ y reconocer su significado.
Introducción
Un exponente negativo no indica un resultado negativo, sino que la potencia pasa a formar parte de un denominador.
Explicación
Definición formal
Para $n\in\mathbb{Z}^+$, se define $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$ para todo $x\neq0$. Esta identidad traslada el análisis de exponentes negativos al de fracciones con potencias en el denominador.
Desarrollo didáctico
$f(x)=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$: al evaluar en $x=3$, se obtiene $f(3)=1/9$; al evaluar en $x=-3$, se obtiene $f(-3)=1/9$ también, porque el exponente $-2$ hereda la paridad de $2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el exponente negativo $-n$ en la expresión $x^{-n}$.
- Paso 2: Reescribe la expresión como $1/x^n$, con $n$ positivo.
- Paso 3: Excluye $x=0$ del dominio, ya que produce una división por cero.
Ejemplos
1 Reescribe $f(x)=x^{-3}$ como fracción.
- Se aplica la definición de exponente negativo.
- Se obtiene $f(x)=1/x^3$.
2 Evalúa $f(x)=x^{-2}$ en $x=5$.
- Se reescribe como $f(x)=1/x^2$.
- Se evalúa: $f(5)=1/25$.
3 ¿El resultado de $x^{-n}$ es siempre un número negativo?
- El signo del resultado depende del signo de $x$ y de la paridad de $n$, no del signo del exponente.
4 ¿El valor $x=0$ pertenece al dominio de $f(x)=x^{-n}$ para $n$ entero positivo?
- Se excluye porque produciría una división por cero al reescribir como $1/x^n$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Suponer que un exponente negativo siempre produce un resultado negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar excluir $x=0$ del dominio al reescribir la expresión como fracción."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir $x^{-n}$ con $-x^n$, que son expresiones completamente distintas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No aplicar correctamente la paridad de $n$ al determinar el signo del resultado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para $n$ entero positivo, $f(x)=x^{-n}$ es equivalente a $f(x)=\dfrac{1}{x^n}$, una expresión que requiere excluir $x=0$ del dominio.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es la equivalencia de $x^{-n}$ con $n$ entero positivo?
Es la definición estándar de exponente negativo.
Respuesta: A) $1/x^n$
-
$x^{-2}=1/x^2$.
Aplicación directa de la definición de exponente negativo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué valor debe excluirse del dominio de $f(x)=x^{-3}$?
Produciría una división por cero al reescribir como fracción.
Respuesta: A) $x=0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$3^{-2}=1/9$.
$3^{-2}=1/3^2=1/9$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Reescribe $f(x)=x^{-5}$ como fracción.
Se aplica la definición de exponente negativo.
Respuesta: A) $1/x^5$
-
$(-2)^{-3}$ es un número negativo.
$(-2)^{-3}=1/(-2)^3=1/(-8)=-0{,}125$.
Respuesta: Verdadero
-
Evalúa $f(x)=x^{-4}$ en $x=2$.
$2^{-4}=1/2^4=1/16$.
Respuesta: A) $1/16$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$x^{-n}\cdot x^n=1$ para todo $x\neq0$.
Es consecuencia directa de la definición de exponente negativo.
Respuesta: Verdadero
-
Evalúa $(-3)^{-2}$.
$(-3)^{-2}=1/(-3)^2=1/9$, positivo por el exponente par.
Respuesta: A) $1/9$
-
¿Cuál es el error frecuente respecto a $x^{-n}$?
El signo depende del signo de $x$, no del exponente.
Respuesta: A) Suponer que el resultado siempre es negativo